江苏专用高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.7立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距.ppt

8.7,立体几何中的向量方法,(,二,),求空间角和距离,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.,两条异面直线所成角的求法,设,a,，,b,分别是两异面直线,l,1,，,l,2,的方向向量，则,知识梳理,l,1,与,l,2,所成的角,a,与,b,的夹角,范围,0,，,求法,cos,_,cos,2.,直线与平面所成角的求法,设直线,l,的方向向量为,a,，平面,的法向量为,n,，直线,l,与平面,所成的角为,，,a,与,n,的夹角为,，则,sin,|,cos,|,.,3.,求二面角的大小,(1),如图,，,AB,，,CD,分别是二面角,l,的两个面内与棱,l,垂直的直线，则二面角的大小,.,(2),如图,，,n,1,，,n,2,分别是二面角,l,的两个半平面,，,的法向量，则二面角的大小,满足,|,cos,|,，二面角的平面角大小是向量,n,1,与,n,2,的夹角,(,或其补角,).,|,cos,n,1,，,n,2,|,知识拓展,利用空间向量求距离,(,供选用,),(1),两点间的距离,设点,A,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),，点,B,(,x,2,，,y,2,，,z,2,),，则,AB,.,(2),点到平面的距离,如图所示，已知,AB,为平面,的一条斜线段，,n,为平面,的法向量，则,B,到平面,的距离为,.,思考辨析,判断下列结论是否正确,(,请在括号中打,“,”,或,“”,),(1),两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角,.(,),(2),直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角,.,(,),(3),两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角,.(,),(4),两异面直线夹角的范围是,(0,，,，直线与平面所成角的范围是,0,，,，二面角的范围是,0,，,.(,),(5),直线,l,的方向向量与平面,的法向量夹角为,120,，则,l,和,所成角为,30.,(,),(6),若二面角,a,的两个半平面,，,的法向量,n,1,，,n,2,所成角为,，则二面角,a,的大小是,.(,),考点自测,1.(2016,南通模拟,),已知两平面的法向量分别为,m,(0,1,0),，,n,(0,1,1),，则两平面所成的二面角为,_.,答案,解析,45,或,135,即,m,，,n,45.,两平面所成的二面角为,45,或,180,45,135.,2.,已知向量,m,，,n,分别是直线,l,和平面,的方向向量和法向量，若,cos,m,，,n,，则,l,与,所成的角为,_.,30,答案,解析,设,l,与,所成角为,，,cos,m,，,n,，,sin,|,cos,m,，,n,|,，,0,90,，,30.,3.(2016,泰州模拟,),如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,，,CA,CC,1,2,CB,，则直线,BC,1,与直线,AB,1,所成角的余弦值为,_.,答案,解析,设,CA,2,，则,C,(0,0,0),，,A,(2,0,0),，,B,(0,0,1),，,C,1,(0,2,0),，,B,1,(0,2,1),，,可得向量,(,2,2,1),，,(0,2,，,1),，,由向量的夹角公式得,4.(,教材改编,),正三棱柱,(,底面是正三角形的直棱柱,),ABC,A,1,B,1,C,1,的底面,边长为,2,，侧棱长为,，则,AC,1,与侧面,ABB,1,A,1,所成的角为,_.,答案,解析,以,A,为原点，以,，,(,AE,AB,),，,所在直线为坐标轴,(,如图,),建立空间直角坐标系，设,D,为,A,1,B,1,中点，,C,1,AD,为,AC,1,与平面,ABB,1,A,1,所成的角，,又,C,1,AD,，,C,1,AD,.,5.,P,是二面角,AB,棱上的一点，分别在平面,、,上引射线,PM,、,PN,，如果,BPM,BPN,45,，,MPN,60,，那么二面角,AB,的大小为,_.,答案,解析,90,不妨设,PM,a,，,PN,b,，如图，,作,ME,AB,于,E,，,NF,AB,于,F,，,PE,a,，,PF,b,，,二面角,AB,的大小为,90.,EPM,FPN,45,，,题型分类深度剖析,题型一求异面直线所成的角,例,1,(2015,课标全国,),如图，四边形,ABCD,为菱形，,ABC,120,，,E,，,F,是平面,ABCD,同一侧的两点，,BE,平面,ABCD,，,DF,平面,ABCD,，,BE,2,DF,，,AE,EC,.,(1),证明：平面,AEC,平面,AFC,；,证明,如图所示，连结,BD,，设,BD,AC,G,，连结,EG,，,FG,，,EF,.,在菱形,ABCD,中，不妨设,GB,1.,由,ABC,120,，可得,AG,GC,.,由,BE,平面,ABCD,，,AB,BC,2,，可知,AE,EC,.,又,AE,EC,，所以,EG,，且,EG,AC,.,在,Rt,EBG,中，可得,BE,，故,DF,.,在,Rt,FDG,中，可得,FG,.,在直角梯形,BDFE,中，,从而,EG,2,FG,2,EF,2,，所以,EG,FG,.,又,AC,FG,G,，可得,EG,平面,AFC,.,因为,EG,平面,AEC,，所以平面,AEC,平面,AFC,.,(2),求直线,AE,与直线,CF,所成角的余弦值,.,解答,如图，以,G,为坐标原点，分别以,，,的方向为,x,轴，,y,轴正方向，,为单位长度，建立空间直角坐标系,G,xyz,，,由,(1),可得,A,(0,，,，,0),，,E,(1,0,，,),，,所以直线,AE,与直线,CF,所成角的余弦值为,.,用向量法求异面直线所成角的一般步骤,(1),选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系,.,(2),确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量,.,(3),利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值,.,(4),两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值,.,思维升华,跟踪训练,1,如图，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,M,、,N,分别是棱,CD,、,CC,1,的中点，则异面直线,A,1,M,与,DN,所成的角的大小是,_.,答案,解析,90,连结,D,1,M,，在正方形,DCC,1,D,1,中，,M,、,N,分别是,CD,、,CC,1,的中点，,DN,D,1,M,，又,A,1,D,1,平面,D,1,C,，,DN,平面,D,1,C,，,DN,A,1,D,1,，又,A,1,D,1,D,1,M,D,1,，,DN,平面,A,1,D,1,M,，又,A,1,M,平面,A,1,D,1,M,，,A,1,M,DN,.,即异面直线,A,1,M,与,DN,所成的角为,90.,题型二求直线与平面所成的角,例,2,(2016,全国丙卷,),如图，四棱锥,P-ABCD,中，,PA,底面,ABCD,，,AD,BC,，,AB,AD,AC,3,，,PA,BC,4,，,M,为线段,AD,上一点，,AM,2,MD,，,N,为,PC,的中点,.,(1),证明,MN,平面,PAB,；,证明,由已知得,AM,AD,2.,取,BP,的中点,T,，连结,AT,，,TN,，,由,N,为,PC,中点知,TN,BC,，,TN,BC,2.,又,AD,BC,，故,TN,綊,AM,，四边形,AMNT,为平行四边形，于是,MN,AT,.,因为,AT,平面,PAB,，,MN,平面,PAB,，,所以,MN,平面,PAB,.,(2),求直线,AN,与平面,PMN,所成角的正弦值,.,解答,取,BC,的中点,E,，连结,AE,.,从而,AE,AD,，,由,AB,AC,得,AE,BC,，,以,A,为坐标原点，,的方向为,x,轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,A,xyz,.,设,n,(,x,，,y,，,z,),为平面,PMN,的法向量，则,可取,n,(0,2,1).,设,AN,与平面,PMN,所成的角为,，则,sin,，,直线,AN,与平面,PMN,所成角的正弦值为,.,利用向量法求线面角的方法,(1),分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角,(,或其补角,),；,(2),通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角,.,思维升华,跟踪训练,2,如图，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，点,O,为线段,BD,的中点,.,设点,P,在线段,CC,1,上，直线,OP,与平面,A,1,BD,所成的角为,，则,sin,的,取值范围是,_,答案,解析,由正方体的性质易求得,sin,C,1,OA,1,，,sin,COA,1,，,注意到,C,1,OA,1,是锐角，,COA,1,是钝角，且,.,故,sin,的取值范围是,，,1,题型三求二面角,例,3,(2016,天津,),如图，正方形,ABCD,的中心为,O,，四边形,OBEF,为矩形，平面,OBEF,平面,ABCD,，点,G,为,AB,的中点，,AB,BE,2.,(1),求证：,EG,平面,ADF,；,证明,几何画板展示,依题意，,OF,平面,ABCD,，,如图，以,O,为原点，分别以,的方向为,x,轴，,y,轴，,z,轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得,O,(0,0,0),，,A,(,1,1,0),，,B,(,1,，,1,0),，,C,(1,，,1,0),，,D,(1,1,0),，,E,(,1,，,1,2),，,F,(0,0,2),，,G,(,1,0,0).,依题意，,(2,0,0),，,(1,，,1,2).,设,n,1,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),为平面,ADF,的法向量，,不妨取,z,1,1,，可得,n,1,(0,2,1),，,又,(0,1,，,2),，可得,n,1,0,，,又因为直线,EG,平面,ADF,，,所以,EG,平面,ADF,.,(2),求二面角,O,EF,C,的正弦值；,解答,易证,(,1,1,0),为平面,OEF,的一个法向量，,依题意，,(1,1,0),，,(,1,1,2).,设,n,2,(,x,2,，,y,2,，,z,2,),为平面,CEF,的法向量，,不妨取,x,2,1,，可得,n,2,(1,，,1,1).,于是,sin,，,n,2,.,所以二面角,O,EF,C,的正弦值为,.,(3),设,H,为线段,AF,上的点，且,AH,HF,，求直线,BH,和平面,CEF,所成角的正弦值,.,解答,由,AH,HF,，得,AH,AF,.,因为,(1,，,1,2),，,所以直线,BH,和平面,CEF,所成角的正弦值为,.,利用向量法计算二面角大小的常用方法,(1),找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小,.,(2),找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小,.,思维升华,跟踪训练,3,如图,(1),，正方形,ABCD,的边长为,1,，,M,，,N,分别是边,AD,，,BC,上的点，,MN,与,AB,平行，且与,AC,交于点,O,.,若将四边形,ABCD,沿,MN,折成直二面角,A,MN,C,(,如图,(2),，则二面角,C,AO,B,的平面角的正弦值,是,_,图,(1),图,(2),答案,解析,由条件得,NM,，,NB,，,NC,两两垂直，,分别以,NM,，,NB,，,NC,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z,轴，,建立空间直角坐标系，,设,NC,m,，则,NO,m,，从而得,O,(,m,0,0),，,C,(0,0,，,m,),，,A,(1,1,m,0),设平面,AOC,的法向量为,a,(,x,，,y,，,z,),，,得,取,x,1,，得,a,(1,，,1,1),又平面,AOB,的一个法向量为,b,(0,0,1),，,故,sin,a,，,b,.,题型四求空间距离,(,供选用,),例,4,如图，,BCD,与,MCD,都是边长为,2,的正三角形，平面,MCD,平面,BCD,，,AB,平面,BCD,，,AB,，求点,A,到平面,MBC,的距离,.,解答,如图，取,CD,的中点,O,，连结,OB,，,OM,，,因为,BCD,与,MCD,均为正三角形，,所以,OB,CD,，,OM,CD,，,又平面,MCD,平面,BCD,，所以,MO,平面,BCD,.,以,O,为坐标原点，直线,OC,，,BO,，,OM,分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴，建立空间直角坐标系,O,xyz,.,因为,BCD,与,MCD,都是边长为,2,的正三角形，,所以,OB,OM,，,则,O,(0,0,0),，,C,(1,0,0),，,M,(0,0,，,),，,B,(0,，,，,0),，,A,(0,，,，,),，,设平面,MBC,的法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,取,x,，可得平面,MBC,的一个法向量为,n,(,，,1,1).,又,(0,0,2 ),，,所以所求距离为,d,.,求点面距一般有以下三种方法,(1),作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；,(2),等体积法；,(3),向量法,.,其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便,.,思维升华,跟踪训练,4,(2016,四川成都外国语学校月考,),如图所示，在四棱锥,P,ABCD,中，侧面,PAD,底面,ABCD,，侧棱,PA,PD,，,PA,PD,，底面,ABCD,为直角梯形，其中,BC,AD,，,AB,AD,，,AB,BC,1,，,O,为,AD,中点,.,(1),求直线,PB,与平面,POC,所成角的余弦值；,解答,在,PAD,中，,PA,PD,，,O,为,AD,中点，,PO,AD,.,又,侧面,PAD,底面,ABCD,，,平面,PAD,平面,ABCD,AD,，,PO,平面,PAD,，,PO,平面,ABCD,.,在,PAD,中，,PA,PD,，,PA,PD,，,AD,2.,在直角梯形,ABCD,中，,O,为,AD,的中点，,AB,AD,，,OC,AD,.,以,O,为坐标原点，,OC,为,x,轴，,OD,为,y,轴，,OP,为,z,轴建立空间直角坐标系，如图所示，,则,P,(0,0,1),，,A,(0,，,1,0),，,B,(1,，,1,0),，,C,(1,0,0),，,D,(0,1,0),，,(1,，,1,，,1).,易证,OA,平面,POC,，,(0,，,1,0),为平面,POC,的法向量，,PB,与平面,POC,所成角的余弦值为,.,(2),求,B,点到平面,PCD,的距离；,解答,(1,，,1,，,1),，,设平面,PCD,的法向量为,u,(,x,，,y,，,z,),，,取,z,1,，得,u,(1,1,1).,则,B,点到平面,PCD,的距离,d,.,(3),线段,PD,上是否存在一点,Q,，使得二面角,Q,AC,D,的余弦值为,？若存在，求出,的值；若不存在，请说明理由,.,解答,假设存在，且设,(0,1).,(0,，,，,1,),，,设平面,CAQ,的法向量为,m,(,x,，,y,，,z,),，,Q,(0,，,，,1,).,取,z,1,，得,m,(1,，,1,，,1).,平面,CAD,的一个法向量为,n,(0,0,1),，,二面角,Q,AC,D,的余弦值为,，,|,cos,m,，,n,|,.,整理化简，得,3,2,10,3,0.,解得,或,3(,舍去,),，,存在，且,.,典例,(16,分,),如图，在四棱锥,P,ABCD,中，,PA,底面,ABCD,，,AD,AB,，,AB,DC,，,AD,DC,AP,2,，,AB,1,，点,E,为棱,PC,的中点,.,(1),证明：,BE,DC,；,(2),求直线,BE,与平面,PBD,所成角的正弦值；,(3),若,F,为棱,PC,上一点，满足,BF,AC,，,求二面角,F,AB,P,的余弦值,.,利用空间向量求解空间角,答题模板系列,6,规范解答,答题模板,(1),证明,依题意，以点,A,为原点建立空间直角坐标系如图，,可得,B,(1,0,0),，,C,(2,2,0),，,D,(0,2,0),，,P,(0,0,2).,2,分,由,E,为棱,PC,的中点，得,E,(1,1,1).,(0,1,1),，,(2,0,0),，,故,0,，所以,BE,DC,.,4,分,(2),解,(,1,2,0),，,(1,0,，,2).,设,n,(,x,，,y,，,z,),为平面,PBD,的一个法向量，,不妨令,y,1,，可得,n,(2,1,1).,6,分,所以直线,BE,与平面,PBD,所成角的正弦值为,.,8,分,(3),解,(1,2,0),，,(,2,，,2,2),，,(2,2,0),，,(1,0,0).,由点,F,在棱,PC,上，设,，,0,1,，,由,BF,AC,，得,0,，,因此，,2(1,2,),2(2,2,),0,，解得,，,设,n,1,(,x,，,y,，,z,),为平面,FAB,的一个法向量，,取平面,ABP,的法向量,n,2,(0,1,0),，,则,cos,n,1,，,n,2,易知，二面角,F,AB,P,是锐角，,不妨令,z,1,，可得,n,1,(0,，,3,1).,所以其余弦值为,.,16,分,返回,利用向量求空间角的步骤,第一步：建立空间直角坐标系；,第二步：确定点的坐标；,第三步：求向量,(,直线的方向向量、平面的法向量,),坐标；,第四步：计算向量的夹角,(,或函数值,),；,第五步：将向量夹角转化为所求的空间角；,第六步：反思回顾,.,查看关键点、易错点和答题规范,.,返回,课时作业,1.(2017,苏北四市联考,),在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,AA,1,2,，,AD,1,，,E,为,CC,1,的中点，则异面直线,BC,1,与,AE,所成角的余弦值为,_.,答案,解析,建立空间直角坐标系如图，,则,A,(1,0,0),，,E,(0,2,1),，,B,(1,2,0),，,C,1,(0,2,2).,所以,(,1,0,2),，,(,1,2,1).,所以异面直线,BC,1,与,AE,所成角的余弦值为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016,徐州模拟,),二面角的棱上有,A,，,B,两点，直线,AC,，,BD,分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于,AB,.,已知,AB,4,，,AC,6,，,BD,8,，,CD,，则该二面角的大小为,_.,答案,解析,60,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如图所示，二面角的大小就是,.,因此,24,，,60,，故二面角为,60.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.,在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，点,E,为,BB,1,的中点，则平面,A,1,ED,与平面,ABCD,所成的锐二面角的余弦值为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,以,A,为原点建立如图所示的空间直角坐标系,A,xyz,，设棱长为,1,，,则,A,1,(0,0,1),，,E,(1,0,，,),，,D,(0,1,0),，,(0,1,，,1),，,(1,0,，,).,设平面,A,1,ED,的一个法向量为,n,1,(1,，,y,，,z,),，,则有,平面,ABCD,的一个法向量为,n,2,(0,0,1),，,n,1,(1,2,2).,cos,n,1,，,n,2,，,即所成的锐二面角的余弦值为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2016,盐城模拟,),在三棱锥,P,ABC,中，,PA,平面,ABC,，,BAC,90,，,D,，,E,，,F,分别是棱,AB,，,BC,，,CP,的中点，,AB,AC,1,，,PA,2,，则直线,PA,与平面,DEF,所成角的正弦值为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,以,A,为原点，,AB,，,AC,，,AP,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立如图所示的空间直角坐标系，,由,AB,AC,1,，,PA,2,，,得,A,(0,0,0),，,B,(1,0,0),，,C,(0,1,0),，,P,(0,0,2),，,D,(,，,0,0),，,E,(,，,，,0),，,F,(0,，,，,1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设平面,DEF,的法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,取,z,1,，则,n,(2,0,1),，,设直线,PA,与平面,DEF,所成的角为,，,直线,PA,与平面,DEF,所成角的正弦值为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.,已知正四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,2,，,CC,1,，,E,为,CC,1,的中点，则直线,AC,1,到平面,BDE,的距离为,_.,答案,解析,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,以,D,为原点，,DA,，,DC,，,DD,1,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系,(,如图,),，,则,D,(0,0,0),，,A,(2,0,0),，,B,(2,2,0),，,C,(0,2,0),，,C,1,(0,2,),，,E,(0,2,，,),，易知,AC,1,平面,BDE,.,设,n,(,x,，,y,，,z,),是平面,BDE,的法向量，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,取,y,1,，则,n,(,1,1,，,),为平面,BDE,的一个法向量，,又,(2,0,0),，,点,A,到平面,BDE,的距离是,故直线,AC,1,到平面,BDE,的距离为,1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.,如图所示，三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,的侧棱长为,3,，底面边长,A,1,C,1,B,1,C,1,1,，且,A,1,C,1,B,1,90,，,D,点在棱,AA,1,上且,AD,2,DA,1,，,P,点在棱,C,1,C,上，则,的最小值为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,建立如图所示的空间直角坐标系，则,D,(1,0,2),，,B,1,(0,1,3),，,设,P,(0,0,，,z,),，则,(1,0,2,z,),，,(0,1,3,z,),，,0,0,(2,z,)(3,z,),(,z,),2,，,故当,z,时，,取得最小值为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2016,无锡模拟,),在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,2,，,BC,AA,1,1,，,则直线,D,1,C,1,与平面,A,1,BC,1,所成角的正弦值为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如图，建立空间直角坐标系,D,xyz,，,则,D,1,(0,0,1),，,C,1,(0,2,1),，,A,1,(1,0,1),，,B,(1,2,0).,(0,2,0),，,(,1,2,0),，,(0,2,，,1),，,设平面,A,1,BC,1,的一个法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,令,y,1,，得,n,(2,1,2),，,设直线,D,1,C,1,与平面,A,1,BC,1,所成角为,，则,即直线,D,1,C,1,与平面,A,1,BC,1,所成角的正弦值为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.,在正四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AA,1,2,AB,，则直线,CD,与平面,BDC,1,所成角的正弦值等于,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,以,D,为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，,设,AA,1,2,AB,2,，则,D,(0,0,0),，,C,(0,1,0),，,B,(1,1,0),，,C,1,(0,1,2),，,则,(0,1,0),，,(1,1,0),，,(0,1,2).,设平面,BDC,1,的法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,令,y,2,，得平面,BDC,1,的一个法向量为,n,(2,，,2,1).,设,CD,与平面,BDC,1,所成的角为,，,则,n,，,n,，,所以有,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.(2016,连云港模拟,),已知点,E,，,F,分别在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱,BB,1,，,CC,1,上，且,B,1,E,2,EB,，,CF,2,FC,1,，则平面,AEF,与平面,ABC,所成的二面角,的正切值为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如图，建立空间直角坐标系,D,xyz,，,设,DA,1,，由已知条件得,A,(1,0,0),，,E,(1,1,，,),，,F,(0,1,，,),，,(0,1,，,),，,(,1,1,，,),，,设平面,AEF,的法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,平面,AEF,与平面,ABC,所成的二面角为,，,由图知,为锐角，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,令,y,1,，,z,3,，,x,1,，,则,n,(,1,1,，,3),，,取平面,ABC,的法向量为,m,(0,0,，,1),，,则,cos,|,cos,n,，,m,|,，,tan,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.(2016,南京、无锡联考,),如图，,在,三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,CA,CB,，,AB,AA,1,，,BAA,1,60.,(1),证明：,AB,A,1,C,；,证明,如图，取,AB,的中点,O,，连结,OC,，,OA,1,，,A,1,B,.,CA,CB,，,OC,AB,.,AB,AA,1,，,BAA,1,60.,AA,1,B,为等边三角形，,OA,1,AB,.,OC,OA,1,O,，,AB,平面,OA,1,C,.,又,A,1,C,平面,OA,1,C,，,AB,A,1,C,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2),若平面,ABC,平面,AA,1,B,1,B,，,AB,CB,，求直线,A,1,C,与平面,BB,1,C,1,C,所成角的正弦值,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由,(1),知，,OC,AB,，,OA,1,AB,.,平面,ABC,平面,AA,1,B,1,B,，交线为,AB,，,OC,平面,AA,1,B,1,B,，,OA,，,OA,1,，,OC,两两垂直,.,以,O,为坐标原点，,的方向为,x,轴的正方向，,为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系,O,xyz,.,由题设知,A,(1,0,0),，,A,1,(0,，,，,0),，,C,(0,0,，,),，,B,(,1,0,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设,n,(,x,，,y,，,z,),是平面,BB,1,C,1,C,的法向量，,可取,n,(,，,1,，,1).,直线,A,1,C,与平面,BB,1,C,1,C,所成角的正弦值为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.(2016,扬州模拟,),如图，在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AA,1,AB,2,AD,2,，,E,为,AB,的中点，,F,为,D,1,E,上的一点，,D,1,F,2,FE,.,(1),证明：平面,DFC,平面,D,1,EC,；,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,以,D,为原点，分别以,DA,，,DC,，,DD,1,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z,轴，,建立如图所示的空间直角坐标系,D,xyz,，,则,A,(1,0,0),，,B,(1,2,0),，,C,(0,2,0),，,D,1,(0,0,2).,E,为,AB,的中点，,点,E,的坐标为,(1,1,0),，,D,1,F,2,FE,，,设,n,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),是平面,DFC,的法向量，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,令,y,1,，则平面,D,1,EC,的一个法向量为,p,(1,1,1),，,np,(1,0,，,1)(1,1,1),0,，,令,x,1,，则平面,DFC,的一个法向量为,n,(1,0,，,1),，,设,p,(,x,2,，,y,2,，,z,2,),是平面,D,1,EC,的法向量，,平面,DFC,平面,D,1,EC,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2),求二面角,A,DF,C,的大小,.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设,q,(,x,3,，,y,3,，,z,3,),是平面,ADF,的法向量，,令,y,1,，则平面,ADF,的一个法向量为,q,(0,1,，,1),，,设二面角,A,DF,C,的平面角为,，,由题中条件可知,(,，,),，,二面角,A,DF,C,的大小为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.(2016,四川,),如图，在四棱锥,P-ABCD,中，,AD,BC,，,ADC,PAB,90,，,BC,CD,AD,.,E,为棱,AD,的中点，异面直线,PA,与,CD,所成的角为,90.,(1),在平面,PAB,内找一点,M,，使得直线,CM,平面,PBE,，并说明理由；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,在梯形,ABCD,中，,AB,与,CD,不平行,.,延长,AB,，,DC,，相交于点,M,(,M,平面,PAB,),，,点,M,即为所求的一个点,.,理由如下：,由已知，,BC,ED,且,BC,ED,.,所以四边形,BCDE,是平行四边形，,从而,CM,EB,.,又,EB,平面,PBE,，,CM,平面,PBE,，所以,CM,平面,PBE,.,(,说明：延长,AP,至点,N,，使得,AP,PN,，则所找的点可以是直线,MN,上任意一点,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2),若二面角,P-CD-A,的大小为,45,，求直线,PA,与平面,PCE,所成角的正弦值,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由已知，,CD,PA,，,CD,AD,，,PA,AD,A,，,所以,CD,平面,PAD,.,于是,CD,PD,.,从而,PDA,是二面角,P-CD-A,的平面角,.,所以,PDA,45.,由,PAB,90,，,且,PA,与,CD,所成的角为,90,，,可得,PA,平面,ABCD,.,设,BC,1,，则在,Rt,PAD,中，,PA,AD,2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,作,Ay,AD,，以,A,为原点，以,的方向分别为,x,轴，,z,轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,A,xyz,，,则,A,(0,0,0),，,P,(0,0,2),，,C,(2,1,0),，,E,(1,0,0).,所以,(1,0,，,2),，,(1,1,0),，,(0,0,2).,设平面,PCE,的法向量为,n,(,x,，,y,，,z,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设,x,2,，解得,n,(2,，,2,1).,设直线,PA,与平面,PCE,所成角为,，,所以直线,PA,与平面,PCE,所成角的正弦值为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*13.(2016,盐城模拟,),如图，边长为,的正方形,ADEF,与梯形,ABCD,所在的平面互相垂直,.,已知,AB,CD,，,AB,BC,，,DC,BC,AB,1,，点,M,在线段,EC,上,.,(1),证明：平面,BDM,平面,ADEF,；,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,DC,BC,1,，,DC,BC,，,BD,，,又,AD,，,AB,2,，,AD,2,BD,2,AB,2,，,ADB,90,，,AD,BD,.,又平面,ADEF,平面,ABCD,，平面,ADEF,平面,ABCD,AD,，,BD,平面,ADEF,，,又,BD,平面,BDM,，,平面,BDM,平面,ADEF,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2),判断点,M,的位置，使得平面,BDM,与平面,ABF,所成的锐二面角为,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,在平面,DAB,内过点,D,作,DN,AB,，垂足为,N,，,AB,CD,，,DN,CD,，,又平面,ADEF,平面,ABCD,，,平面,ADEF,平面,ABCD,AD,，,DE,AD,，,ED,平面,ABCD,，,DN,ED,，,以,D,为坐标原点，,DN,所在的直线为,x,轴，,DC,所在的直线为,y,轴，,DE,所在的直线为,z,轴，,建立空间直角坐标系如图所示,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,B,(1,1,0),，,C,(0,1,0),，,E,(0,0,，,),，,N,(1,0,0),，,设,M,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),，,(0,1),，,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),(0,1,，,),，,x,0,0,，,y,0,，,z,0,(1,),，,M,(0,，,，,(1,).,设平面,BDM,的法向量为,n,1,(,x,，,y,，,z,),，,又,(0,，,，,(1,),，,(1,1,0),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,令,x,1,，得,y,1,，,z,，,故,n,1,(1,，,1,，,),是平面,BDM,的一个法向量,.,平面,ABF,的一个法向量为,(1,0,0),，,点,M,在线段,CE,的三等分点且靠近点,C,处,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,