北京专用高考数学一轮复习第十章计数原理与概率随机变量及其分布第六节离散型随机变量及其分布.ppt

,总纲目录,教材研读,考点突破,栏目索引,第六节离散型随机变量及其分布列,总纲目录,教材研读,1.随机变量的有关概念,考点突破,2.离散型随机变量分布列的概念及性质,3.常见的离散型随机变量的概率分布,考点二超几何分布,考点一离散型随机变量的分布列,教材研读,1.随机变量的有关概念,(1)随机变量:随着试验结果不同而,变化,的变量,常用字母,X,Y,表示.,(2)离散型随机变量:所有取值可以,一一列出,的随机变量.,2.离散型随机变量分布列的概念及性质,(1)概念:若离散型随机变量,X,可能取的不同值为,x,1,x,2,x,i,x,n,X,取每一,个值,x,i,(,i,=1,2,n,)的概率,P,(,X,=,x,i,)=,p,i,以表格的形式表示如下:,X,x,1,x,2,x,i,x,n,P,p,1,p,2,p,i,p,n,此表称为离散型随机变量,X,的概率分布列,简称为,X,的分布列,有时,也用等式,P,(,X,=,x,i,)=,p,i,i,=1,2,n,表示,X,的分布列.,(2)分布列的性质,(i),p,i,0,i,=1,2,3,n,;,(ii),.,3.常见的离散型随机变量的概率分布,(1)两点分布,若随机变量,X,的分布列具有上表的形式,就称,X,服从两点分布,并称,p,=,P,(,X,=1),为成功概率.,(2)超几何分布,在含有,M,件次品的,N,件产品中,任取,n,件,其中恰有,X,件次品,则,P,(,X,=,k,)=,k,=0,1,2,m,其中,m,=min,M,n,且,n,N,M,N,n,M,N,N,*,.,X,0,1,P,1-,p,p,X,0,1,m,P,如果随机变量,X,的分布列具有上表的形式,则称随机变量,X,服从超,几何分布.,1.袋中有3个白球,5个黑球,从中任取2个,可以作为随机变量的是,(),A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球,C.取到白球的个数D.取到的球的个数,C,答案,C选项A、B是随机事件,选项D是确定的值,为2,并不随机;选,项C是随机变量,可能的取值为0,1,2.,B,2.从标有110的10支竹签中任取2支,设所取2支竹签上的数字之和为,X,那么随机变量,X,可能取得的值有,(),A.17个B.18个C.19个D.20个,A,答案,A从10支竹签中任取2支,竹签上的数字之和可以是319中的,任意一个,共有17个.,3.设随机变量,Y,的分布列为,则“,Y,”的概率为,(),A.,B.,C.,D.,Y,-1,2,3,P,m,C,答案,C因为,+,m,+,=1,所以,m,=,所以,P,=,P,(2)+,P,(3)=,.,B,4.随机变量,X,等可能取值1,2,3,n,如果,P,(,X,4)=0.3,则,n,=,.,10,答案,10,解析,由题意知,P,(,X,4)=,P,(,X,=1)+,P,(,X,=2)+,P,(,X,=3)=,+,+,=,=0.3,故,n,=,10.,5.在含有3件次品的10件产品中任取4件,则取到次品数,X,的分布列为,P,(,X,=,k,)=,k,=0,1,2,3,.,答案,P,(,X,=,k,)=,k,=0,1,2,3,解析,由题意知,X,服从超几何分布,其中,N,=10,M,=3,n,=4,所以分布列为,P,(,X,=,k,)=,k,=0,1,2,3.,B,考点一离散型随机变量的分布列,考点突破,典例1,长时间用手机上网严重影响学生的健康,某校为了解,A,B,两班学,生手机上网的时长,分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查,将他,们平均每周手机上网时长作为样本数据,绘制成如图所示的茎叶图(图,中的茎表示十位数字,叶表示个位数字).如果学生平均每周手机上网的,时长超过21小时,则称为“过度用网”.,(1)请根据样本数据,估计,A,B,两班的学生平均每周上网时长的平均值;,(2)从,A,班的样本数据中有放回地抽取2个数据,求恰有1个数据为“过度,用网”的概率;,(3)从,A,班、,B,班的样本中各随机抽取2名学生的数据,记“过度用网”的,学生人数为,写出,的分布列.,解析,(1),A,班样本数据的平均值为,(9+11+13+20+24+37)=19,由此估计,A,班学生平均每周手机上网时长的平均值为19小时.,B,班样本数据的平均值为,(11+12+21+25+27+36)=22,由此估计,B,班学生平均每周手机上网时长的平均值为22小时.,(2)因为从,A,班的6个样本数据中随机抽取1个数据,为“过度用网”的概,率是,所以从,A,班的样本数据中有放回地抽取2个数据,恰有1个数据为,“过度用网”的概率,P,=,=,.,(3),的可能取值为0,1,2,3,4.,P,(,=0)=,=,P,(,=1)=,=,P,(,=2)=,=,P,(,=3)=,=,P,(,=4)=,=,.,的分布列为,0,1,2,3,4,P,规律总结,(1)求解离散型随机变量,X,的分布列的步骤:理解,X,的意义,写出,X,可能,取得的全部值;求,X,取每个值的概率;写出,X,的分布列.(2)求离散型随,机变量的分布列的关键是求随机变量取各值时对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.,1-1如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都,受到了不同程度的污损,其中,频率分布直方图的分组区间分别为50,60),60,70),70,80),80,90),90,100,据此解答以下问题.,(1)求全班人数及分数在80,100之间的频率;,(2)现从分数在80,100之间的试卷中任取3份分析学生的失分情况,设,抽取的试卷分数在90,100的份数为,X,求,X,的分布列.,解析,(1)由茎叶图可知分数在50,60)之间的人数为4,60,70)之间的人,数为8,70,80)之间的人数为10.,总人数为,=32(人).,分数在80,100之间的人数为32-4-8-10=10(人),频率为,=,.,(2)分数在90,100之间的人数为4,分数在80,90)之间的人数为6.,X,的所有可能取值是0,1,2,3.,P,(,X,=0)=,=,=,P,(,X,=1)=,=,=,P,(,X,=2)=,=,=,P,(,X,=3)=,=,=,.,X,的分布列为,X,0,1,2,3,P,考点二超几何分布,典例2,(2017北京顺义二模,16改编)春节期间,受烟花爆竹集中燃放影,响,我国多数城市空气中PM2.5浓度快速上升,特别是在大气扩散条件不,利的情况下,空气质量在短时间内会迅速恶化.2016年除夕18时和2017,年初一2时,国家环保部门对8个城市空气中PM2.5浓度监测的数据如表,(单位:微克/立方米):,除夕18时PM2.5浓度,初一2时PM2.5浓度,北京,75,647,天津,66,400,石家庄,89,375,廊坊,102,399,太原,46,115,上海,16,17,南京,35,44,杭州,131,39,(1)求这8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值;,(2)环保部门发现:2016年除夕18时到2017年初一2时空气中PM2.5浓度,上升不超过100的城市都是禁止燃放烟花爆竹的城市,浓度上升超过100,的,城市都未禁止燃放烟花爆竹.从以上8个城市中随机选取3个城市组,织专家进行调研,记选到禁止燃放烟花爆竹的城市个数为,X,求随机变量,X,的分布列和数学期望.,解析,(1)8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值为,=70微克/立方米.,(2)8个城市中禁止燃放烟花爆竹的有太原,上海,南京,杭州4个城市,随机变量,X,的所有可能取值为0,1,2,3,则,P,(,X,=0)=,=,P,(,X,=1)=,=,P,(,X,=2)=,=,P,(,X,=3)=,=,.,所以,X,的分布列为,X,0,1,2,3,P,X,的数学期望,EX,=0,+1,+2,+3,=,=,.,规律总结,1.超几何分布描述的是不放回抽样问题,超几何分布的特征:,(1)考察对象分两类;,(2)已知各类对象中个体的个数;,(3)从中抽取若干个个体,考察抽取到的某类个体个数,X,的概率分布.,2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实,质是古典概型.,2-1(2018北京东城期中,16)袋子里有完全相同的3个红球和4个黑球,现从袋子里随机取球;,(1)若有放回地取3次,每次取一个球,求取出2个红球1个黑球的概率;,(2)若无放回地取3次,每次取一个球,取出1个红球得2分,取出1个黑球得,1分,求得分,的分布列和数学期望.,解析,(1)从袋子里有放回地取3次球,相当于做了3次独立重复试验,每,次试验取出红球的概率均为,取出黑球的概率均为,设事件,A,=“取出,2个红球1个黑球”,则,P,(,A,)=,=3,=,.,(2),的取值有四个:3、4、5、6,P,(,=3)=,=,P,(,=4)=,=,P,(,=5)=,=,P,(,=6)=,=,随机变量,的分布列为,3,4,5,6,P,E,=3,+4,+5,+6,=,.,