高考数学一轮复习-第五章-数列-第4讲-数列的求和配套.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,4,讲数列的求和,考纲要求,考点分布,考情风向标,1.,掌握等差数列、等比数列的求和公式,.,2,.,了解一般数列求和的几种方法,2013,年新课标,第,17,题,(2),考查裂项相消法数列求和；,2013,年大纲第,17,题考查裂项相消法数列求和；,2014,年新课标,第,17,题,(2),考查错位相减法数列求和；,2016,年北京第,15,题,(2),考查分组法数列求和，山东第,19,题,(2),考查错位相减法数列求和；,2017,年新课标,第,17,题,(2),考查等比数列求和，新课标,第,15,题及新课标,第,17,题,(2),考查裂项相消法数列求和,从近几年的高考试题来看，对等差、等比数列的求和，以考查公式为主；对非等差、非等比数列的求和，主要考查分组法、裂项相消法、错位相减法等,.,题型既有选择题、填空题，又有解答题，属较难题目,数列求和,B,A,3.,若数列,a,n,满足,a,1,1,，,a,n,1,2,a,n,(,n,N,*,),，则,a,5,_,，,前 8 项的和,S,8,_.(用数字作答),为,10,，则项数,n,_.,16,255,120,考点,1,公式或分组法求和,例,1,：,(2016,年北京,),已知,a,n,是等差数列，,b,n,是等比数列，且,b,2,3,，,b,3,9,，,a,1,b,1,，,a,14,b,4,.,(1),求,a,n,的通项公式；,(2),设,c,n,a,n,b,n,，求数列,c,n,的前,n,项和,.,设等差数列,a,n,的公差为,d,.,因为,a,1,b,1,1,，,a,14,b,4,27,，,所以,1,13,d,27,，即,d,2.,所以,a,n,2,n,1(,n,N,*,).,【,规律方法,】,若一个数列是由等比数列和等差数列组成，,则求和时，可采用分组求和，即先分别求和，再将各部分合并,.,(2),由,(1),知，,a,n,2,n,1,，,b,n,3,n,1,.,因此,c,n,a,n,b,n,2,n,1,3,n,1,.,从而数列,c,n,的前,n,项和,S,n,1,3,(2,n,1),1,3,3,n,1,【,互动探究,】,1.,(2015,年福建,),在等差数列,a,n,中，,a,2,4,，,a,4,a,7,15.,(1),求数列,a,n,的通项公式；,(2),由,(1),，可得,b,n,2,n,n,.,所以,b,1,b,2,b,3,b,10,(2,1),(2,2,2),(2,3,3),(2,10,10),(2,2,2,2,3,2,10,),(1,2,3,10),(2,11,2),55,2,11,53,2101.,考点,2,裂项相消法求和,解：,(1),因为,a,1,3,a,2,(2,n,1),a,n,2,n,，,故当,n,2,时,，,a,1,3,a,2,(2,n,3),a,n,1,2(,n,1),，,两式相减，得,(2,n,1),a,n,2.,【,规律方法,】,在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具,有对称性，即前面剩多少项则后面也剩多少项,.,常见的拆项公,【,互动探究,】,考点,3,错位相减法求和,例,3,：,(2017,年天津,),已知,a,n,为等差数列，前,n,项和为,S,n,(,n,N,*,),，,b,n,是首项为,2,的等比数列，且公比大于,0,，,b,2,b,3,12,，,b,3,a,4,2,a,1,，,S,11,11,b,4,.,(1),求,a,n,和,b,n,的通项公式；,(2),求数列,a,2,n,b,n,的前,n,项和,(,n,N,*,).,解：,(1),设等差数列,a,n,的公差为,d,，等比数列,b,n,的公比为,q,.,由已知,b,2,b,3,12,，得,b,1,(,q,q,2,),12.,因为,b,1,2,，所以,q,2,q,6,0.,又因为,q,0,，解得,q,2.,所以,b,n,2,n,.,由,b,3,a,4,2,a,1,，可得,3,d,a,1,8.,由,S,11,11,b,4,，可得,a,1,5,d,16.,联立,，解得,a,1,1,，,d,3.,由此可得,a,n,3,n,2.,所以,a,n,的通项公式为,a,n,3,n,2,，,b,n,的通项公式为,b,n,2,n,.,(2),设数列,a,2,n,b,n,的前,n,项和为,T,n,，,由,a,2,n,6,n,2,，,得,T,n,4,2,10,2,2,16,2,3,(6,n,2),2,n,，,2,T,n,4,2,2,10,2,3,16,2,4,(6,n,8),2,n,(6,n,2),2,n,1,，,上述两式相减，得,T,n,4,2,6,2,2,6,2,3,6,2,n,(6,n,2),2,n,1,(3,n,4)2,n,2,16.,所以,T,n,(3,n,4)2,n,2,16.,所以数列,a,2,n,b,n,的前,n,项和为,(3,n,4)2,n,2,16.,【,规律方法,】,(1),一般地，如果数列,a,n,是等差数列，,b,n,是等比数列，那么求数列,a,n,b,n,的前,n,项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘等比数列,b,n,的公比，然后作差求解,.(2),在写出,“,S,n,”,与,“,qS,n,”,的表达式时，应特别注意将两式,“,错项对齐,”,以便下一步准确写出,“,S,n,qS,n,”,的表达式,.,【,互动探究,】,思想与方法,放缩法在数列中的应用,【,规律方法,】,本题要利用放缩技巧构造裂项相消法求和,.,本题的关键在于能否看出条件方程能十字相乘求出,S,n,，然后利用,a,n,S,n,S,n,1,求,a,n,，请记住，他山之石，可以攻玉！,【,互动探究,】,假设存在符合条件的,k,：,若,k,为偶数，则,k,5,为奇数,.,有,f,(,k,5),k,3,，,f,(,k,),2,k,2.,若,f,(,k,5),2,f,(,k,),2,，则,k,3,4,k,6,k,3,与,k,为偶数矛,盾,.,不符舍去,.,若,k,为奇数，则,k,5 为偶数.,有,f,(,k,5)2,k,8，,f,(,k,),k,2.,2,k,82(,k,2)2,86，则这样的,k,也不存在.,综上所述，不存在符合条件的,k,N,*,，使得,f,(,k,5),2,f,(,k,),2.,(3),证明：,P,n,(,n,2,2,n,2),，,P,1,(,1,0),，,