江苏专用高考数学大一轮复习第八章立体几何8.1空间几何体的结构及其表面积体积讲义文苏教版.ppt

,8.1,空间几何体的结构及其表面积,、,体积,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.,多面体的结构特征,知识梳理,互相平行,全等,公共顶点,平行于底面,相似,2.,旋转体的形成,几何体,旋转图形,旋转轴,圆柱,矩形,所在的直线,圆锥,直角三角形,所在的直线,圆台,直角梯形,所在的直线,球,半圆,所在的直线,任一边,任一直角边,垂直于底边的腰,直径,3.,空间几何体的直观图,空间几何体的直观图常用,画法来画，其规则是,(1),在空间图形中取互相垂直的,x,轴和,y,轴，两轴交于,O,点，再取,z,轴，使,xOz,，且,yOz,.,(2),画直观图时把它们画成对应的,x,轴、,y,轴和,z,轴，它们相交于,O,，并使,x,O,y,，,x,O,z,，,x,轴和,y,轴所确定的平面表示水平面,.,(3),已知图形中平行于,x,轴、,y,轴或,z,轴的线段，在直观图中分别画成,于,x,轴、,y,轴或,z,轴的线段,.,(4),已知图形中平行于,x,轴或,z,轴的线段，在直观图中,；,平行于,y,轴的线段，,.,斜二测,90,90,45(,或,135),90,平行,保持原长度不变,长度为原来的一半,4.,柱、锥、台和球的表面积和体积,名称,几何体,表面积,体积,柱体,(,棱柱和圆柱,),S,表面积,S,侧,2,S,底,V,_,锥体,(,棱锥和圆锥,),S,表面积,S,侧,S,底,V,_,Sh,台体,(,棱台和圆台,),S,表面积,S,侧,S,上,S,下,V,(,S,上,S,下,),h,球,S,_,V,_,4,R,2,5.,常用结论,(1),与体积有关的几个结论,一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差,.,底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等,.,(2),几个与球有关的切、接常用结论,a.,正方体的棱长为,a,，球的半径为,R,，,若球为正方体的外接球，则,2,R,；,若球为正方体的内切球，则,2,R,a,；,若球与正方体的各棱相切，则,2,R,.,b.,若长方体的同一顶点的三条棱长分别为,a,，,b,，,c,，外接球的半径为,R,，则,2,R,.,c.,正四面体的外接球与内切球的半径之比为,3,1.,(3),斜二测画法中的,“,三变,”,与,“,三不变,”,“,三变,”,“,三不变,”,思考辨析,判断下列结论是否正确,(,请在括号中打,“,”,或,“”,),(1),有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱,.(,),(2),有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥,.(,),(3),用斜二测画法画水平放置的,A,时，若,A,的两边分别平行于,x,轴和,y,轴，且,A,90,，则在直观图中，,A,45.(,),(4),圆柱的侧面展开图是矩形,.(,),(5),台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算,.(,),(6),菱形的直观图仍是菱形,.(,),考点自测,1.(,教材改编,),下列说法正确的是,_.,相等的角在直观图中仍然相等；,相等的线段在直观图中仍然相等；,正方形的直观图是正方形；,若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行,.,答案,解析,由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变,.,故,正确,.,2.(,教材改编,),已知圆锥的表面积等于,12 cm,2,，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为,_ cm.,答案,解析,2,S,表,r,2,rl,r,2,r,2,r,3,r,2,12,，,r,2,4,，,r,2(cm).,3.,如图，直观图所表示的平面图形是,_.(,填序号,),正三角形,锐角三角形,钝角三角形,直角三角形,答案,解析,由直观图中，,A,C,y,轴，,B,C,x,轴，还原后原图,AC,y,轴，,BC,x,轴,.,直观图还原为平面图形是直角三角形,.,故,正确,.,4.(2016,南通、扬州、泰州三模,),已知一个空间几何体的所有棱长均为,1 cm,，,其表面展开图如图所示，那么该空间几何体的体积,V,_ cm,3,.,答案,解析,由表面展开图知该几何体是一个正方体与一个正四棱锥的组合体，所有棱长均为,1,，,则正四棱锥的高为,，,5.,用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是,_.,答案,解析,平面图形的直观图为正方形，且其边长为,1,，对角线长为,，所以原平面图形为平行四边形，且位于,x,轴上的边长仍为,1,，位于,y,轴上的对角线长为,题型分类深度剖析,题型一空间几何体的结构特征,例,1,给出下列命题：,棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；,在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；,存在每个面都是直角三角形的四面体；,棱台的侧棱延长后交于一点,.,其中正确命题的序号是,_.,答案,解析,不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；,正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；,正确，如图，正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中的,三棱锥,C,1,ABC,，四个面都是直角三角形；,正确，由棱台的概念可知,.,(1),解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断,.,(2),解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析,.,思维升华,跟踪训练,1,(1),以下命题：,以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；,以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；,圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；,一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台,.,其中正确命题的个数为,_.,答案,解析,1,命题,错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；,命题,错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；,命题,对；,命题,错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故正确的命题个数为,1.,(2),给出下列四个命题：,有两个侧面是矩形的图形是直棱柱；,侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；,侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；,底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱,.,其中不正确的命题为,_.,答案,解析,对于,，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故,错；,对于,，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明,(,如图,),，故,错；,对于,，若底面不是矩形，则,错；,由线面垂直的判定，侧棱垂直于底面，故,正确,.,综上，命题,不正确,.,题型二空间几何体的直观图,例,2,(1),已知正三角形,ABC,的边长为,a,，那么,ABC,的平面直观图,A,B,C,的面积为,_.,答案,解析,如图,所示的实际图形和直观图，,由,可知，,A,B,AB,a,，,O,C,，,在图,中作,C,D,A,B,于,D,，,则,C,D,.,(2),如图，矩形,O,A,B,C,是水平放置的一个平面,图形的直观图，其中,O,A,6 cm,，,O,C,2 cm,，,则原图形是,_.,正方形；,矩形；,菱形；,一般的平行四边形,.,答案,解析,如图，在原图形,OABC,中，应有,OD,2,O,D,2,cm,，,CD,C,D,2 cm.,OA,OC,，故四边形,OABC,是菱形,.,用斜二测画法画直观图的技巧,在原图形中与,x,轴或,y,轴平行的线段在直观图中与,x,轴或,y,轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连结而画出,.,思维升华,跟踪训练,2,如图是水平放置的某个三角形的直观图，,D,是,A,B,C,中,B,C,边的中点且,A,D,y,轴，,A,B,，,A,D,，,A,C,三条线段对应原图形中的线段,AB,，,AD,，,AC,，那么下列说法正确的有,_.(,填序号,),最长的是,AB,，最短的是,AC,；,最长的是,AC,，最短的是,AB,；,最长的是,AB,，最短的是,AD,；,最长的是,AD,，最短的是,AC,.,答案,解析,A,D,y,轴，根据斜二测画法规则，在原图形中应有,AD,BC,，,又,AD,为,BC,边上的中线，所以,ABC,为等腰三角形,.,AD,为,BC,边上的高，,则有,AB,，,AC,相等且最长，,AD,最短,.,题型三求空间几何体的表面积,例,3,(1),一个六棱锥的体积为,，其底面是边长为,2,的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为,_.,答案,解析,12,由题意知该六棱锥为正六棱锥，,设正六棱锥的高为,h,，侧面的斜高为,h,.,h,1,，,斜高,h,2,，,S,侧,6,2,2,12.,(2)(2016,苏州模拟,),如图，斜三棱柱,ABC,A,B,C,中，底面是边长为,a,的正三角形，侧棱长为,b,，侧棱,AA,与底面相邻两边,AB,与,AC,都成,45,角，求此斜三棱柱的表面积,.,解答,如图，过,A,作,A,D,平面,ABC,于,D,，过,D,作,DE,AB,于,E,，,DF,AC,于,F,，,连结,A,E,，,A,F,，,AD,.,又由题意知,A,E,AB,，,A,F,AC,，,得,Rt,A,AE,Rt,A,AF,，,A,E,A,F,，,DE,DF,，,AD,平分,BAC,，,BC,AD,，,BC,AA,，,而,AA,BB,，,BC,BB,，,四边形,BCC,B,是矩形，,斜三棱柱的侧面积为,2,a,b,sin 45,ab,(,1),ab,.,则由,A,AE,A,AF,，,AA,AA,，,又,AB,AC,，,又,斜三棱柱的底面积为,，,斜三棱柱的表面积为,(,1),ab,.,(1),解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况,.,(2),在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理,.,(3),圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和,.,思维升华,跟踪训练,3,一个正三棱台的上、下底面边长分别是,3 cm,和,6 cm,，高是,.,(1),求三棱台的斜高；,解答,设,O,1,、,O,分别为正三棱台,ABC,A,1,B,1,C,1,的上、下底面正三角形的中心，如图所示，,则,O,1,O,，过,O,1,作,O,1,D,1,B,1,C,1,，,OD,BC,，则,D,1,D,为三棱台的斜高；,过,D,1,作,D,1,E,AD,于,E,，则,D,1,E,O,1,O,，,则,DE,OD,O,1,D,1,.,在,Rt,D,1,DE,中，,故三棱台的斜高为,.,(2),求三棱台的侧面积和表面积,.,解答,设,c,、,c,分别为上、下底的周长，,h,为斜高，,故三棱台的侧面积为,，表面积为,.,题型,四,求简单几何体的体积,例,4,(2016,江苏改编,),现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥,P,A,1,B,1,C,1,D,1,，下部的形状是正四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,(,如图所示,),，并要求正四棱柱的高,O,1,O,是正四棱锥的高,PO,1,的,4,倍,.,若,AB,6 m,，,PO,1,2 m,，则仓库的容积为,_m,3,.,答案,解析,312,由,PO,1,2 m,，知,O,1,O,4,PO,1,8 m.,因为,A,1,B,1,AB,6 m,，所以正四棱锥,P,A,1,B,1,C,1,D,1,的体积,正四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的体积,V,柱,AB,2,O,1,O,6,2,8,288(m,3,).,所以仓库的容积,V,V,锥,V,柱,24,288,312(m,3,).,空间几何体体积问题的常见类型及解题策略,(1),若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解,.,(2),若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解,.,思维升华,跟踪训练,4,正三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,的底面边长为,2,，侧棱长为,，,D,为,BC,的中点，则三棱锥,A,B,1,DC,1,的体积为,_.,答案,解析,在正,ABC,中，,D,为,BC,的中点，,1,又,平面,BB,1,C,1,C,平面,ABC,，,平面,BB,1,C,1,C,平面,ABC,BC,，,AD,BC,，,AD,平面,ABC,，,AD,平面,BB,1,C,1,C,，,即,AD,为三棱锥,A,B,1,DC,1,底面上的高,.,题型五与球有关的切、接问题,例,5,(2016,扬州模拟,),已知直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,的,6,个顶点都在球,O,的,球面上，若,AB,3,，,AC,4,，,AB,AC,，,AA,1,12,，则球,O,的半径为,_.,答案,解析,如图所示，由球心作平面,ABC,的垂线，,则垂足为,BC,的中点,M,.,又,AM,BC,，,OM,AA,1,6,，,所以球,O,的半径,R,OA,引申探究,1.,已知棱长为,4,的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？,解答,由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径,.,设该正方体外接球的半径为,R,，内切球的半径为,r,.,又正方体的棱长为,4,，故其体对角线长为,，,2.,已知棱长为,a,的正四面体，则此正四面体的表面积,S,1,与其内切球的表面积,S,2,的比值为多少？,解答,正四面体的表面积为,S,1,其内切球半径,r,为正四面体高的,，,因此内切球表面积为,S,2,4,r,2,，,3.,已知侧棱和底面边长都是,的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？,解答,依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为,6,，,高为,3,，,因此底面中心到各顶点的距离均等于,3,，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为,3.,空间几何体与球接、切问题的求解方法,(1),求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解,.,(2),若球面上四点,P,，,A,，,B,，,C,构成的三条线段,PA,，,PB,，,PC,两两互相垂直，且,PA,a,，,PB,b,，,PC,c,，一般把有关元素,“,补形,”,成为一个球内接长方体，利用,4,R,2,a,2,b,2,c,2,求解,.,思维升华,跟踪训练,5,正四棱锥的顶点都在同一球面上,.,若该棱锥的高为,4,，底面,边长为,2,，则该球的表面积为,_.,答案,解析,如图，设球心为,O,，半径为,r,，,则在,Rt,AOF,中，,(4,r,),2,(),2,r,2,，解得,r,，,该球的表面积为,4,r,2,4,典例,(2016,盐城模拟,),如图，在,ABC,中，,AB,8,，,BC,10,，,AC,6,，,DB,平面,ABC,，且,AE,FC,BD,，,BD,3,，,FC,4,，,AE,5,，则此几何体的体积为,_.,巧用补形法解决,立体几何问题,思想与方法系列,15,解答本题时可用,“,补形法,”,完成,.,“,补形法,”,是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过,“,补形,”,补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中,“,还台为锥,”,，将不规则的几何体补成规则的几何体等,.,思想方法指导,答案,解析,96,几何画板展示,用,“,补形法,”,把原几何体补成一个直三棱柱，,使,AA,BB,CC,8,，,所以,V,几何体,V,三棱柱,S,ABC,AA,24,8,96.,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1.,给出下列命题：,在正方体上任意选择,4,个不共面的顶点，它们可能是正四面体的,4,个顶点；,底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；,若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱,.,其中正确命题的序号是,_.,答案,12,13,2.(2016,连云港模拟,),五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为,_.,答案,解析,10,如图，在五棱柱,ABCDE,A,1,B,1,C,1,D,1,E,1,中，从顶点,A,出发的对角线有两条：,AC,1,，,AD,1,，同理从,B,，,C,，,D,，,E,点出发的对角线均有两条，共,2,5,10(,条,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.,用平面,截球,O,所得截面圆的半径为,3,，球心,O,到平面,的距离为,4,，则此球的表面积为,_.,答案,解析,100,依题意，设球半径为,R,，满足,R,2,3,2,4,2,25,，,S,球,4,R,2,100.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2016,常州模拟,),如图所示，四边形,A,B,C,D,是一水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形,A,B,C,D,是一直角梯形，,A,B,C,D,，,A,D,C,D,，且,B,C,与,y,轴平行，若,A,B,6,，,D,C,4,，,A,D,2,，则原平面图形的面积为,_.,答案,解析,由题意得，直观图的面积,S,直,(4,6),2,10,，,则原平面图形的面积,S,原,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2016,盐城三模,),若一个圆锥的侧面展开图是面积为,4,的半圆面，则该,圆锥的体积为,_.,答案,解析,由侧面展开图是面积为,4,的半圆面，知圆锥的底面半径为,，高为,，从而圆锥的体积为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.(2016,南京模拟,),直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,的各条棱长均为,2,，,E,为棱,CC,1,的中点，则三棱锥,A,1,B,1,C,1,E,的体积为,_.,答案,解析,由题意得,又因为,E,为棱,CC,1,的中点，所以,EC,1,1,，,所以,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.,已知四面体,ABCD,满足,AB,CD,，,AC,AD,BC,BD,2,，则四面体,ABCD,的外接球的表面积是,_.,答案,解析,7,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(,图略,),在四面体,ABCD,中，取线段,CD,的中点为,E,，连结,AE,，,BE,.,AC,AD,BC,BD,2,，,AE,CD,，,BE,CD,.,在,Rt,AED,中，,CD,，,AE,.,同理,BE,.,取,AB,的中点为,F,，连结,EF,.,由,AE,BE,，得,EF,AB,.,在,Rt,EFA,中，,AF,AB,，,AE,，,EF,1.,取,EF,的中点为,O,，连结,OA,，则,OF,.,在,Rt,OFA,中，,OA,.,同理得,OA,OB,OC,OD,，,该四面体的外接球的半径是,，,外接球的表面积是,7.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.,如图所示，,AB,是圆,O,的直径，点,C,是圆,O,上异于,A,，,B,的点，,PO,垂直于圆,O,所在的平面，且,PO,OB,1.,则三棱锥,P,ABC,体积的最大值为,_.,答案,解析,V,P,ABC,PO,S,ABC,，,当,ABC,的面积最大时，三棱锥,P,ABC,体积达到最大值,.,当,CO,AB,时，,ABC,的面积最大，最大值为,2,1,1,，,此时,V,P,ABC,PO,S,ABC,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.(2016,徐州、连云港、宿迁联考,),如图，在三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，侧棱,AA,1,平面,AB,1,C,1,，,AA,1,1,，底面,ABC,是边长为,2,的正三角形，则此三棱柱的体积为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,因为,AA,1,平面,AB,1,C,1,，,AB,1,平面,AB,1,C,1,，所以,AA,1,AB,1,，,又知,AA,1,1,，,A,1,B,1,2,，所以,AB,1,，,同理可得,AC,1,，,又知在,AB,1,C,1,中，,B,1,C,1,2,，所以,AB,1,C,1,的,B,1,C,1,上的高为,h,，,于是三棱锥,A,A,1,B,1,C,1,的体积,进而可得此三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,的体积,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.(2015,课标全国,改编,),已知,A,，,B,是球,O,的球面上两点，,AOB,90,，,C,为该球面上的动点,.,若三棱锥,O-ABC,体积的最大值为,36,，则球,O,的表面积为,_.,答案,解析,144,如图，要使三棱锥,O-ABC,即,C-OAB,的体积最大，,当且仅当点,C,到平面,OAB,的距离，,即三棱锥,C-OAB,底面,OAB,上的高最大，,其最大值为球,O,的半径,R,，,则,V,O-ABC,最大,V,C-OAB,最大,所以,R,6,，得,S,球,O,4,R,2,4,6,2,144.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.,如图是一个以,A,1,B,1,C,1,为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为,ABC,，已知,A,1,B,1,B,1,C,1,2,，,A,1,B,1,C,1,90,，,AA,1,4,，,BB,1,3,，,CC,1,2,，求：,(1),该几何体的体积；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,过,C,作平行于,A,1,B,1,C,1,的截面,A,2,B,2,C,，交,AA,1,，,BB,1,分别于,A,2,，,B,2,.,由直三棱柱性质及,A,1,B,1,C,1,90,可知,B,2,C,平面,ABB,2,A,2,，则,2,2,2,(1,2),2,2,6.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2),截面,ABC,的面积,.,解答,在,ABC,中，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.(2016,全国丙卷,),如图，四棱锥,P-ABCD,中，,PA,底面,ABCD,，,AD,BC,，,AB,AD,AC,3,，,PA,BC,4,，,M,为线段,AD,上一点，,AM,2,MD,，,N,为,PC,的中点,.,(1),证明：,MN,平面,PAB,；,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由已知得,AM,AD,2.,如图，取,BP,的中点,T,，连结,AT,，,TN,，,由,N,为,PC,中点知,TN,BC,，,TN,BC,2.,又,AD,BC,，故,TN,綊,AM,，,所以四边形,AMNT,为平行四边形，,于是,MN,AT,.,因为,AT,平面,PAB,，,MN,平面,PAB,，,所以,MN,平面,PAB,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2),求四面体,N-BCM,的体积,.,解答,因为,PA,平面,ABCD,，,N,为,PC,的中点，所以,N,到平面,ABCD,的距离为,取,BC,的中点,E,，连结,AE,.,由,AB,AC,3,得,AE,BC,，,AE,由,AM,BC,得,M,到,BC,的距离为,所以四面体,N-BCM,的体积,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*13.(2016,湖北七校联考,),如图所示，在空间几何体,ADE,BCF,中，四边形,ABCD,是梯形，四边形,CDEF,是矩形，且平面,ABCD,平面,CDEF,，,AD,DC,，,AB,AD,DE,2,，,EF,4,，,M,是线段,AE,上的动点,.,(1),试确定点,M,的位置，使,AC,平面,MDF,，并说明理由；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,当,M,是线段,AE,的中点时，,AC,平面,MDF,.,理由如下：,连结,CE,交,DF,于点,N,，连结,MN,.,因为,M,，,N,分别是,AE,，,CE,的中点，,所以,MN,AC,.,又因为,MN,平面,MDF,，,AC,平面,MDF,，,所以,AC,平面,MDF,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2),在,(1),的条件下，平面,MDF,将几何体,ADE,BCF,分成两部分，求空间几何体,M,DEF,与空间几何体,ADM,BCF,的体积之比,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,将几何体,ADE,BCF,补成三棱柱,ADE,B,CF,，如图所示，,三棱柱,ADE,B,CF,的体积为,V,S,ADE,CD,2,2,4,8,，,则几何体,ADE,BCF,的体积,V,ADE,BCF,V,ADE,B,CF,V,F,BB,C,因为三棱锥,M,DEF,的体积,所以两几何体的体积之比为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,