光纤传输的波动理论.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,3光纤传输的波动理论PPT讲座,主要内容,3.1,光纤模式理论概述,3.2,波动光学基础,3.3,圆柱坐标系中波动方程的建立,3.4,阶跃光纤中纵向场分量满足的波动方程的求解,3.5,阶跃光纤中电磁场分量的具体表达式,3.6,三个重要参数,3.7,运用边界条件得出本征方程,3.8,由本征方程出发讨论模式的分类和性质,3.9,由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件,3.10,若干低阶模式的色散曲线,3.11,阶跃光纤中的线性偏振模,3.12 LP,模的场分布形式（与下标,l,m,的关系）,3.13,导模纵向功率流,3.14,主模式号、模组、模群和模角,3.15,阶跃光纤中导模电力线和磁力线的分布,3.16,阶跃光纤中导模数量,3.17,波动光学结果与几何光学结果的对照,3.18,渐变型折射率光纤波动方程的,WKBJ,解法,3.19,多模渐变型光纤的模式特性,3.20,单模光纤的模式特性,光纤模式的激励（光的入射）,光纤中的模式分布（光线传播轨迹）,模式的传播速度（光线的时延）,模式沿光纤横截面的场分布,光信号的传输损耗,光信号的畸变,模式的偏振特性,模式的耦合,光波导要研究的主要问题,3.1,光纤模式理论概述,模式,电磁场场形,LED、白炽灯,LD、点源经准直透镜的光束,光源 光纤,光斑,初始端,导波模、辐射模（泄漏模）,导波模,波导、导波的概念！,导波：能量被局限在某个系统内部或系统周围并沿该系统导引的方,向传输的电磁波。,波导：凡是能引导和限制电磁波传输的系统。,3.1,光纤模式理论概述,模式,电磁场场形,模式：是波导结构的固有电磁共振属性的表征。,一给定光纤波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的，而外界激励源只能激励起光纤中允许存在的模式而不会改变模式的固有性质。,3.1,光纤模式理论概述,麦克斯韦方程组,波动方程（亥姆霍兹方程）,传播常数,相速度和群速度,图（缺）,3.2,波动光学基础,第二章已讲过,包含内容,传播常数,对于,齐次亥姆霍兹方程,，当取这些物理量的任一直角分量时，可有下式成立：,此式的通解为,于是可得,其中,相位常数,（传播常数）,衰减常数,传播常数,表示光波沿i方向传播单位距离后的相位改变量,3.2,波动光学基础,相速度和群速度,群速度就是指电磁波的包络传播的速度。实际上就是电磁波实际前进的速度。相速度就是电磁波相位传播的速度。通俗地讲，就是电磁波形状向前变化的速度。在波导中，相速度往往比群速度要大。,形象一点说，你拿电钻在一个很坚固的墙上钻洞，你会觉得电钻的钻头的螺纹在旋转时似乎以高速前进，但这只是你的错觉，因为你看到的是螺纹的,“,相速度,”,，虽然很快，但是你的电钻却很慢很慢地向墙内推进，也就是说电钻的总的向前推进的速度就是,“,群速度,”,。如果墙壁很硬，你的电钻根本就钻不进去，电钻向前推进的速度为,“,0,”,，但是你从电钻的螺纹上看却总是觉得电钻是不断钻进去的。,3.2,波动光学基础,本征值问题,如果算符作用于函数等于一个常数g乘以该函数，则该方程称为本征方程。其中该函数称为算符的本征函数，g是算符的对应于本征函数的本征值。,波动理论的实质：对于给定的边界条件求本征方程的解本征解及其对应的本征值，在数学上称之为“本征值问题”。,3.3,圆柱坐标系中波动方程的建立,9,光纤中电磁波的假设解,假设波导中存在如下形式的模式解,光纤波导中，电磁波在纵向（轴向）以“行波”的形式存在，在横向上以“驻波”的形式存在。即：场分布在轴向的变化只体现在相位上，场的幅度不随轴向传播距离而变化（,前提：光纤中无模式耦合，也不存在损耗和增益,）,3.3,圆柱坐标系中波动方程的建立,根据麦克斯韦方程组和物质方程（无源、各向同性介质中）,可得出,推导过程,3.1,3.3,圆柱坐标系中波动方程的建立,直角坐标下光纤中电磁波横向场分量与纵向场分量之间的关系,推导过程,3.2,3.3,圆柱坐标系中波动方程的建立,圆柱坐标下光纤中电磁波横向场分量与纵向场分量之间的关系,阶跃光纤中的波导方程,求解过程,简化阶跃光纤结构,用分离变量法解耦,在纤芯、包层界面运用边界条件,获得本征方程,3.4,阶跃光纤中纵向场分量满足的波动方程的求解,阶跃光纤中的波导方程,简化阶跃光纤结构,阶跃光纤实际结构,求解时建立的对应物理模型,为什么使用包层光纤而不用裸光纤？,3.4,阶跃光纤中纵向场分量满足的波动方程的求解,阶跃光纤中的波导方程,用分离变量法解耦,典型的贝塞尔方程,利用分离变量法,得到,简谐振动方程,3.4,阶跃光纤中纵向场分量满足的波动方程的求解,阶跃光纤中的波导方程,用分离变量解耦,其中,？,3.4,阶跃光纤中纵向场分量满足的波动方程的求解,圆柱坐标系中阶跃光纤电磁场分量的表达式,纤芯中,3.5,阶跃光纤中电磁场分量的具体表达式,圆柱坐标系中阶跃光纤电磁场分量的表达式,包层中,3.5,阶跃光纤中电磁场分量的具体表达式,3.6,三个重要参量,纤芯、包层界面,的,边界条件,3.7,运用边界条件得出本征方程,本征方程,推导过程,3.3,3.7,运用边界条件得出本征方程,模式及其基本性质,TEM模,TE模,TM模,HE或EH模,光纤中的模式,：HE（EH）模，TE（TM）模,3.8,由本征方程出发讨论模式的分类及性质,光纤中模式的偏振特性、,场强关系和相位关系,3.4,T:,T,ransverse,E:,E,lectric field,M:,M,agnetic field,阶跃光纤中的模式分析,模式分类,讨论本征方程,光纤中各类模式对应的本征方程,3.5,3.8,由本征方程出发讨论模式的分类及性质,3.9,由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件,模式临近截止条件和远离截止条件,关注包层中电磁场分量表达式,3.9,由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件,由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件,导出过程,3.6,各类模式（精确模）对应的本征方程和截止、远离截止条件,模式,本征方程,截止条件,远离截止条件,3.9,由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件,若干低阶模式,有效折射率,随归一化频率变化的曲线,3.10,若干低阶模式的色散曲线,上图,左,纵坐标表示,各导模的有效折射率,右,纵坐标表示,归一化变量,1.对b的范围的讨论（光能量是否被良好地闭锁在纤芯中）,2.,模式出现的先后顺序,对色散曲线图的说明,3.10,若干低阶模式的色散曲线,弱导近似,弱导近似weakly guiding approximation,前面,讨论,了本征方程的精确解，直观意义不明确并且比较复杂。,下面讨论弱导近似下的本征方程。,此时，本征方程可简化为,3.11,阶跃光纤中的线性偏振模,弱导近似下,本征方程的统一形式,统一形式：,推导过程,3.7,3.11,阶跃光纤中的线性偏振模,模截止值和远离截止值（U值）,LP模,截止条件,远离截止条件,截止、远离截止值,0 3.8317 7.0156 10.173 13.32,2.4048 5.5201 8.6537 11.79 14.93,2.4048 5.5201 8.6537 11.79 14.93,3.8317 7.0156 10.173 13.32,3.8317 7.0156 10.173 13.32,5.1356 8.417 11.62 14.79,3.11,阶跃光纤中的线性偏振模,3.12 LP,模的场分布形式及与下标,l,m,的关系,推导过程,3.8,（书上,P35,37,）,LP,模的含义及具体表达式,简并度,3.12 LP,模的场分布形式及与下标,l,m,的关系,LP,模横截面场分布形式与下标,l,m,的关系,推导过程,3.9,（书上,P41-42,页）,几种低阶,LP,模横截面上的光斑图,（线性偏振模）,3.12 LP,模的场分布形式及与下标,l,m,的关系,几种低阶,LP,模横截面上的光斑图,（线性偏振模）,3.12 LP,模的场分布形式及与下标,l,m,的关系,几种低阶,LP,模横截面上的光斑图,（线性偏振模）,3.12 LP,模的场分布形式及与下标,l,m,的关系,3.12 LP,模的场分布形式及与下标,l,m,的关系,几种低阶,精确,模横截面上的光斑图,（精确模）,3.12 LP,模的场分布形式及与下标,l,m,的关系,几种低阶,精确,模横截面上的光斑图,（精确模）,3.12 LP,模的场分布形式及与下标,l,m,的关系,几种低阶,精确,模横截面上的光斑图,（精确模）,3.12 LP,模的场分布形式及与下标,l,m,的关系,几种低阶,精确,模横截面上的光斑图,3.12 LP,模的场分布形式及与下标,l,m,的关系,几种低阶,精确,模横截面上的光斑图,（精确模）,3.13,导模纵向功率流,几种低阶模的归一化光功率分布,左边b=0.9，右边b=0.1,书,P42,43,3.14,主模式号、模组、模群和模角,书,P43,44,四个低阶模式的电磁场矢量结构图（横截面上）,3.15,阶跃光纤中导模电力线和磁力线的分布,电力线、磁力线方程,的推导,3.10,3.15,阶跃光纤中导模电力线和磁力线的分布,几个低阶模式的电磁场矢量结构图,3.15,阶跃光纤中导模电力线和磁力线的分布,由电力线和磁力线分布图看精确模合成线性偏振模,3.15,阶跃光纤中导模电力线和磁力线的分布,由电力线和磁力线分布图看精确模合成线性偏振模,3.16,阶跃光纤中的导模数量,TE/TM,子午光线,EH/HE,偏斜光线,3.17,波动光学结果与几何光学结果的对照,3.18,渐变型折射率光纤波动方程的,WKBJ,解法,渐变型折射率光纤的折射率分布,3.18,渐变型折射率光纤波动方程的,WKBJ,解法,渐变型折射率光纤的波动方程,3.18,渐变型折射率光纤波动方程的,WKBJ,解法,用,WKBJ,法求解渐变折射率光纤的波动方程,定态薛定谔方程,波函数的位置分量,势能,质点能量,渐变折射率光纤波动方程可演变为如下形式,演变过程,3.11,3.18,渐变型折射率光纤波动方程的,WKBJ,解法,结合薛定谔方程看渐变折射率光纤中的传导模、泄漏模和辐射模,传输常数,多模渐变型光纤,传输常数的普遍公式为,式中，,n,1,、,、,g,和,k,前面已经定义了，M是,模式总数,，,m,(,)是传输常数大于,的,模式数,。,经计算,多模渐变型光纤的模式特性,传播常数,3.19,渐变型折射率光纤模式特性,对于,突变型光纤,，g，M=V,2,/2；,对于,平方律渐变型光纤,，g=2，M=V,2,/4。,根据计算分析，在,渐变型光纤,中，凡是,径向模数l,和,方位角模数m,的组合满足,q,=2,m,+,l,的模式，都具有相同的传输常数，这些简并模式称为,模式群,。,q称为,主模数,，表示模式群的阶数，第q个模式群有2q个模式，把各模式群的简并度加起来，就得到模式数m()=q,2,。,模式总数M=Q,2,，Q称为,最大主模数,，表示模式群总数。,用q和Q代替m()和M,，,得到第q个模式群的传输常数,多模渐变型光纤的模式特性,模式数量,3.19,渐变型折射率光纤模式特性,光强分布,多模渐变型光纤,端面的,光强分布,(又称为近场)P(r)主要由,折射率分布n(r),决定，,式中P(0)为纤芯中心(r=0)的光强，C为修正因子。,多模渐变型光纤的模式特性,光强分布,3.19,渐变型折射率光纤模式特性,光强分布和模场半径,通常认为,单模光纤,基模HE,11,的电磁场分布近似为,高斯分布,式中，A为场的幅度，r为径向坐标，,w,0,为高斯分布1/e点的半宽度，称为,模场半径,。,实际,单模光纤,的,模场半径,w,0,是用测量确定的，常规,单模光纤,用纤芯半径a归一化的,模场半径,的经验公式为,(r)=A exp,0.65+1.619V,-1.5,+2.879V,-6,=0.65+0.434,+0.0149,单模光纤的模式特性,模场半径,3.20,单模光纤模式特性,单模光纤的模式特性,模场半径与纤芯半径的关系,3.20,单模光纤模式特性,单模光纤的模式特性,模场分布,3.20,单模光纤模式特性,1.,某种阶跃折射率分布的光纤，相对折射率差为,0.01,，纤芯折射率为,1.5,，纤芯直径,a,为,50m,，工作波长在,1.31m,处,（,1,）求其是单模光纤还是多模光纤？,（,2,）若为多模光纤光纤中传输的模式数量,M,是多少？,（,3,）如欲制成单模光纤，在保持,、,、,n,1,不变的前提下，纤芯直径应是多少？,（,4,）若,2a=10m,，则在保持,、,n,1,不变的前提下，入射光波长应为多少？,2.,在阶跃型光纤中，已知纤芯半径,a=4,m,，纤芯折射率,n,1,=,1.49,，相对折射率差,=0.0024,，工作波长,=1.31,m,，并且已求出导波归一化径向相位常数,u=1.529,。求：,（,1,）归一化径向衰减常数,w,（,2,）轴向,传输常数,习题,圆柱坐标系中的波动方程,坐标变换,贝塞尔函数是,数学,上的一类特殊,函数,的总称。利用柱坐标求解涉及圆、球与圆柱内的势场的物理问题时出现的一类特殊函数。贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔,伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布,伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。,补充：,关于贝塞尔函数(bessel functions),历史,贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和,亥姆霍兹方程,时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式；在球形域问题中得到的是半奇数阶形式），因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：,*在圆柱形,波导,中的,电磁波,传播问题；,*圆柱体中的,热传导,问题；,*圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；,在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。譬如在,信号处理,中的调频合成（,FM,synthesis）或凯泽窗（Kaiser window）的定义中，都要用到贝塞尔函数。,补充：,关于贝塞尔函数(bessel functions),现实背景和应用范围,正态贝塞尔函数,第一类正态贝塞尔函数,第二类正态贝塞尔函数,变态贝塞尔函数,第一类变态贝塞尔函数,第二类变态贝塞尔函数,补充：,贝塞尔函数类型,补充：,关于贝塞尔函数的性质,正态贝塞尔函数,大宗量渐近式,2.小宗量渐近式,渐近特性,4.对称性,补充：,第一类正态贝赛尔函数的曲线图,补充：第二类正态贝赛尔函数的曲线图,补充：,关于贝塞尔函数的性质,变态贝塞尔函数,大宗量渐近式,2.小宗量渐近式,渐近特性,4.对称性,补充：第一类变态贝赛尔函数的曲线图,补充：第二类变态贝赛尔函数的曲线图,几个低阶贝赛尔函数的曲线图,几个低阶贝赛尔函数的零根表,贝赛尔函数,第一个根,2.4048,0,0,0,0,0,0,第二个根,5.5201,3.8317,5.1356,6.380,7.588,8.77,9.93,第三个根,8.6537,7.0156,8.417,9.761,11.065,12.33,13.58,第四个根,11.79,10.173,11.62,13.01,14.700,17.00,第五个根,14.93,13.32,14.79,