泛函和变分法.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,泛函和变分法,泛函和变分法,泛函和变分的基本概念,最简,泛函的极值问题,其它类型,泛函的极值问题,泛函和变分用于微分方程边值问题,泛函和变分的基本概念(1/4),泛函的定义,例,(,最短路径,),：设,C,为定义在,a,b,上、满足条件,y,(,a,),=,y,1,和,y,(,b,),=,y,2,的、所有可微函数,y,(,x,),的集合。用,L,表示这样一段曲线的,长(如右图所示),，,L,=,L,y,(,x,),问题：沿哪一条路径的路程最短,函数的形式,y,(,x,),不同,a,b,O,y,x,A,O,y,x,B,例,(捷线问题),：质点在重力作用下沿一条光滑的、从点,A,到点,B,的曲线运动，所需的时间,T,取决于曲线的形状,(如右图所示),，,T,=,T,y,(,x,),问题：沿哪一条路径的下落时间最短,函数的形式,y,(,x,),不同,泛函和变分的基本概念(2/4),定义：设,C,是函数,(形式),的集合，,B,是实数集合；如果对,C,中的任一元素,y,(,x,)，在,B,中都有一个元素,J,与之对应，则称,J,为,y,(,x,),的泛函，记为,J,y,(,x,),泛函是函数的函数，以函数为自变量，而非普通变量,最短路径：,L,=,L,y,(,x,),捷线问题,：,T,=,T,y,(,x,),最简,泛函,：,满足以下关系的,泛函称为,最简,泛函,其中,F,(,x,y,y,),的,称为核,函数,泛函和变分的基本概念(3/4),函数的变分和泛函的变分,定义：设,y,(,x,),是,泛函,J,y,(,x,),的定义域内任意函数，如果,y,(,x,),变化为定义域内的另一新函数,Y,(,x,),，则,Y,(,x,),与,y,(,x,),之差,d,y,=,Y,(,x,),-,y,(,x,),称为函数,y,(,x,),的变分,函数变分和微分的比较,变分和微分都是自变量,x,的函数,微分是,同一个函数,y,(,x,),，由于自变量,x,的取值不同而导致函数值,y,的变化；变分是由于,函数形式的不同,而导致函数值的变化,函数求导和求变分可以交换次序,泛函和变分的基本概念(4/4),最简,泛函,的一阶和二阶变分,其中,d,J,称为泛函,的一阶变分，,d,2,J,称为,二阶变分,泛函的极值条件就是,一阶变分为零：,d,J,=,0,最简,泛函的极值问题(1/9),最简,泛函的欧拉方程,最简,泛函的极值欧拉方程,欧拉方程的解仅仅对应极值,函数，不关心,泛函的,大小,通过变分运算等价于,一定边界条件下的常微分方程,例：如下泛函(不是,最简,泛函)的极值问题,等价于以下边界条件下的静电场中的泊松方程,最简,泛函的极值问题(2/9),例：求以下,最简,泛函的极值问题,核函数和微分方程,满足边界条件的极值函数,例：求解,最短路径,问题,最简,泛函的极值问题(3/9),例：求解捷线问题,最简,泛函的极值问题(4/9),欧拉方程的其它算法,如果,F,中不显含,y,，不满足边界条件，则极值函数不存在,如果,F,中不显含,y,如果,F,中不显含,x,最简,泛函的极值问题(5/9),例：再求解捷线问题,最简,泛函的极值问题(6/9),例(最小旋转面)：光滑曲线,以点,A,(,x,0,y,0,),和,B(,x,1,y,1,),为端点(如右图)，求一条曲线使它,绕,Ox,轴,旋转时所得曲面的面积最小,x,y,A,B,以,y,(,x,),表示任意曲线，得旋转面面积,从欧拉方程的极值问题求曲线方程,最简,泛函的极值问题(7/9),瑞利-里兹法的步骤,选一组相对完备的基函数,w,0,w,1,w,n,，线性展开,y,只取前面,n,项，作为,y,的近似，代入,泛函，积分,J,y,=,I,(,a,1,a,2,a,n,),按多元函数取极值方法,求解以上,n,个关于,a,i,的方程，得到系数,a,i,，,代入展开式,即可得到,y,的近似，再计算可得到,J,y,取前面,n,+1,项，重复以上2和3步，直至,J,y,收敛,最简,泛函的极值问题(8/9),求解以下泛函的极值,函数,取满足边界条件的基函数：,w,i,=,x,i,(1-,x,),只取前面,n,项，作为,y,的近似,最简,泛函的极值问题(9/9),瑞利-里兹法的关键：选择合适的基函数,幂函数：,1,x,x,2,=,x,i,三角函数：,1,cos,x,sin,x,cos,2,x,sin,2,x,其它：尽量同时满足边界条件,其它类型,泛函的极值问题(1/4),依赖于多个函数的泛函,泛函的一般形式,欧拉方程,例：求解以下泛函的极值问题,解：,其它类型,泛函的极值问题(2/4),例：不均匀的介质中，折射率为,n,(,x,y,z,),，光的传播速度为,c,/,n,。求光从 A,(,x,0,y,0,z,0,),到 B,(,x,1,y,1,z,1,),的传播路径,设,G,过 A 和 B 的某条光滑曲线：,y,=,y,(,x,),z,=,z,(,x,),费马原理：光沿由 A 到 B 的所需时间最短的曲线行进,泛函的极值问题：要求,T,取极小值,其它类型,泛函的极值问题(3/4),依赖于函数高阶导数的泛函,泛函的一般形式,欧拉方程,例：求解以下泛函的极值问题,解：,其它类型,泛函的极值问题(4/4),依赖于多元函数的泛函,泛函的一般形式,欧拉方程,例：拉普拉斯方程的第三类边界问题,该定解问题转化为以下泛函的极值问题,泛函和变分用于(1/1),斯特姆-刘维型方程,L,y,=,l,r,(,x,),y,本征值：,l,1,l,2,l,3,本征函数：,y,1,(,x,),y,2,(,x,),y,3,(,x,),构成完备正交系,任意函数,f,(,x,),(要求一阶导数连续、二阶导数分段连续、归一),的展开,泛函,如果,l,1,是,泛函,J,f,(,x,),的极小值，则必是斯特姆-刘维型方程的最小本征值,将最小本征值问题转化为,泛函,的极值问题,作业,无,