第三节-二阶常系数线性微分方程的解法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节-二阶常系数线性微分方程的解法,二阶常系数,齐次,线性方程解的性质,回顾,一阶齐次线性,方程,1,、方程,(1)的任意两个解,的,和仍是(1)的解；,2,、方程,(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；,2,二阶常系数,齐次,线性方程解的性质,1,、方程,(2),的任意两个解,的,和仍是,(2),的解；,2,、方程,(2),的任意一个解的常数倍仍是,(2),的解；,也是,(2),的解.,(称,线性无关,),则上式为,(2),的,通解,.,定理1,(2),3,二、二阶常系数,齐次,线性方程的,解法,代数方程,(3),称为微分方程,(2),的,特征方程,它的根称为,特征根,(,或,特征值,).,(3),(2),4,故它们线性无关,因此,(2),的通解为,(3),情形1,5,情形2,需要求另一个特解,6,情形3,可以证明,是,(2),的解，,且线性无关，,所以方程,(2),的通解为,7,小结,特征根的情况,通解的表达式,实根,实根,复根,8,解,特征方程为,故所求通解为,例1,例2,解,特征方程为,解得,故所求通解为,特征根为,9,解,特征方程为,故通解为,例3,特征根为,10,对应齐次方程,三、二阶常系数,非齐次,线性方程解的性质及求解法,(1),(2),1,、,方程,(1),的任意一个解加上方程,(2),的任意一个解是,(1),的解；,2,、,方程,(1),的任意两个解之差是,(2),的解,.,定理2,那么方程(1)的通解为,11,问题归结为求方程,(1),的一个特解.,只讨论,f,(,x,),的两种类型.,用,待定系数法,求解.,对应齐次方程,三、二阶常系数,非齐次,线性方程解的性质及求解法,(1),(2),那么方程(1)的通解为,定理2,12,则,13,情形1,若,r,不是特征根,即,情形2,若,r,是特征方程的单根,即,14,情形3,若,r,是特征方程的,二重,根,即,15,综上讨论,设特解为,其中,16,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例4,代入原方程,得,17,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程，,原方程通解为,例5,得,18,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例6,代入方程,得,19,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例6,注意：,现即,即得,这样比代入原方程要简便得多。,20,解,例7,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,21,此时原方程的通解为,22,可以证明,方程,(1),具有如下形式的特解:,23,解,例8,所求,通解为,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,24,解,例9,所求,通解为,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,25,定理3(非齐次线性方程的叠加原理),和,的特解,的一个特解,26,例10,解,代入得,27,解,代入得,原方程通解为,例10,28,解,例11,是对应齐次方程的通解,但没有原方程的特解,故(,B),也不对；,二阶非齐次线性微分方程,29,30,解,例12,求导，,原方程改写为,再求导，,31,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入得,32,初始条件:,33,练习：,P394,习题九,34,