北京专用高考数学一轮复习第二章函数第二节函数的单调性与最值.ppt

,总纲目录,教材研读,考点突破,栏目索引,第二节函数的单调性与最值,总纲目录,教材研读,1.,函数的单调性,考点突破,2.,函数的最值,考点二求函数的单调区间,考点一函数单调性的判断,考点三函数单调性的应用,1.函数的单调性,(1)单调函数的定义,教材研读,增函数,减函数,定义,一般地,设函数,f,(,x,)的定义域为,I,如果对于定义域,I,内某个区间,D,上的任意两个自变量的值,x,1,x,2,当,x,1,x,2,时,都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),那么就说函数,f,(,x,)在区间,D,上是单调增函数,当,x,1,f,(,x,2,),那么就说函数,f,(,x,)在区间,D,上是单调减函数,图象,描述,自左向右看图象是,上升的,自左向右看图象是,下降的,(2)单调区间的定义,若函数,f,(,x,)在区间,D,上是,单调增函数,或,减函数,则称函数,f,(,x,)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间,D,叫做,y,=,f,(,x,)的单调区间.,(3)判断函数单调性的方法,(i)定义法:利用定义判断.,(ii)利用函数的性质:如,若,y,=,f,(,x,)、,y,=,g,(,x,)为增函数,则,a.,y,=,f,(,x,)+,g,(,x,)为增函数;,b.,y,=,为减函数(,f,(,x,)0);,c.,y,=,为增函数(,f,(,x,),0);,d.,y,=,f,(,x,),g,(,x,)为增函数(,f,(,x,)0,g,(,x,)0);,e.,y,=-,f,(,x,)为减函数.,(iii)利用复合函数关系判断单调性,法则是“同增异减”,即若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数,的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的,复合函数为减函数.,(iv)图象法,(v)导数法,2.函数的最值,前提,设函数,y,=,f,(,x,)的定义域为,I,如果存在实数,M,满足,条件,(1)对于任意的,x,I,都有,f,(,x,),M,;,(2)存在,x,0,I,使得,f,(,x,0,)=,M,(1)对于任意的,x,I,都有,f,(,x,),M,;,(2)存在,x,0,I,使得,f,(,x,0,)=,M,结论,M,为函数,y,=,f,(,x,)的最大值,M,为函数,y,=,f,(,x,)的最小值,1.(2014北京,2,5分)下列函数中,定义域是R且为增函数的是,(),A.,y,=e,-,x,B.,y,=,x,3,C.,y,=ln,x,D.,y,=|,x,|,答案,B,y,=e,-,x,在R上为减函数;,y,=,x,3,是定义域为R的增函数;,y,=ln,x,的定,义域为(0,+,);,y,=|,x,|在R上不单调,故选B.,B,2.函数,y,=,x,2,-6,x,+10在区间(2,4)上,(),A.递减B.递增,C.先递减后递增D.先递增后递减,答案,C函数,y,=,x,2,-6,x,+10的图象为抛物线,且开口向上,对称轴为直,线,x,=3,函数,y,=,x,2,-6,x,+10在(2,3)上为减函数,在(3,4)上为增函数.,C,3.(2016北京东城(上)期中)已知函数,y,=,那么,(),A.函数的单调递减区间为(-,1),(1,+,),B.函数的单调递减区间为(-,1),(1,+,),C.函数的单调递增区间为(-,1),(1,+,),D.函数的单调递增区间为(-,1),(1,+,),3.(2016北京东城(上)期中)已知函数,y,=,那么,(),A.函数的单调递减区间为(-,1),(1,+,),B.函数的单调递减区间为(-,1),(1,+,),C.函数的单调递增区间为(-,1),(1,+,),D.函数的单调递增区间为(-,1),(1,+,),答案,A函数,y,=,的图象可看作,y,=,的图象向右平移1个单位得到,的,y,=,在(-,0)和(0,+,)上单调递减,y,=,在(-,1)和(1,+,)上,单调递减,故选A.,A,4.若函数,y,=(2,k,+1),x,+,b,在R上是减函数,则,k,的取值范围是,.,答案,解析,因为函数,y,=(2,k,+1),x,+,b,在R上是减函数,所以2,k,+10,即,k,-,.,5.若函数,f,(,x,)满足“对任意的,x,1,x,2,R,当,x,1,f,(,x,2,)”,则满足,f,(2,x,-1),f,(1)的实数,x,的取值范围为,.,答案,(1,+,),解析,由题意知,函数,f,(,x,)在定义域内为减函数,f,(2,x,-1)1,即,x,1,x,的取值范围为(1,+,).,(1,+),6.(2013北京,13,5分)函数,f,(,x,)=,的值域为,.,答案,(-,2),解析,x,1时,f,(,x,)=lo,x,是单调递减的,此时,函数的值域为(-,0;,x,1时,f,(,x,)=2,x,是单调递增的,此时,函数的值域为(0,2).,综上,f,(,x,)的值域是(-,2).,(-,2),典例1,(1)下列四个函数中,在(0,+,)上为增函数的是,(),考点一函数单调性的判断,考点突破,A.,f,(,x,)=3-,x,B.,f,(,x,)=,x,2,-3,x,C.,f,(,x,)=-,D.,f,(,x,)=-|,x,|,(2)设函数,f,(,x,)=,g,(,x,)=,x,2,f,(,x,-1),则函数,g,(,x,)的递减区间是,.,答案,(1)C(2)0,1),解析,(1),f,(,x,)=3-,x,在(0,+,)上为减函数;当,x,时,f,(,x,)=,x,2,-3,x,为减函,数,当,x,时,f,(,x,)=,x,2,-3,x,为增函数;,f,(,x,)=-,在(0,+,)上为增函数;,f,(,x,)=-|,x,|在(0,+,)上为减函数.,(2)由题意知,g,(,x,)=,函数图象如图所示,其递减区间是0,1).,1-1,(2016北京,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是,(),A.,y,=,B.,y,=cos,x,C.,y,=ln(,x,+1)D.,y,=2,-,x,答案,D选项A中,y,=,=,的图象是将,y,=-,的图象向右平移1,个单位得到的,故,y,=,在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y,=cos,x,在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C中,y,=ln(,x,+,1)的图象是将,y,=ln,x,的图象向左平移1个单位得到的,故,y,=ln(,x,+1)在(-1,1),上为增函数,不符合题意;选项D符合题意.,D,典例2,(1)函数,f,(,x,)=max,x,2,-,x,1-,x,2,的单调增区间是,(),A.,1,+,)B.,0,1,C.,D.0,1,(2)函数,y,=,的单调递增区间为,单调递减区间为,.,考点二求函数的单调区间,答案,(1)A(2)2,+,);(-,-3,解析,(1)令,x,2,-,x,=1-,x,2,得,x,=-,或,x,=1.,当,x,1时,f,(,x,)=,x,2,-,x,;,当-,x,1时,f,(,x,)=1-,x,2,f,(,x,)=,画出函数,f,(,x,)的图象,如图.,观察图象得单调增区间为,和1,+,).,故选A.,(2)令,u,=,x,2,+,x,-6,则,y,=,可以看作是由,y,=,与,u,=,x,2,+,x,-6复合而成的,函数.,令,u,=,x,2,+,x,-6,0,得,x,-3或,x,2.,u,=,x,2,+,x,-6在(-,-3上是减函数,在2,+,)上是增函数,而,y,=,在0,+,)上是增函数,y,=,的单调减区间为(-,-3,单调增区间为2,+,).,方法技巧,1.函数的单调性与“区间”紧密相关,函数的单调区间是函数定义域的,子集,所以要求函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.,2.由图象确定函数的单调区间需注意:图象不连续且有多个上升段(下,降段)的函数,其单调增(减)区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用,“,”连接.,3.利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定相应各函数的单调性.,2-1,函数,f,(,x,)=|,x,-2|,x,的单调减区间是,(),A.1,2B.-1,0,C.0,2D.2,+,),2-1,函数,f,(,x,)=|,x,-2|,x,的单调减区间是,(),A.1,2B.-1,0,C.0,2D.2,+,),答案,A,f,(,x,)=|,x,-2|,x,=,结合图象(图略)可知函数的单调减,区间是1,2,故选A.,A,2-2,函数,f,(,x,)=lo,(,x,2,-4)的单调递增区间为,(),A.(0,+,)B.(-,0),C.(2,+,)D.(-,-2),答案,D由,x,2,-40得,x,2.,易知,u,=,x,2,-4在(-,-2)上为减函数,在(2,+,)上为增函数,y,=lo,u,为减函数,故,f,(,x,)的单调递增区间为(-,-2).,D,考点三函数单调性的应用,命题角度一比较大小,典例3,已知函数,f,(,x,)是定义在R上的偶函数,且在0,+,)上是减函数,则,下列各式一定成立的是,(),A.,f,(0),f,(2),C.,f,(-1),f,(3)D.,f,(-2),f,(-3),C,答案,C,解析,因为,f,(,x,)是R上的偶函数,所以,f,(-,x,)=,f,(,x,)=,f,(|,x,|),又,f,(,x,)在0,+,)上是减函数,所以,f,(6),f,(|-3|),f,(|-2|),f,(|-1|),f,(,a,+3),则实数,a,的取值,范围是,.,答案,(-3,-1),(3,+,),解析,由已知可得,解得-3,a,3,所以实数,a,的取值范,围是(-3,-1),(3,+,).,(-3,-1)(3,+),命题角度三求参数,典例5,(2017北京朝阳期末)已知函数,f,(,x,)=,在(-,+,)上,具有单调性,则实数,m,的取值范围是,.,(1,答案,(1,解析,易知,m,=0不符合题意.,由题意得,或,解得10恒成立,试求实数,a,的取值范围.,解析,(1)当,a,=,时,f,(,x,)=,x,+,+2,易知其在1,+,)上是增函数,f,(,x,)在1,+,)上的最小值为,f,(1)=,.,(2)在区间1,+,)上,f,(,x,)=,0恒成立,x,2,+2,x,+,a,0在1,+,)上恒成立.,令,g,(,x,)=,x,2,+2,x,+,a,x,1,+,).,g,(,x,)=(,x,+1),2,+,a,-1在1,+,)上是增函数,g,(,x,)在1,+,)上的最小值为,g,(1)=3+,a,.,3+,a,0,即,a,-3.,方法技巧,函数单调性应用的解题技巧,函数单调性的应用比较广泛,主要用来比较函数值的大小、解函数不等,式、求相关参数的范围、求函数的最值等.,(1)比较两个函数值的大小,若,f,(,x,)在给定的区间,A,上是递增的,任取,x,1,x,2,A,则,x,1,x,2,f,(,x,1,),f,(,x,2,);若,f,(,x,)在给定的区间,A,上是递减的,任取,x,1,x,2,A,则,x,1,f,(,x,2,).若给定,的两个自变量在同一单调区间上,可直接比较大小,否则,要先根据奇偶,性或周期性把它们转化到同一单调区间上,再利用单调性比较大小.,(2)利用函数单调性解函数不等式,解函数不等式的关键是利用函数的单调性去掉函数符号“,f,”,变函数,不等式为一般不等式.去掉“,f,”时,要注意,f,(,x,)的定义域的限制.,(3)利用函数的单调性求参数的取值范围,依据函数单调性的定义,对给定区间内的任意两个不相等的自变量对应,的函数值作差(满足函数关系式的自变量必须在定义域内,这是一个容,易被忽视的问题),通过构造关于参数的不等式进行求解.在求抽象函数,中参数的范围时,往往是利用函数的单调性将符号“,f,”去掉,得到关于,参数的不等式.,(4)利用函数的单调性求解函数的最值,步骤:判断函数的单调性;计算端点处的函数值;确定最大值和最,小值.,3-1,(2016北京朝阳二模)设函数,f,(,x,)=,(,a,0且,a,1)的最大,值为1,则实数,a,的取值范围是,(),A.,B.(0,1),C.,D.(1,+,),答案,A当,x,2时,f,(,x,)=,x,-1单调递增,f,(,x,),max,=,f,(2)=1.,由题意知当,x,2时,f,(,x,)=2+log,a,x,必为减函数,解得,a,1.,a,的取值范围是,.,A,3-2,(2017北京朝阳二模)设函数,f,(,x,)=,则,f,(1)=,;若,f,(,x,)在其定义域内为单调递增函数,则实数,a,的取值范围是,.,答案,2;(-,1,解析,易得,f,(1)=1+1=2.,由,f,(,x,)在其定义域内为单调递增函数,知,f,(,x,)在(0,+,)和(-,0上均为增函数,且满足0,3,+,a,0+1,解得,a,1.,