高考数学一轮复习-第八章-立体几何-第7讲-空间中角与距离的计算配套.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,7,讲,空间中角与距离的计算,考纲要求,考点分布,考情风向标,1.,能用向量方法证,明有关直线和平,面位置关系的一,些定理,(,包括三垂,线定理,).,2.,能用向量方法解,决直线与直线,、直,线与平面、平面与,平面的夹角的计,算问题，了解向量,方法在研究几何,问题中的应用,2011,年新课标以四棱锥为背景，考,查求二面角的余弦值的大小；,2012,年新课标以三棱柱为背景，,考查求二面角的大小；,2013,年新课标,以三棱柱为背景，,考查求线面所成角的正弦值；,2014,年新课标,以三棱柱为背景，,考查求二面角的余弦值；,2015,年新课标,考查求直线与直,线所成角的余弦值；,2016,年新课,标,考查利用空间向量求二面角；,2017,年新课标,考查利用空间向,量求二面角,在近年高考试卷中，立体几,何常常以锥体或柱体为载,体，命题呈现一题两法的新,格局,.,一直以来立体几何解答,题都是让广大考生又喜又忧,.,为之而喜是因为只要能建立,直角坐标系，基本上可以处,理立体几何绝大多数的问,题；,为之而忧就是对于不规,则的图形来讲建系的难度较,大，问题不能得到很好的解,决,.,比较容易建系的就用空间,向量,(,有三线两两垂直或面面,垂直的,),，否则还是利用传统,的推理与证明,1.,异面直线所成的角,过空间任一点,O,分别作异面直线,a,与,b,的平行线,a,与,b,.,那么直线,a,与,b,所成的锐角或直角，叫做异面直线,a,与,b,所,成的角,(,或夹角,),，其范围是,_.,(0,，,90,2.,直线与平面所成的角,(1),如果直线与平面平行或者在,平面内，则直线与平面所成,的角等于,0.,90,(2),如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于,_.,(3),平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条,斜线与平面所成的角，其范围是,(0,，,90).,斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的,直线所成的一切角中最小的角,.,3.,二面角,从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角,.,从,二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱,的,两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,.,平面角是,直角的二面角叫做,_.,直二面角,4.,点到平面的距离,点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距,离,.,求点到平面的距离通常运用等体积法，即构造一个三棱锥，,将点到平面的距离转化为三棱锥的高,.,5.,直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做,这条直线与平面的距离,.,1.,若,a,(1,，,2,，,3),是平面,的一个法向量，,则下列向量中能,),作为平面,的法向量的是,(,A.(0,，,1,，,2),C.(,1,，,2,，,3),B.(3,，,6,，,9),D.(3,，,6,，,8),解析：,向量,(1,，,2,，,3),与向量,(3,，,6,，,9),共线,.,B,2.,若直线,l,，且,l,的方向向量为,(2,，,m,，,1),，平面,的法向,量为,，则,m,(,),A.,4,C.,8,B.,6,D.8,C,3.,已知平面,上的两个向量,a,(2,，,3,，,1),，,b,(5,，,6,，,4),，,),则平面,的一个法向量为,(,A.(1,，,1,，,1),C.(,2,，,1,，,1),B.(2,，,1,，,1),D.(,1,，,1,，,1),C,4.,如图,8-7-1,，在长方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,BC,2,，,AA,1,1,，则,BC,1,与平面,BB,1,D,1,D,所成角的正弦值为,_.,图,8-7-1,考点,1,线面所成角的计算,例,1,：,(20,17,年广东惠州三模,),如图,8-7-2,，,四棱锥,P,-,ABCD,的底面是梯形，且,AB,CD,，,AB,平面,PAD,，,E,是,PB,中点，,(1),求证：,CE,平面,PAB,；,(2),若,CE,，,AB,4,，求直线,CE,与平面,PDC,所成角的大小,.,图,8-7-2,，,(1),证明：,取,A,P,的中点,F,，连接,DF,，,EF,，如图,.,因为,PD,AD,，所以,DF,AP,.,因为,AB,平面,PAD,，,DF,平面,PAD,，,所以,AB,DF,.,又因为,AP,AB,A,，所以,DF,平面,PAB,.,因为点,E,是,PB,中点，所以,EF,AB,，且,EF,AB,2,.,又因为,AB,CD,，且,CD,AB,2,所以,EF,CD,，且,EF,CD,.,所以四边形,EFDC,为平行四边形,.,所以,CE,DF,，,所以,CE,平面,PAB,.,图,D66,(2),解：,如图,D66,，设点,O,，,G,分别为,AD,，,BC,的中点，连,接,OG,，则,OG,AB,.,因为,AB,平面,PAD,，,AD,平面,PAD,，,所以,AB,AD,.,所以,OG,AD,.,又因为,AB,4,，所以,AD,2.,所以,APD,为正三角形,.,所以,PO,AD,.,因为,AB,平面,PAD,，,PO,平面,PAD,，,所以,AB,PO,.,又因为,AD,AB,A,，所以,PO,平面,ABCD,.,【,规律方法,】,求直线与平面所成的角，大致有两种基本方,法：,传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线,与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小,.,找射影,的基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得,到直线在平面内的射影；有时也可通过,找到经过斜线且垂直于,已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面,的交线即为射影,.,空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，然后,利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角,.,【,互动探究,】,1.(2017,年北京,),如图,8-7,-3,，在四棱锥,P,-,ABCD,中，底面,ABCD,为正方形，平面,PAD,平面,ABCD,，点,M,在线段,PB,上，,PD,平面,MAC,，,PA,PD,，,AB,4.,(1),求证：,M,为,PB,的中点；,(2),求二面角,B,-,PD,-,A,的大小；,(3),求直线,MC,与平面,BDP,所成角的正弦值,.,图,8-7-3,(1),证明：,设,A,C,，,BD,交点为,E,，连接,ME,，如图,D68.,因为,PD,平面,MAC,，平面,MAC,平面,PBD,ME,，所以,PD,ME,.,因为,ABCD,是正方形，所以,E,为,BD,的中点,.,所以,M,为,PB,的中点,.,图,D68,(2),解：,取,A,D,的中点,O,，连接,OP,，,OE,.,因为,PA,PD,，所以,OP,AD,.,又因为平面,PAD,平面,ABCD,，平面,PAD,平面,ABCD,，,OP,AD,，且,OP,平面,PAD,，所以,OP,平面,ABCD,.,因为,OE,平面,ABCD,，所以,OP,OE,.,因为,ABCD,是正方形，所以,OE,AD,.,如图,D69,，建立空间直角坐标系,O,-,xyz,，,图,D69,考点,2,面面所成角的计算,例,2,：,(2017,年江苏,),如图,874,，在平行六面体,ABCD,BAD,120.,(1),求异面直线,A,1,B,与,AC,1,所成角的余弦值；,(2),求二面角,B,-,A,1,D,-,A,的正弦值,.,图,8-7-4,如图,D67,，以,AE,，,AD,，,AA,1,为正交基底，建立空间直角坐,解：,在平面,ABCD,内，过点,A,作,AE,AD,，交,BC,于点,E,.,因为,AA,1,平面,ABCD,，所以,AA,1,AE,，,AA,1,AD,.,标系,A,-,xyz,.,图,D67,【,规律方法,】,求二面角，大致有两种基本方法：,(1),传统立体几何的综合推理法：,定义法；垂面法；三垂线定理法；射影面积法,.,(2),空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别,求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角,的大小,.,【,互动探究,】,2.(2017,年新课标,),如图,8-7-5,，四棱锥,P,-,AB,CD,中，侧面,ABC,90,，,E,是,PD,的中点,.,(1),证明：直线,CE,平面,PAB,；,(2),点,M,在棱,PC,上，且直线,BM,与底面,ABCD,所成锐角为,45,，求二面角,M,-,AB,-,D,的余弦值,.,图,8-7-5,(1),证明：,取,P,A,中点,F,，连接,EF,，,BF,.,由,BAD,ABC,90,，得,BC,AD,，,所以四边形,BCEF,为平行四边形,.,所以,CE,BF,.,又,BF,平面,PAB,，,CE,平面,PAB,，,所以,CE,平面,PAB,.,图,D70,难点突破,利用空间向量求空间距离,例题：,(2017,年天津,),如图,8-7-6,，在三棱锥,P,-,ABC,中，,PA,底面,ABC,，,BAC,90.,点,D,，,E,，,N,分别为棱,PA,，,PC,，,BC,的中点，,M,是线,段,AD,的中点，,PA,AC,4,，,AB,2.,(1),求证：,MN,平面,BDE,；,(2),求二面角,C,-,EM,-,N,的正弦值；,图,8-7-6,(3),已知点,H,在棱,PA,上，且直线,NH,与直线,BE,所成角的余,弦值为,，求线段,AH,的长,.,解：,如图,8-7-7,，以,A,为原点，分别以,AB,，,AC,，,AP,方向为,x,轴、,y,轴、,z,轴正方向建立空间直角坐标系,.,图,8-7-7,依题意可得,A,(0,，,0,，,0),，,B,(2,，,0,，,0),，,C,(0,，,4,，,0),，,P,(0,，,0,，,4),，,D,(0,，,0,，,2),，,E,(0,，,2,，,2),，,M,(0,，,0,，,1),，,N,(1,，,2,，,0).,【,互动探究,】,3.,已知多面体,S,-,ABCD,如图,8-7-8,，底面,ABCD,为矩形，其,中,DC,平面,SAD,，,SDA,90,，若,P,，,Q,，,R,分别是,BC,，,SA,，,AD,的中心，其中,AD,CD,2.,(1),证明：,AD,PQ,；,(2),若二面角,S,-,BR,-,D,的余弦值为,，求,SD,的长,.,图,8-7-8,(1),证明：,取,S,D,的中点,H,，连接,QH,，,HC,.,因为,ABCD,是正方形，所以,AD,BC,，,AD,BC,.,因为,Q,，,H,分别是,SA,，,SD,的中点，,所以,QH,PC,，,QH,PC,.,所以四边形,QHCP,是平行四边形,.,所以,PQ,HC,.,因为,SDA,90,，,SD,DC,D,，,所以,AD,平面,SDC,.,又,HC,平面,SDC,，所以,AD,HC,.,所以,AD,PQ,.,(2),解：,如图,D71,，以,D,为原点，射线,DA,，,DC,，,DS,分别,为,x,，,y,，,z,轴正方向，建立空间直角坐标系,.,设,SD,a,(,a,0),，则,S,(0,，,0,，,a,),，,R,(1,，,0,，,0),，,B,(2,，,2,，,0).,图,D71,因为,SD,底面,ABCD,，,所以平面,ABCD,的一个法向量为,m,(0,，,0,，,1).,设平面,SRB,的一个法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,