高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.2平面与平面垂直的判定课件新人教A版必修.ppt

高中,数学,栏目导航,高中,数学,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,2.3.2,平面与平面垂直的判定,目标导航,课标要求,1.,了解二面角及其平面角的定义,并会求简单二面角的大小,.,2.,理解两个平面互相垂直的定义,.,3.,理解两个平面垂直的判定定理,并能用定理判定面面垂直,.,素养达成,通过二面角及其平面角、两个平面互相垂直的学习,锻炼了学生的逻辑思维能力、空间想象能力,促进直观想象、逻辑推理等核心素养的达成.,新知探求,课堂探究,新知探求,素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.,二面角,(1),定义,:,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的,这两个半平面叫二面角的,.,图中的二面角可记作,:,二面角,-AB-,或,-l-,或,P-AB-Q.,棱,面,(2),二面角的平面角,:,如图,在二面角,-l-,的棱,l,上任取一点,O,以点,O,为垂足,在半平面,和,内分别作,的射线,OA,OB,则射线,OA,和,OB,构成的,AOB,叫做二面角的平面角,.,平面角是,的二面角叫做直二面角,.,垂直于棱l,探究,2:,教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角,?,答案,:,可以构成三个二面角,如图所示,.,分别是,-a-,-c-,-b-,.,这三个二面角都是,90.,直角,2.,平面与平面垂直,(1),定义,:,一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直,.,平面,与,垂直,记作,.,直二面角,(2),判定定理,文字语言,图形语言,符号语言,一个平面过,则这两个平面垂直,另一个平面的垂线,探究2:,过平面外一点,可以作多少个与已知平面垂直的平面?,答案:,无数多个,.,过平面外一点可以作平面的一条垂线,过此垂线可以作出无数个平面,这些平面都与已知平面垂直,.,自我检测,1.(,二面角,),下列结论,:(1),两个相交平面组成的图形叫做二面角,;,(2),异面直线,a,b,分别和一个二面角的两个半平面垂直,则,a,b,所成的角与这个二面角的平面角相等或互补,.,(3),二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成角的最小角,;,(4),二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系,.,其中正确的是,(,),(A)(B),(C)(D),B,2.(,判定定理,),对于直线,m,n,和平面,能得出,的一个条件是,(,),(,A)mn,m,n,(,B)mn,=,m,n,(,C)mn,n,m,(,D)mn,m,n,3.(,二面角,)在二面角,-,l,-,的棱l上任选一点O,若AOB是二面角,-,l,-,的平面角,则必须具有的条件是(),(A)AOBO,AO,BO,(B)AOl,BOl,(C)ABl,AO,BO,(D)AOl,BOl,且,AO,BO,C,D,4.(,面面垂直的判定,),已知,l,则过,l,与,垂直的平面,(,),(A),有,1,个,(B),有,2,个,(C),有无数个,(D),不存在,C,5.(,二面角,),三棱锥,P-ABC,的两侧面,PAB,PBC,都是边长为,2,的正三角形,AC=,则二面角,A-PB-C,的大小为,.,答案:,60,6.(,面面垂直判定定理,),在三棱锥,P,-,ABC,中,已知,PAPB,PBPC,PCPA,则在三棱锥,P,-,ABC,的四个面中,互相垂直的面有,对,.,答案:,3,题型一,求二面角,【,例,1】,如图所示,在正方体,ABCD-ABCD,中,:,课堂探究,素养提升,(1),求二面角,D-AB-D,的大小,;,解,:,(1),在正方体,ABCD,-,ABCD,中,AB,平面,ADDA,所以,ABAD,ABAD,因此,DAD,为二面角,D,-,AB,-,D,的平面角,在,RtDDA,中,DAD=45,.,所以二面角,D,-,AB,-,D,的大小为,45,.,(2),若,M,是,CD,的中点,求二面角,M-AB-D,的大小,.,解,:,(2),因为,M,是,CD,的中点,所以,MA=MB,取,AB,的中点,N,连接,MN,则,MNAB.,取,CD,的中点,H,连接,HN,则,HNAB.,从而,MNH,是二面角,M-AB-D,的平面角,.MNH=45,.,所以二面角,M-AB-D,的大小为,45,.,方法技巧,(1)二面角的平面角满足:顶点在二面角的棱上;两边分别在二面角的两个半平面内;两边分别与二面角的棱垂直.,(2)二面角的平面角是两条射线所成的角,因此二面角不一定是锐角,其范围为0,180,.,即时训练1,-,1:,已知D,E分别是正三棱柱ABC,-,A,1,B,1,C,1,的侧棱AA,1,和BB,1,上的点,且A,1,D=2B,1,E=B,1,C,1,.求过D,E,C,1,的平面与棱柱的下底面A,1,B,1,C,1,所成的二面角的大小.,解:,如图所示,在平面AA,1,B,1,B内延长DE和A,1,B,1,交于点F,则F是平面DEC,1,与平面A,1,B,1,C,1,的公共点.于是C,1,F为这两个平面的交线.因而,所求二面角即为二面角D,-,C,1,F,-,A,1,.,因为A,1,DB,1,E,且A,1,D=2B,1,E,所以E,B,1,分别为DF和A,1,F的中点.,因为A,1,B,1,=B,1,C,1,=A,1,C,1,=B,1,F,所以FC,1,A,1,C,1,.,又因为CC,1,平面A,1,B,1,C,1,FC,1,平面A,1,B,1,C,1,所以CC,1,FC,1,.,又因为A,1,C,1,CC,1,为平面AA,1,C,1,C内的两条相交直线,所以FC,1,平面AA,1,C,1,C.,因为DC,1,平面AA,1,C,1,C,所以FC,1,DC,1,.,所以DC,1,A,1,是二面角D,-,C,1,F,-,A,1,的平面角.,由已知A,1,D=A,1,C,1,则DC,1,A,1,=45,.,故所求二面角的大小为45,.,【,备用例,1】,在四棱锥,P-ABCD,中,底面是边长为,a,的正方形,PD,平面,ABCD,PD=a.,(1),求证,:AC,平面,PBD;,(1),证明,:,因为四边形,ABCD,为正方形,所以,ACBD,又,PD,平面,ABCD,所以,ACPD,又,PDBD=D,所以,AC,平面,PBD.,(2),求二面角,P-BC-D,的平面角,;,(2),解,:,因为四边形,ABCD,为正方形,所以,BCCD,又,PD,平面,ABCD,所以,BCPD.,又,CDPD=D,所以,BC,平面,PCD,所以,BCPC,所以,PCD,为二面角,P,-,BC,-,D,的平面角,在,RtPCD,中,因为,PD=DC=a,所以,PCD=45,即二面角,P,-,BC,-,D,的平面角为,45,.,(3),求二面角,P-AC-D,的平面角的正切值,.,题型二,平面与平面垂直的判定,【,例,2】,(1),如图,(1),在四面体,ABCD,中,BD=a,AB=AD=CB=CD=AC=a.,求证,:,平面,ABD,平面,BCD;,(2),如图,(2),在正三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中,D,为,BC,的中点,点,E,在,AC,上,且,DEA,1,E.,求证,:,平面,A,1,AD,平面,BCC,1,B,1,;,求证,:,平面,A,1,DE,平面,ACC,1,A,1,.,证明,:,(2),因为三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,为正三棱柱,所以,BB,1,平面,ABC,又,AD,平面,ABC,所以,ADBB,1,又,D,为,BC,的中点,所以,ADBC,又,BCBB,1,=B,所以,AD,平面,BCC,1,B,1,.,又,AD,平面,ADA,1,所以平面,A,1,AD,平面,BCC,1,B,1,.,因为三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,为正三棱柱,所以,AA,1,平面,ABC,又,DE,平面,ABC,所以,AA,1,DE,又,DEA,1,E,A,1,EAA,1,=A,1,所以,DE,平面,ACC,1,A,1,又,DE,平面,A,1,DE,所以平面,A,1,DE,平面,ACC,1,A,1,.,证明:,因为三棱柱ABC,-,A,1,B,1,C,1,为正三棱柱,所以AA,1,平面A,1,B,1,C,1,又FB,1,平面A,1,B,1,C,1,所以AA,1,FB,1,又A,1,B,1,C,1,为等边三角形,F为A,1,C,1,的中点,所以B,1,FA,1,C,1,又A,1,C,1,AA,1,=A,1,所以B,1,F平面ACC,1,A,1,又B,1,F平面AB,1,F,所以平面AB,1,F平面ACC,1,A,1,.,变式探究,:,若本例中,(2),改为在正三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中,F,为,A,1,C,1,的中点,求证,:,平面,AB,1,F,平面,ACC,1,A,1,.,方法技巧,判定两平面垂直的常用方法:(1)定义法:即说明两个平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直,即把问题转化为,“,线面垂直,”,;(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.,即时训练2,-,1:,如图所示,已知,BSC=90,BSA=CSA=60,又,SA=SB=SC.,证明,:,法一,(,利用定义证明,),法二,(,利用判定定理,),因为,SA=SB=SC,且,BSA=CSA=60,所以,SA=AB=AC,所以点,A,在平面,SBC,上的射影为,SBC,的外心,.,因为,SBC,为直角三角形,所以点,A,在,SBC,上的射影,D,为斜边,BC,的中点,所以,AD,平面,SBC.,又因为,AD,平面,ABC,所以平面,ABC,平面,SBC.,【,备用例,2】,(,2018,石家庄期末,),如图,四棱锥,P,-,ABCD,中,底面,ABCD,为矩形,E,为,PD,的中点,.,若,PA,平面,ABCD,PA=AD,求证,:,平面,AEC,平面,PDC.,证明,:,因为,PA,平面,ABCD,CD,平面,ABCD,所以,PACD,又,ADCD,且,ADPA=A,所以,CD,平面,PAD,又,AE,平面,PAD,所以,CDAE.,因为,PA=AD,E,为,PD,中点,所以,AEPD.,又,CDPD=D,所以,AE,平面,PDC,又,AE,平面,AEC,所以平面,AEC,平面,PDC.,【,备用例,3】,如图,在三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA,1,=,AC=2,BC=1,E,F,分别是,A,1,C,1,BC,的中点,.,(1)证明:,因为在三棱柱ABC,-,A,1,B,1,C,1,中,侧棱垂直于底面,所以BB,1,AB,又因为ABBC,BB,1,BC=B,所以AB平面B,1,BCC,1,因为AB平面ABE.,所以平面ABE平面B,1,BCC,1,.,(1),求证,:,平面,ABE,平面,B,1,BCC,1,;,(2)求证:C,1,F平面ABE;,(3),求三棱锥,E-ABC,的体积,.,题型三,线面垂直、面面垂直的综合问题,【,思考,】,如何作二面角的平面角,?,提示,:,作二面角的三种常用方法,:,(1),定义法,:,在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,.,如图,则,AOB,为二面角,-,l,-,的平面角,.,(2),垂直法,:,过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角,.,如图,AOB,为二面角,-,l,-,的平面角,.,(3),垂线法,:,过二面角的一个面内异于棱上的一点,A,向另一个平面作垂线,垂足为,B,由点,B,向二面角的棱作垂线,垂足为,O,连接,AO,则,AOB,为二面角的平面角或其补角,.,如图,AOB,为二面角,-,l,-,的平面角,.,【,例,3】,如图,在三棱锥,P,-,ABC,中,PA,平面,PBC,PA=PB=2,PC=4,BC=2 .,(1),求证,:,平面,PAB,平面,ABC;,(2)E,为,BA,的延长线上一点,若二面角,P-EC-B,的大小为,30,求,BE,的长,.,方法技巧,(1)证明垂直关系时要注意利用线面垂直、线线垂直、面面垂直之间的转化.,(2)求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角,这就需要紧扣它的三个条件,即这个角的顶点是否在棱上;角的两边是否分别在两个半平面内;这两边是否都与棱垂直.在具体作图时,还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧,如:线面的垂直,图形的对称性,与棱垂直的面等.,即时训练,3,-,1:,如图,四边形,ABCD,为菱形,G,为,AC,与,BD,的交点,BE,平面,ABCD.,(1),证明,:,平面,AEC,平面,BED;,(1),证明,:,因为四边形,ABCD,为菱形,所以,ACBD.,又,BE,平面,ABCD,所以,BEAC,又,BDBE=B,所以,AC,平面,BED,又,AC,平面,AEC,所以平面,AEC,平面,BED.,(2),若,ABC=120,AEEC,三棱锥,E-ACD,的体积为,求该三棱锥的侧面积,.,谢谢观赏！,