北京专用高考数学一轮复习第二章函数第四节二次函数与幂函数.ppt

,总纲目录,教材研读,考点突破,栏目索引,第四节二次函数与幂函数,总纲目录,教材研读,1.,二次函数,考点突破,2.,幂函数,考点二二次函数的图象与性质,考点一幂函数的图象与性质,考点三二次函数在闭区间上的最值,1.二次函数,(1)二次函数的定义,形如,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),的函数叫做二次函数.,(2)二次函数的三种表示形式,(i)一般式:,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0);,(ii)顶点式:,f,(,x,)=,a,(,x,-,m,),2,+,n,(,a,0);,(iii)两根式:,f,(,x,)=,a,(,x,-,x,1,)(,x,-,x,2,)(,a,0).,教材研读,(3)二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0)的图象和性质,2.幂函数,(1)幂函数的定义,形如,y,=,x,的函数称为幂函数,其中,x,是,自变量,为,常数,.,(2)五种常见幂函数的图象,(i)当,0时,幂函数,y,=,x,有下列性质:,a.图象都通过点,(0,0),、,(1,1),.,b.在第一象限内,函数值随,x,的增大而增大.,(ii)当,c,b,a,B.,a,b,c,d,C.,d,c,a,b,D.,a,b,d,c,答案,B根据幂函数的性质及图象知选B.,B,3.已知函数,f,(,x,)=,ax,2,+,x,+5的图象在,x,轴上方,则,a,的取值范围是,(),A.,B.,C.,D.,答案,C函数,f,(,x,)=,ax,2,+,x,+5的图象在,x,轴上方,解得,a,.,C,4.已知,f,(,x,)=4,x,2,-,mx,+5在2,+,)上是增函数,则实数,m,的取值范围是,.,答案,(-,16,解析,因为函数,f,(,x,)=4,x,2,-,mx,+5的单调递增区间为,所以,2,即,m,16.,(-,16,5.(2017北京石景山一模)已知函数,f,(,x,)=,若,f,(,a,),f,(2-,a,),则,a,的,取值范围是,.,答案,a,1,解析,当,x,0时,f,(,x,)=,x,2,+,x,易知,f,(,x,)在0,+,)上单调递增;,当,x,f,(2-,a,),a,2-,a,解得,a,1.,a,1,典例1,(1)幂函数,y,=,f,(,x,)的图象过点(4,2),则幂函数,y,=,f,(,x,)的图象是,(),(2)当0,x,g,(,x,),f,(,x,),解析,(1)设幂函数的解析式为,f,(,x,)=,x,a,幂函数,y,=,f,(,x,)的图象过点(4,2),2=4,a,解得,a,=,.,f,(,x,)=,其定义域为0,+,),且是增函数,当0,x,1时,其图象在直线,y,=,x,的上方,对照选项,知选C.,(2)函数,f,(,x,),g,(,x,),h,(,x,)在0,+,)上的图象如图所示,由此可知当0,x,g,(,x,),f,(,x,).,规律总结,(1)作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等,对于一些幂函数只要作出它在第一象限内的图象,然后根据它的奇偶性,可作出幂函数在定义域内完整的图象.,(2)利用幂函数的性质可处理比较大小问题,此类问题要根据待比较的,数的特征,合理引入幂函数,利用幂函数的单调性进行比较.,1-1,已知函数,f,(,x,)=(,m,2,-,m,-1),是幂函数,且,x,(0,+,)时,f,(,x,)是增函,数,则,m,的值为,(),A.-1B.2C.-1或2D.3,答案,B函数,f,(,x,)=(,m,2,-,m,-1),是幂函数,m,2,-,m,-1=1,解得,m,=-1或,m,=2.,又函数,f,(,x,)在(0,+,)上为增函数,m,2,+,m,-30,m,=2.,B,1-2,设,a,=,b,=,c,=,则,a,b,c,的大小关系是,.,答案,a,c,b,解析,y,=(,x,0)为增函数,a,c,.,y,=,(,x,R)为减函数,b,.,a,c,b,.,a,c,b,1-3,若(,a,+1,(3-2,a,则实数,a,的取值范围是,.,答案,解析,易知函数,y,=,的定义域为0,+,),函数在定义域内为增函数,所,以,解得-1,a,0时,f,(,x,)=,ax,2,-2,x,的图象的开口方向向上,且对称轴为直线,x,=,.,当,1,即,a,1时,f,(,x,)在,上递减,在,上递增,f,(,x,),min,=,f,=,-,=-,.,当,1,即0,a,1时,f,(,x,)在0,1上递减.,f,(,x,),min,=,f,(1)=,a,-2.,当,a,0时,f,(,x,)=,ax,2,-2,x,的图象的开口方向向下,且对称轴,x,=,2,x,+,m,恒成立,求实数,m,的取值范围.,解析,(1)由,f,(0)=1得,c,=1.,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+1.,又,f,(,x,+1)-,f,(,x,)=2,x,a,(,x,+1),2,+,b,(,x,+1)+1-(,ax,2,+,bx,+1)=2,x,即2,ax,+,a,+,b,=2,x,因此,f,(,x,)=,x,2,-,x,+1.,(2),f,(,x,)2,x,+,m,等价于,x,2,-,x,+12,x,+,m,即,x,2,-3,x,+1-,m,0,令,g,(,x,)=,x,2,-3,x,+1-,m,要使,g,(,x,)=,x,2,-3,x,+1-,m,0在-1,1上恒成立,只需使函数,g,(,x,)=,x,2,-3,x,+1-,m,在-1,1上,的最小值大于0即可.,g,(,x,)=,x,2,-3,x,+1-,m,在-1,1上单调递减,g,(,x,),min,=,g,(1)=-,m,-1,由-,m,-10得,m,0恒成立,则实数,a,的取值范围是,(),A.(0,2)B.(2,+,),C.(0,+,)D.(0,4),A,答案,A二次函数的图象开口向上,对称轴为,x,=,.,x,-1,1时,f,(,x,)=,x,2,-,ax,+,0恒成立,即,f,(,x,),min,0.,当,-1,即,a,-2时,f,(,x,),min,=,f,(-1)=1+,a,+,0,解得,a,-,与,a,-2矛盾;,当,1,即,a,2时,f,(,x,),min,=,f,(1)=1-,a,+,0,解得,a,2,与,a,2矛盾;,当-1,1,即-2,a,0,解得0,a,2.,综上可得,实数,a,的取值范围是(0,2),选A.,3-2,(2017北京,11,5分)已知,x,0,y,0,且,x,+,y,=1,则,x,2,+,y,2,的取值范围是,.,答案,解析,解法一:由题意知,y,=1-,x,y,0,x,0,0,x,1,则,x,2,+,y,2,=,x,2,+(1-,x,),2,=2,x,2,-2,x,+1=2,+,.,当,x,=,时,x,2,+,y,2,取最小值,当,x,=0或,x,=1时,x,2,+,y,2,取最大值1,x,2,+,y,2,.,解法二:由题意可知,点(,x,y,)在线段,AB,上(如图),x,2,+,y,2,表示点(,x,y,)与原点的,距离的平方.,x,2,+,y,2,的最小值为(0,0)到直线,x,+,y,-1=0的距离的平方,即,=,又易知(,x,2,+,y,2,),max,=1,x,2,+,y,2,.,