行列式按行列展开定理.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3行列式按行(列)展开定理,2,可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式,来,计算,.,问题：,一个,n,阶行列式是否可以转化为若干个,n,-,1,阶行列式来计算？,一,.,按一行,(,列,),展开行列式,3,定义,1.5,在,n,阶行列式中,把元素,所在的第,i,行和,余子式,.,记为,称,为元素,的代数余子式,.,例如,第,j,列划去后,余下的,n,-1,阶行列式叫做元素,4,的余子式,.,的代数余子式,.,5,注,行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和,一个代数余子式,.,6,引理,若在,n,阶行列式,D,的第,i,行中有一个元素,a,ij,0,其余元素全为零,则,D,=,a,ij,A,ij,.,定理,1.4,设,n,阶,行列式,则,n,阶行列式,D,的值等于它的任意一行,(,列,),的各元素,与其对应的代数余子式的乘积之和,.,即,7,证,(,只证按行展开第一式,),将行列式,D,改写为,D,=,a,1,j,A,1,j,+,a,2,j,A,2,j,+,a,nj,A,nj,(,j,=1,2,n,),或,8,由行列式性质,2,及引理，得,=,a,i,1,A,i,1,+,a,i,2,A,i,2,+,a,in,A,in.,(,i,=1,2,n,),同理可证按列展开式成立,.,9,解,按第一行展开,得,例,1,计算行列式,10,推论,n,阶行列式,D,的任意一行,(,列,),的元素与另一行,(,列,),对应元素的代数余子式乘积的和等于零,.,即,证,由定理,1,行列式等于某一行的元素分别与它们,代数余子式的乘积之和,.,11,在行列式,中,如果令第,i,行的元素等于另外一行,譬如第,k,行的元素,12,则,行列式含有两个相同的行,值为,0.,13,综上所述,得公式,注,在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式,并不一定简化计算,因为把一个,n,阶行列式换成,n,个,(,n,1),阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中,某一行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有,意义,，,但展开定理在理论上是重要的,14,利用行列式按行按列展开定理,并结合行列式性质,可简化行列式计算：,计算行列式时,可先用行列式的性质将某一行,(,列,),化为仅含,1,个非零元素,再按此行,(,列,),展开,变为低一阶的行列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式,.,例,2,计算行列式,15,解,16,17,例,3,计算,n,阶行列式,18,解,将,D,n,按第一列展开,于是,得递推公式,而由递推公式,得,继续递推公式,得,故,19,例,4,证明范德蒙,(Vandermonde),行列式,20,证,用数学归纳法,(1),当,n,=2,时,结论成立,.,(2),设,n,-1,阶范德蒙行列式成立,证明,n,阶也成立,.,21,n,-,1,阶范德蒙行列式,22,证毕,.,用降阶法计算行列式的值,.,（按行按列展开）,=57,练习题,23,例,5,利用性质及展开定理计算行列式的值,.,解,24,按第二列展开,按第二行展开,25,例,6,计算行列式,26,解,将行列式每一列加到第一列，则,27,28,例,7,计算行列式,解,我们称行列式,D,为箭形行列式,解决的目标：化为上三角形行列式,.,29,30,例,8,计算行列式,31,箭形行列式,32,33,例,9,（,可以化为箭形行列式）,34,35,36,二,.,行列式按某,k,行,(,列,),展开,定义,1.6,在,n,阶行列式,D,中任取,k,行,k,列,(1,k,n,),称,位于这些行与列的交叉点处的,k,2,个元素按照其在,D,中的相对位置所组成的,k,阶行列式,N,为,D,的一个,k,阶子式,.,37,称划去,N,所在的行与列后剩下的元素按照其在,D,中的,相对位置所组成的,n-k,阶行列式,M,为,N,的余子式,.,若,N,所在的行与列的行标与列标分别为,38,例,10,设,则,D,的位于第,1,、,3,行,第,2,、,3,列的,2,阶子式为,及,则称,为,N,的代数余子式,记作,A.,即,39,，,N,1,的代数余子式为,D,的位于第,1,、,3,、,4,行,第,2,、,3,、,4,列的,3,阶子式为,，,N,2,的代数余子式为,40,显然,n,阶行列式,D,位于某,k,行的,k,阶子式有,个,从而,D,共有,个,k,阶子式,.,定理,1.5,n,阶行列式,D,等于其位于某,k,行的所有,k,阶,与其对应的代数余子式,A,1,A,2,.,A,t,的乘积之和,即,显然,定理,1.4,是定理,1.5,中,k=,1,时的特例,.,按照定理,1.5,展开行列式似乎很繁,但当行列式的某些行中有众,41,多的零时,定理,1.5,的实用价值立即展现出来,.,例,11,计算行列式,解,因为,D,中第,2,、,4,行的,个,2,阶子式中只有,一个是非零的,.,故将,D,按第,2,、,4,行展开得,42,例,12,计算,m+n,阶行列式,43,解,按前,m,列展开,得,44,例,13,计算,2,n,阶行列式,(,其中未写出的元素皆为零）,解,按,第,1,、,2,n,行展开,因位于这两行的全部,2,阶子,式中只有,1,个,(,即位于第,1,、,2,n,列的,2,阶子式,),可能非零,且,其余子式恰为,0,相应的代数余子式为,45,故得,于是,得递推公式,从而,46,三,.,小结与思考题,2.,行列式按某行,(,列,),展开降阶方法求行列式,.,1.,行列式的余子式与代数余子式的概念和计算方法,.,思考题,1,47,思考题,1,解答,48,思考题,2,求第一行各元素的代数余子式之和,49,思考题,2,解答,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,