二牛顿插值法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二牛顿插值法,Lagrange,插值多项式的缺点,我们知道,Lagrange,插值多项式的插值基函数为,理论分析中很方便，,但是,当,插值节点增减,时,全部插值基函数,就要随之,变化,，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很,不方便,的；,Lagrange,插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数,l,i,(,x,),都需重新算过。,两点直线公式,(x,k,y,k,)(x,k+1,y,k+1,),考虑点斜式，两点为,(x,0,y,0,)(x,1,y,1,):,在此基础上增加一个节点,(x,2,y,2,),，则过这三个点的插值多项式,C(x),应是一个二次多项式。,所以有,C(x),应是一个二次多项式。根据插值条件,根据插值条件：,可以求出：,重新写,p,2,(x),：,基函数,有,再继续下去待定系数的形式将更复杂,。,为此引入差商和差分的概念,差商,(,亦称均差,),/*,divided difference*/,1,阶差商,/*the 1st divided difference of,f,w.r.t.,x,i,and,x,j,*/,2,阶差商,定义,2.,1,1,1,0,1,0,1,0,1,1,1,0,1,0,.,.,.,.,.,+,+,-,-,+,+,+,-,-,=,-,-,=,k,k,k,k,k,k,k,k,k,k,k,x,x,x,x,x,f,x,x,x,f,x,x,x,x,x,f,x,x,x,f,x,x,f,(,k,+1),阶,差,商,差商的计算方法,(,表格法,):,规定函数值为,零阶差商,差商表,差商具有如下性质,:,Warning:my head is exploding,What is the point of this formula?,差商的值与,x,i,的顺序无关！,Newton,插值公式及其余项,1,2,n,+,1,1,+(,x,x,0,),2,+(,x,x,0,)(,x,x,n,1,),n,+,1,N,n,(,x,),R,n,(,x,),a,i,=,f,x,0,x,i,Newton,插值公式及其余项,Newton,插值公式及其余项,例：,已知,x=1,4,9,的平方根为,1,2,3,，利用牛顿基本差商,公式求 的近似值。,解：,从而得二阶牛顿基本差商公式为,因此计算得 的近似值为,复习：,多项式插值问题：寻找一个,n,次多项式，满足下列插值条件：,函数,在插值节点上的取值为：,Lagrange,插值方法,其中：,余项公式：,Newton,插值方法,其中：,余项公式：,性质,3,P32,练习,上面我们讨论了节点任意分布的插值公式，但实际应用时经常会遇到等距节点的情形，这时插值公式可以进一步简化，计算也简单多了，为了给出等距节点的插值公式，我们先来看一个新概念；,向前,向后,中心,差分算子,不在函数表上，要用到函数表上的值,利用一阶差分可以定义二阶差分,差分,可以用归纳法证明,如,差分,差分表,差分与函数值之间的关系,归纳可知，,k,阶差商可表示为,在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系,依此类推,由差商与向前差分的关系,Newton,插值基本公式为,如果假设,1.,Newton,向前,(,差分,),插值公式,则插值公式,化为,其余项,化为,称,为,Newton,向前插值公式,插值余项为,Newton,插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只要增加一项,这点是,Lagrange,插值无法比的,.,但是,Newton,插值仍然没有改变,Lagrange,插值的插值曲线,在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导,等缺点,.,