全国通用中考数学复习第五章圆5.1圆的性质试卷.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,20142018,年全国中考题组,考点一圆的有关概念和垂径定理,五年中考,1.,(2016,陕西,9,3,分,),如图,O,的半径为,4,ABC,是,O,的内接三角形,连接,OB,、,OC,.,若,BAC,与,BOC,互补,则弦,BC,的长为,(,),A.3,B.4,C.5,D.6,答案,B,BOC,+,CAB,=180,BOC,=2,CAB,BOC,=120,作,OD,BC,交,BC,于点,D,BC,=2,BD,.,OB,=,OC,OBD,=,OCD,=,=30,BD,=,OB,cos,30,=2,BC,=2,BD,=4,故选,B.,2.,(2017,内蒙古呼和浩特,7,3,分,),如图,CD,为,O,的直径,弦,AB,CD,垂足为,M,.,若,AB,=12,OM,MD,=58,则,O,的周长为,(,),A.26,B.13,C.,D.,答案,B,连接,OA,设,OM,=5,x,(,x,0),则,MD,=8,x,OA,=,OD,=13,x,又,AB,=12,AB,CD,AM,=6.,在,Rt,AOM,中,(5,x,),2,+6,2,=(13,x,),2,解得,x,=,(,舍负,),半径,OA,=,O,的周长为,13.,方法规律,如图,设圆的半径为,r,、圆的一条弦的长为,a,、弦心距为,d,弓形的高为,h,则,+,d,2,=,r,2,h,=,r,-,d,(,或,h,=,r,+,d,).,已知其中任意两个量即可求出其余两个量,.,1,.(2018,陕西,9,3,分,),如图,ABC,是,O,的内接三角形,AB,=,AC,BCA,=65,作,CD,AB,并与,O,相交于点,D,连接,BD,则,DBC,的大小为,(,),A.15,B.25,C.35,D.45,考点二圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系,答案,A,AB,=,AC,BCA,=65,BCA,=,ABC,=65,BAC,=50,CD,AB,BAC,=,ACD,=50,根据圆周角定理的推论得,ABD,=,ACD,=50,所以,DBC,=,ABC,-,ABD,=65,-50,=15,故选,A.,2,.(2017,陕西,9,3,分,),如图,ABC,是,O,的内接三角形,C,=30,O,的半径为,5.,若点,P,是,O,上的,一点,在,ABP,中,PB,=,AB,则,PA,的长为,(,),A.5,B.,C.5,D.5,答案,D,连接,OB,、,OA,、,OP,C,=30,AOB,=60,OA,=,OB,OAB,是等边三角形,AB,=5.,PB,=,AB,=,OA,=,OP,OB,AP,AP,=2,AB,cos 30,=2,5,cos 30,=2,5,=5,.,故选,D.,3,.(2017,云南,14,4,分,),如图,B,、,C,是,A,上的两点,AB,的垂直平分线与,A,交于,E,、,F,两点,与线段,AC,交于,D,点,.,若,BFC,=20,则,DBC,=,(,),A.30,B.29,C.28,D.20,答案,A,BFC,=20,BAC,=2,BFC,=40,AB,=,AC,ABC,=,ACB,=,=70,.,EF,是线段,AB,的垂直平分线,AD,=,BD,ABD,=,A,=40,DBC,=,ABC,-,ABD,=70,-40,=30,.,故选,A.,4.,(2017,福建,8,4,分,),如图,AB,是,O,的直径,C,D,是,O,上位于,AB,异侧的两点,.,下列四个角中,一定,与,ACD,互余的角是,(,),A.,ADC,B.,ABD,C.,BAC,D.,BAD,答案,D,AB,是,O,的直径,ADB,=90,BAD,+,B,=90,易知,ACD,=,B,BAD,+,ACD,=90,故选,D.,5.(,2018,吉林,13,3,分,),如图,A,B,C,D,是,O,上的四个点,=.,若,AOB,=58,则,BDC,=,度,.,答案,29,解析,连接,OC,(,图略,),=,AOB,=,BOC,=58,又点,D,在圆上,BDC,=,BOC,=29,.,思路分析,连接,OC,由,与相等可得圆心角,AOB,=,BOC,再根据同弧所对的圆周角是,圆心角的一半即可求得,BDC,的度数,.,6.,(2017,内蒙古包头,17,3,分,),如图,点,A,、,B,、,C,为,O,上的三个点,BOC,=2,AOB,BAC,=40,则,ACB,=,.,答案,20,解析,BAC,=40,BOC,=80,.,BOC,=2,AOB,AOB,=,BOC,=40,ACB,=,AOB,=20,.,1.,(2015,吉林长春,7,3,分,),如图,四边形,ABCD,内接于,O,若四边形,ABCO,是平行四边形,则,ADC,的大小为,(,),A.45,B.50,C.60,D.75,考点三圆内接三角形、四边形,答案,C,设,ADC,=,x,则,AOC,=2,x,.,四边形,ABCO,是平行四边形,B,=,AOC,.,B,+,D,=180,x,+2,x,=180,x,=60.,ADC,=60,故选,C.,2,.(2018,内蒙古呼和浩特,12,3,分,),同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为,.,答案,1,解析,设圆的半径为,r,则内接正方形的边心距为,r,内接正三角形的边心距为,r,故,r,r,=,1.,3.,(2018,湖北黄冈,11,3,分,),如图,ABC,内接于,O,AB,为,O,的直径,CAB,=60,弦,AD,平分,CAB,若,AD,=6,则,AC,=,.,答案,2,解析,连接,BD,因为,AB,为,O,的直径,所以,ADB,=90,因为,CAB,=60,弦,AD,平分,CAB,所以,BAD,=30,因为,=,cos,30,所以,AB,=,=,=4,.,在,Rt,ABC,中,AC,=,AB,cos,60,=4,=2,.,4,.(2016,内蒙古呼和浩特,24,9,分,),如图,已知,AD,是,ABC,的外角,EAC,的平分线,交,BC,的延长线,于点,D,延长,DA,交,ABC,的外接圆于点,F,连接,FB,FC,.,(1),求证,:,FBC,=,FCB,;,(2),已知,FA,FD,=12,若,AB,是,ABC,外接圆的直径,FA,=2,求,CD,的长,.,解析,(1),证明,:,四边形,AFBC,内接于圆,FBC,+,FAC,=180,又,CAD,+,FAC,=180,FBC,=,CAD,(1,分,),AD,是,ABC,的外角,EAC,的平分线,EAD,=,CAD,又,EAD,=,FAB,FAB,=,CAD,.,(2,分,),又,FAB,=,FCB,FBC,=,FCB,.,(3,分,),(2),由,(1),知,FBC,=,FCB,FCB,=,FAB,FAB,=,FBC,(4,分,),又,BFA,=,BFD,AFB,BFD,.,(5,分,),于是有,FBA,=,FDB,=,即,BF,2,=,FA,FD,=12,BF,=2,.,(6,分,),而,FA,=2,FD,=6,AD,=4,AB,为圆的直径,BFA,=,BCA,=90,(7,分,),tan,FBA,=,=,=,FBA,=30,(8,分,),又,FBA,=,FDB,FDB,=30,CD,=2,.,(9,分,),5.,(2016,宁夏,23,8,分,),已知,ABC,以,AB,为直径的,O,分别交,AC,于,D,BC,于,E,连接,ED,.,若,ED,=,EC,.,(1),求证,:,AB,=,AC,;,(2),若,AB,=4,BC,=2,求,CD,的长,.,解析,(1),证明,:,ED,=,EC,CDE,=,C,又四边形,ABED,是,O,的内接四边形,CDE,=,B,B,=,C,AB,=,AC,.,(4,分,),(2),连接,AE,则,AE,BC,BE,=,EC,=,BC,在,ABC,与,EDC,中,C,=,C,CDE,=,B,ABC,EDC,(6,分,),=,得,DC,=,=,由,AB,=4,BC,=2,得,DC,=,=,.,(8,分,),思路分析,(1),由,ED,=,EC,可得,CDE,=,C,由圆内接四边形的性质可得,CDE,=,B,进而求得,AB,=,AC,;(2),连接,AE,则,AE,BC,证明,ABC,EDC,进而求得,CD,的长,.,6.(,2018,福建,24,12,分,),已知四边形,ABCD,是,O,的内接四边形,AC,是,O,的直径,DE,AB,垂足为,E,.,(1),延长,DE,交,O,于点,F,延长,DC,FB,交于点,P,如图,1.,求证,:,PC,=,PB,;,(2),过点,B,作,BG,AD,垂足为,G,BG,交,DE,于点,H,且点,O,和点,A,都在,DE,的左侧,如图,2.,若,AB,=,DH,=1,OHD,=80,求,BDE,的大小,.,图,1,图,2,解析,(1),证明,:,AC,是,O,的直径,ABC,=90,.,又,DE,AB,DEA,=90,.,DEA,=,ABC,BC,DF,F,=,PBC,.,四边形,BCDF,是圆内接四边形,F,+,DCB,=180,又,PCB,+,DCB,=180,F,=,PCB,PBC,=,PCB,PC,=,PB,.,(2),连接,OD,AC,是,O,的直径,ADC,=90,又,BG,AD,AGB,=90,ADC,=,AGB,BG,DC,.,又由,(1),知,BC,DE,四边形,DHBC,为平行四边形,BC,=,DH,=1.,在,Rt,ABC,中,AB,=,tan,ACB,=,=,ACB,=60,CAB,=30,.,从而,BC,=,AC,=,OD,DH,=,OD,.,在等腰三角形,DOH,中,DOH,=,OHD,=80,ODH,=20,.,设,DE,交,AC,于,N,.,BC,DE,ONH,=,ACB,=60,.,NOH,=180,-(,ONH,+,OHD,)=40,DOC,=,DOH,-,NOH,=40,CBD,=,OAD,=20,.,BC,DE,BDE,=,CBD,=20,.,一题多解,(1),证明,:,易证,DF,BC,从而,CD,=,BF,且,=,=1,PB,=,PC,.,(2),连接,OD,设,BDE,=,x,则,EBD,=90,-,x,易证四边形,BCDH,为平行四边形,BC,=,DH,=1,AB,=,CAB,=30,AC,=2,ADB,=,ACB,=60,OD,=,OA,=1=,DH,ODH,=180,-2,OHD,=180,-2,80,=20,OAD,=,ODA,=,ADB,-(,ODH,+,x,)=60,-(20,+,x,)=40,-,x,.,又,AOD,=2,ABD,180,-2(40,-,x,)=2(90,-,x,),解得,x,=20,即,BDE,=20,.,考点一圆的有关概念和垂径定理,教师专用题组,1.,(2018,山东威海,10,3,分,),如图,O,的半径为,5,AB,为弦,点,C,为的中点,若,ABC,=30,则弦,AB,的长为,(,),A.,B.5,C.,D.5,答案,D,如图,连接,OA,、,OC,OC,交,AB,于点,M,.,根据垂径定理可知,OC,垂直平分,AB,因为,ABC,=30,故,AOC,=60,在,Rt,AOM,中,sin 60,=,=,=,故,AM,=,即,AB,=5,.,故选,D.,2.,(2017,新疆,9,5,分,),如图,O,的半径,OD,垂直于弦,AB,垂足为点,C,.,连接,AO,并延长交,O,于点,E,连,接,BE,CE,若,AB,=8,CD,=2,则,BCE,的面积为,(,),A.12,B.15,C.16,D.18,答案,A,O,的半径,OD,垂直于弦,AB,AB,=8,AC,=,BC,=,AB,=4.,设,OA,=,r,则,OC,=,OD,-,CD,=,r,-2,在,Rt,AOC,中,由勾股定理得,4,2,+(,r,-2),2,=,r,2,解得,r,=5,AE,=10,在,Rt,ABE,中,BE,=,=,=6,S,BCE,=,BC,BE,=,4,6=12.,故选,A.,方法指导,运用垂径定理求相关线段长度的关键是构造直角三角形,进而利用勾股定理求解,.,其最常用的方法是“连接圆心和圆中弦的端点”,.,若弦长为,l,圆心到弦的距离为,d,半径为,r,则,根据勾股定理有,l,=,.,3,.(2015,广西南宁,11,3,分,),如图,AB,是,O,的直径,AB,=8,点,M,在,O,上,MAB,=20,N,是的中,点,P,是直径,AB,上一动点,.,若,MN,=1,则,PMN,周长的最小值为,(,),A.4,B.5,C.6,D.7,答案,B,PMN,的周长为,PM,、,PN,、,MN,的和,其中,MN,=1,所以只要,PM,、,PN,的和最小即可,.,如,图,取,N,关于,AB,的对称点,C,连接,MC,交,AB,于,P,此时,PM,、,PN,的和最小,PM,、,PN,的和就是,MC,的长,度,.,连接,OM,、,ON,、,OC,.,MAB,=20,MOB,=40,.,N,为的中点,NOB,=20,.,直径,AB,CN,COB,=20,MOC,=60,.,OM,=,OC,MOC,为等边三角形,.,AB,=8,MC,=,OM,=4,PMN,的周长的最小值为,1+4=5.,故选,B.,4.(,2014,甘肃兰州,13,4,分,),如图,CD,是,O,的直径,弦,AB,CD,于,E,连接,BC,BD,.,下列结论中不一定,正确的是,(,),A.,AE,=,BE,B.=,C.,OE,=,DE,D.,DBC,=90,答案,C,CD,是,O,的直径,且,CD,AB,AE,=,BE,=,CD,是,O,的直径,DBC,=90,但不能得出,OE,=,DE,.,故选,C.,评析,本题考查了垂径定理,属容易题,.,5.,(2015,宁夏,13,3,分,),如图,在,O,中,CD,是直径,弦,AB,CD,垂足为,E,连接,BC,.,若,AB,=2,BCD,=30,则,O,的半径为,.,答案,解析,连接,OB,BCD,=30,BOD,=60,.,CD,是直径,CD,AB,BE,=,AB,=,OB,=,=,=,.,6.,(2014,陕西,16,3,分,),如图,O,的半径是,2.,直线,l,与,O,相交于,A,、,B,两点,M,、,N,是,O,上的两个动,点,且在直线,l,的异侧,.,若,AMB,=45,则四边形,MANB,面积的最大值是,.,答案,4,解析,连接,OA,OB,.,四边形,MANB,面积的最大值取决于三角形,ABM,和三角形,ABN,的面积的最大,值,.,当点,M,N,分别位于优弧,AB,和劣弧,AB,的中点时,四边形,MANB,的面积取最大值,.,连接,MN,此时,MN,为,O,的直径,故,MN,=4,AMB,=45,AOB,=90,AB,=,OA,=2,.,故四边形,MANB,面积的最大值为,AB,MN,=,2,4=4,.,7.,(2015,安徽,20,10,分,),在,O,中,直径,AB,=6,BC,是弦,ABC,=30,点,P,在,BC,上,点,Q,在,O,上,且,OP,PQ,.,(1),如图,1,当,PQ,AB,时,求,PQ,长,;,(2),如图,2,当点,P,在,BC,上移动时,求,PQ,长的最大值,.,解析,(1),OP,PQ,PQ,AB,OP,AB,.,在,Rt,OPB,中,OP,=,OB,tan,ABC,=3,tan 30,=,.,(3,分,),如图,连接,OQ,在,Rt,OPQ,中,PQ,=,=,=,.,(5,分,),(2),PQ,2,=,OQ,2,-,OP,2,=9-,OP,2,当,OP,最小时,PQ,最大,.,此时,OP,BC,.,(7,分,),OP,=,OB,sin,ABC,=3,sin 30,=,.,PQ,长的最大值为,=,.,(10,分,),1.,(2018,湖北武汉,10,3,分,),如图,在,O,中,点,C,在优弧,上,将弧折叠后刚好经过,AB,的中点,D,.,若,O,的半径为,AB,=4,则,BC,的长是,(,),A.2,B.3,C.,D.,考点二圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系,答案,B,连接,AO,并延长交,O,于点,D,则,ABD,=90,.,连接,BD,CD,DD,DD,交,BC,于点,E,连接,OD,OB,OC,D,为,AB,的中点,OD,AB,AB,=4,BD,=,AB,=2,OB,=,OD,=,=,1,BD,=2,OD,=2,即,BD,=,BD,显然点,D,与点,D,关于直线,BC,对称,.,ABD,=90,ABC,=,CBD,=45,根据圆周角定理得,AOC,=90,D,OC,=90,CD,=,OC,=,CBD,=45,BD,=2,BE,=,ED,=,根据勾股定理得,CE,=,=2,所以,BC,=,BE,+,CE,=3,故选,B.,方法指导,在求解涉及圆的性质的问题时,通常运用垂径定理或圆周角定理得到相等的线段,或角或垂直关系,求解过程中常需作合适的辅助线构造直角三角形,利用勾股定理等知识进行,求解,.,2,.(2017,甘肃兰州,4,4,分,),如图,在,O,中,=,点,D,在,O,上,CDB,=25,则,AOB,=,(,),A.45,B.50,C.55,D.60,答案,B,连接,OC,CDB,=25,COB,=50,又,=,AOB,=,COB,=50,故选,B.,3.,(2017,黑龙江哈尔滨,7,3,分,),如图,O,中,弦,AB,、,CD,相交于点,P,A,=42,APD,=77,则,B,的,大小是,(,),A.43,B.35,C.34,D.44,答案,B,由三角形外角的性质可得,C,=,APD,-,A,=77,-42,=35,B,与,C,所对的弧均为,B,=,C,=35,.,故选,B.,4.,(2016,广西南宁,9,3,分,),如图,点,A,B,C,P,在,O,上,CD,OA,CE,OB,垂足分别为,D,E,DCE,=40,则,P,的度数为,(,),A.140,B.70,C.60,D.40,答案,B,DCE,=40,CD,OA,CE,OB,DOE,=180,-40,=140,P,=,AOB,=70,.,故选,B.,5.,(2015,甘肃兰州,9,4,分,),如图,经过原点,O,的,P,与,x,、,y,轴分别交于,A,、,B,两点,点,C,是劣弧,OB,上,一点,则,ACB,=,(,),A.80,B.90,C.100,D.,无法确定,答案,B,根据同弧所对的圆周角相等,得到,ACB,=,AOB,=90,故选,B.,6.,(2018,北京,12,2,分,),如图,点,A,B,C,D,在,O,上,=,CAD,=30,ACD,=50,则,ADB,=,.,答案,70,解析,=,BAC,=,CAD,=30,.,又,BDC,=,BAC,=30,ACD,=50,ADB,=180,-30,-30,-50,=70,.,7.,(2017,重庆,A,卷,15,4,分,),如图,BC,是,O,的直径,点,A,在圆上,连接,AO,AC,AOB,=64,则,ACB,=,.,答案,32,解析,=,AOB,=64,ACB,=,AOB,=32,.,8.,(2016,广东,16,4,分,),如图,点,P,是四边形,ABCD,外接圆,O,上任意一点,且不与四边形顶点重合,.,若,AD,是,O,的直径,AB,=,BC,=,CD,连接,PA,PB,PC,.,若,PA,=,a,则点,A,到,PB,和,PC,的距离之和,AE,+,AF,=,.,答案,a,解析,如图,连接,OB,、,OC,AB,=,BC,=,CD,=.,又,AD,是,O,的直径,AOB,=,BOC,=,COD,=60,CPB,=,APB,=30,AE,=,PA,=,a,APC,=60,Rt,APF,中,AF,=,AP,sin 60,=,a,AE,+,AF,=,a,.,评析,本题主要考查圆的有关性质与锐角三角函数,.,9.,(2016,山东青岛,11,3,分,),如图,AB,是,O,的直径,C,D,是,O,上的两点,若,BCD,=28,则,ABD,=,.,答案,62,解析,AB,是,O,的直径,ACB,=90,.,BCD,=28,ACD,=90,-28,=62,ABD,=,ACD,=62,.,10.,(2015,内蒙古包头,18,3,分,),如图,O,是,ABC,的外接圆,AD,是,O,的直径,若,O,的半径是,4,sin,B,=,则线段,AC,的长为,.,答案,2,解析,连接,CD,在,O,中,因为,AD,为直径,所以,ACD,=90,因为,B,=,D,所以,AC,=,AD,sin,D,=8,=2.,11.,(2015,江西南昌,10,3,分,),如图,点,A,B,C,在,O,上,CO,的延长线交,AB,于点,D,A,=50,B,=30,则,ADC,的度数为,.,答案,110,解析,在,O,中,BOC,=2,A,=2,50,=100,所以,DOB,=180,-,BOC,=180,-100,=80,所以,ADC,=,B,+,DOB,=30,+80,=110,.,12,.(2015,江苏南京,15,2,分,),如图,在,O,的内接五边形,ABCDE,中,CAD,=35,则,B,+,E,=,.,答案,215,解析,连接,AO,CO,DO,则,COD,=2,CAD,=70,又因为,B,=,(,AOD,+,COD,),E,=,(,AOC,+,COD,),所以,B,+,E,=,(,AOD,+,COD,+,AOC,+,COD,)=,(360,+70,)=215,.,13.,(2017,安徽,20,10,分,),如图,在四边形,ABCD,中,AD,=,BC,B,=,D,AD,于,BC,过点,C,作,CE,AD,交,ABC,的外接圆,O,于点,E,连接,AE,.,(1),求证,:,四边形,AECD,为平行四边形,;,(2),连接,CO,求证,:,CO,平分,BCE,.,证明,(1),B,=,D,B,=,E,D,=,E,.,CE,AD,E,+,DAE,=180,D,+,DAE,=180,AE,DC,四边形,AECD,是平行四边形,.,(5,分,),(2),过点,O,作,OM,EC,ON,BC,垂足分别为,M,、,N,.,四边形,AECD,是平行四边形,AD,=,EC,.,又,AD,=,BC,EC,=,BC,OM,=,ON,CO,平分,BCE,.,(10,分,),14,.(2017,湖北武汉,21,8,分,),如图,ABC,内接于,O,AB,=,AC,CO,的延长线交,AB,于点,D,.,(1),求证,:,AO,平分,BAC,;,(2),若,BC,=6,sin,BAC,=,求,AC,和,CD,的长,.,解析,(1),证明,:,连接,BO,.,AB,=,AC,OB,=,OC,A,、,O,在线段,BC,的中垂线上,AO,BC,.,又,AB,=,AC,AO,平分,BAC,.,(2),如图,延长,AO,交,BC,于点,H,过点,D,作,DK,AO,交,AO,于点,K,.,由,(1),知,AO,BC,OB,=,OC,BC,=6,BH,=,CH,=,BC,=3,COH,=,BOC,BAC,=,BOC,COH,=,BAC,.,在,Rt,COH,中,OHC,=90,sin,COH,=sin,BAC,=,=,.,CH,=3,sin,COH,=,=,CO,=,AO,=5,OH,=4,AH,=,AO,+,OH,=5+4=9,tan,COH,=tan,DOK,=,.,在,Rt,ACH,中,AHC,=90,AH,=9,CH,=3,tan,CAH,=,=,=,AC,=,=,=3,由,(1),知,CAH,=,BAH,tan,BAH,=tan,CAH,=,.,设,DK,=3,a,(,a,0),在,Rt,ADK,中,tan,DAK,=,在,Rt,DOK,中,tan,DOK,=,OK,=4,a,DO,=5,a,AK,=9,a,AO,=,OK,+,AK,=13,a,=5,a,=,DO,=5,a,=,CD,=,OC,+,DO,=5+,=,.,一题多解,(1),证明,:,连接,OB,.,AO,=,AO,BO,=,CO,AB,=,AC,AOB,AOC,BAO,=,CAO,.,即,AO,平分,BAC,.,(2),过点,C,作,CE,AB,交,AB,于点,E,sin,BAC,=,=,可设,AC,=5,m,(,m,0),则,EC,=3,m,AE,=4,m,BE,=,m,.,在,Rt,CBE,中,BE,2,+,EC,2,=,BC,2,即,m,2,+(3,m,),2,=36,解得,m,=,(,舍负,),AC,=3,.,延长,AO,交,BC,于点,H,则,AH,BC,且,BH,=,CH,=3,过点,O,作,OF,AH,交,AB,于点,F,BOC,=2,BAC,BOC,=2,HOC,BAC,=,HOC,sin,HOC,=sin,BAC,=,又,HC,=3,OC,=5,OH,=4,AH,=,OA,+,OH,=9,tan,BAH,=,=,=,OF,=,OA,=,.,OF,BC,=,即,=,解得,DC,=,.,15.,(2015,贵州遵义,26,12,分,),如图,ABC,中,AB,=,AC,以,AB,为直径作,O,交,BC,于点,D,交,CA,的延,长线于点,E,连接,AD,、,DE,.,(1),求证,:,D,是,BC,的中点,;,(2),若,DE,=3,BD,-,AD,=2,求,O,的半径,;,(3),在,(2),的条件下,求弦,AE,的长,.,解析,(1),证明,:,AB,为,O,的直径,AD,BC,.,(2,分,),又,AB,=,AC,D,是,BC,的中点,.,(4,分,),(2),AB,=,AC,B,=,C,又,B,=,E,C,=,E,DC,=,DE,BD,=,DE,=3,(5,分,),又,BD,-,AD,=2,AD,=1.,(6,分,),在,Rt,ABD,中,BD,=3,AD,=1,AB,=,=,=,(7,分,),则,O,的半径为,.,(8,分,),(3),解法一,:,在,CAB,和,CDE,中,B,=,E,C,=,C,(,公共角,),CAB,CDE,(9,分,),=,(10,分,),CA,=,AB,=,CE,=,=,=,(11,分,),AE,=,CE,-,AC,=,-,=,.,(12,分,),解法二,:,连接,BE,AB,是,O,的直径,BEC,=90,.,(9,分,),在,ADC,和,BEC,中,ADC,=,BEC,=90,C,=,C,ADC,BEC,(10,分,),=,CE,=,=,=,(11,分,),AE,=,CE,-,AC,=,.,(12,分,),16.,(2014,天津,21,10,分,),已知,O,的直径为,10,点,A,点,B,点,C,在,O,上,CAB,的平分线交,O,于点,D,.,(1),如图,若,BC,为,O,的直径,AB,=6,求,AC,BD,CD,的长,;,(2),如图,若,CAB,=60,求,BD,的长,.,解析,(1),由已知,BC,为,O,的直径,得,CAB,=,BDC,=90,.,在,Rt,CAB,中,BC,=10,AB,=6,AC,=,=,=8.,AD,平分,CAB,=,CD,=,BD,.,在,Rt,BDC,中,BC,=10,CD,2,+,BD,2,=,BC,2,BD,2,=,CD,2,=50,BD,=,CD,=5,.,(2),如图,连接,OB,OD,.,AD,平分,CAB,且,CAB,=60,DAB,=,CAB,=30,.,DOB,=2,DAB,=60,.,又在,O,中,OB,=,OD,OBD,是等边三角形,.,O,的直径为,10,OB,=5,BD,=5.,17.,(2014,四川成都,27,10,分,),如图,在,O,的内接,ABC,中,ACB,=90,AC,=2,BC,过,C,作,AB,的垂线,l,交,O,于另一点,D,垂足为,E,.,设,P,是上异于,A,C,的一个动点,射线,AP,交,l,于点,F,连接,PC,与,PD,PD,交,AB,于点,G,.,(1),求证,:,PAC,PDF,;,(2),若,AB,=5,=,求,PD,的长,;,(3),在点,P,运动过程中,设,=,x,tan,AFD,=,y,求,y,与,x,之间的函数关系式,.(,不要求写出,x,的取值范,围,),解析,(1),证明,:,连接,PB,.,ACB,=90,AB,是,O,的直径,APB,=90,PAB,+,PBA,=90,.,l,AB,于,E,AFE,+,FAE,=90,.,PAB,=,FAE,PBA,=,AFE,.,ABP,=,ACP,AFE,=,ACP,.,又,PAC,=,PDC,PAC,PDF,.,(3,分,),(2),在,Rt,ABC,中,AC,=2,BC,AB,=5,由勾股定理得,AC,=2,BC,=,.,S,ABC,=,AB,CE,=,AC,BC,CE,=2,可得,AE,=4.,(4,分,),=,PA,=,PB,则,ABP,为等腰直角三角形,.,PAB,=45,AP,=,AB,=,.,EF,AB,PAB,=45,.,EF,=,AE,=4.,由垂径定理得,DE,=,CE,=2,则,DF,=,DE,+,EF,=6.,由,(1),知,PAC,PDF,=,.,故,PD,=,=,=,.,(7,分,),(3),解法一,:,过点,G,作,GH,BP,交,AP,于点,H,.,则,GH,AP,AGH,=,ABP,=,AFD,=,=,x,.,l,AB,=,ABC,=,APD,.,=tan,APD,=tan,ABC,=,=2,即,GH,=2,PH,.,y,=tan,AFD,=tan,AGH,=,=,=,x,.,即,y,与,x,之间的函数关系式为,y,=,x,.,(10,分,),解法二,:,连接,AD,BD,则,AD,=,AC,BD,=,BC,.,APG,=,DBG,AGP,=,DGB,APG,DBG,则,=,.,同理,由,PBG,ADG,得,=,.,由,得,=,即,=,=,=,x,.,y,=tan,AFD,=tan,ABP,=,=,x,.,即,y,与,x,之间的函数关系式为,y,=,x,.,(10,分,),1.,(2015,宁夏,6,3,分,),如图,四边形,ABCD,是,O,的内接四边形,若,BOD,=88,则,BCD,的度数是,(,),A.88,B.92,C.106,D.136,考点三圆内接三角形、四边形,答案,D,因为,BOD,=88,所以,A,=44,因为,A,+,BCD,=180,所以,BCD,=136,.,故选,D.,2.,(2016,江苏南京,13,2,分,),如图,扇形,AOB,的圆心角为,122,C,是上一点,则,ACB,=,.,答案,119,解析,如图,在扇形,AOB,所在圆优弧,AB,上取一点,D,连接,DA,DB,.,AOB,=122,D,=61,ACB,+,D,=180,ACB,=119,.,3.,(2016,新疆乌鲁木齐,13,4,分,),设,I,为,ABC,的外心,若,BIC,=100,则,A,的度数为,.,答案,50,或,130,解析,当,I,在,ABC,的内部时,如图,1,A,=,BIC,=50,;,当,I,在,ABC,的外部时,如图,2,A,+,BIC,=180,A,=130,.,图,1,图,2,4.,(2018,安徽,20,10,分,),如图,O,为锐角,ABC,的外接圆,半径为,5.,(1),用尺规作图作出,BAC,的平分线,并标出它与劣弧的交点,E,(,保留作图痕迹,不写作法,);,(2),若,(1),中的点,E,到弦,BC,的距离为,3,求弦,CE,的长,.,解析,(1),尺规作图如图所示,.,(4,分,),(2),连接,OE,交,BC,于,M,连接,OC,.,因为,BAE,=,CAE,所以,=,易得,OE,BC,所以,EM,=3.,Rt,OMC,中,OM,=,OE,-,EM,=5-3=2,OC,=5,所以,MC,2,=,OC,2,-,OM,2,=25-4=21.,Rt,EMC,中,CE,2,=,EM,2,+,MC,2,=9+21=30,所以弦,CE,的长为,.,(10,分,),5.,(2018,云南,23,12,分,),如图,在平行四边形,ABCD,中,点,E,是,CD,的中点,点,F,是,BC,边上的点,AF,=,AD,+,FC,.,平行四边形,ABCD,的面积为,S,由,A,、,E,、,F,三点确定的圆的周长为,l,.,(1),若,ABE,的面积为,30,直接写出,S,的值,;,(2),求证,:,AE,平分,DAF,;,(3),若,AE,=,BE,AB,=4,AD,=5,求,l,的值,.,解析,(1)60.,(3,分,),(2),证明,:,延长,AE,与,BC,的延长线交于点,H,.,四边形,ABCD,是平行四边形,AD,BC,.,ADE,=,HCE,DAE,=,CHE,.,(4,分,),点,E,为,CD,的中点,ED,=,EC,.,ADE,HCE,.,AD,=,HC,AE,=,HE,.,AD,+,FC,=,HC,+,FC,.,由,AF,=,AD,+,FC,和,FH,=,HC,+,FC,得,AF,=,FH,.,FAE,=,CHE,.,(6,分,),又,DAE,=,CHE,DAE,=,FAE,AE,平分,DAF,.,(7,分,),(3),连接,EF,.,AE,=,BE,AE,=,HE,AE,=,BE,=,HE,.,BAE,=,ABE,HBE,=,BHE,.,由,(1),知,DAE,=,CHE,BAE,+,DAE,=,ABE,+,HBE,即,DAB,=,CBA,.,由四边形,ABCD,是平行四边形得,DAB,+,CBA,=180,CBA,=90,(9,分,),AF,2,=,AB,2,+,BF,2,=16+(5-,FC,),2,=(,FC,+,CH,),2,=(,FC,+5),2,解得,FC,=,.,AF,=,FC,+,CH,=,+5=,.,AE,=,HE,AF,=,FH,FE,AH,.,AF,是,AEF,的外接圆的直径,.,AEF,的外接圆的周长,l,=,.,(12,分,),6.,(2014,黑龙江哈尔滨,25,8,分,),如图,O,是,ABC,的外接圆,弦,BD,交,AC,于点,E,连接,CD,且,AE,=,DE,BC,=,CE,.,(1),求,ACB,的度数,;,(2),过点,O,作,OF,AC,于点,F,延长,FO,交,BE,于点,G,DE,=3,EG,=2,求,AB,的长,.,解析,(1),在,O,中,A,=,D,(1,分,),AEB,=,DEC,AE,=,DE,AEB,DEC,.,(2,分,),EB,=,EC,.,(3,分,),又,BC,=,CE,BE,=,CE,=,BC,EBC,为等边三角形,ACB,=60,.,(4,分,),(2),OF,AC,AF,=,CF,.,(5,分,),EBC,为等边三角形,GEF,=60,EGF,=30,EG,=2,EF,=1.,(6,分,),又,AE,=,ED,=3,CF,=,AF,=4,AC,=8,CE,=5,BC,=5.,(7,分,),作,BM,AC,于点,M,BCM,=60,MBC,=30,CM,=,BM,=,=,AM,=,AC,-,CM,=,AB,=,=7.,(8,分,),7.,(2014,辽宁沈阳,22,10,分,),如图,O,是,ABC,的外接圆,AB,为直径,OD,BC,交,O,于点,D,交,AC,于点,E,连接,AD,BD,CD,.,(1),求证,:,AD,=,CD,;,(2),若,AB,=10,cos,ABC,=,求,tan,DBC,的值,.,解析,(1),证明,:,AB,为,O,直径,ACB,=90,.,又,OD,BC,AEO,=,ACB,=90,.,OD,AC,.,=.,AD,=,CD,.,(2),AB,=10,OA,=,OD,=,AB,=5.,OD,BC,AOE,=,ABC,.,在,Rt,AEO,中,OE,=,OA,cos,AOE,=,OA,cos,ABC,=5,=3.,DE,