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*,*,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,泰安考点聚焦,随堂巩固训练,栏目索引,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,12,讲 实数及其运算,泰安考情分析,基础知识过关,泰安考点聚焦,总纲目录,随堂巩固练习,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一,二次函数的定义,知识点二,二次函数的图象和性质,知识点四,二次函数图象的平移,知识点三,二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0)的图,特征与系数,a,、,b,、,c,的关系,知识点五,二次函数解析式的求法(必考考点,),知识点六,二次函数的实际应用(高频考点,复习重点,难点),知识点一,二次函数的定义,一般地,形如,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,、,b,、,c,是常数,a,0),的函数叫做二次函数,其中,x,是自变量,a,、,b,、,c,分别是二次项系数、一次项系数和常数项.,温馨提示,二次函数的一般形式的结构分析:(1)含自变量的代数式,是整式;(2)自变量,x,的最高次数为2;(3)二次项系数,a,0.,知识点二,二次函数的图象和性质,1.二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0)的图象与性质,二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),a,0,a,0,图象,三要素,开口方向,向上,向下,对称轴,直线,x,=-,顶点坐标,-,增减性,在对称轴的左侧,即当,x,-时,y,随,x,的增大而,增大,在对称轴的左侧,即当,x,-时,y,随,x,的增大而,减小,最值,抛物线有最低点,当,x,=-时,y,有,最小值,y,最小,=,抛物线有最高点,当,x,=-时,y,有,最大值,y,最大,=,2.二次函数,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,(,a,0)的图象与性质,a,0,a,0,图象,开口方向,向上,向下,顶点坐标,(,h,k,),对称轴,直线,x,=,h,增减性,在对称轴的左侧,即当,x,h,时,y,随,x,的,增大而,增大,在对称轴的左侧,即当,x,h,时,y,随,x,的,增大而,减小,最大值或,最小值,当,x,=,h,时,y,有最小值,y,最小,=,k,当,x,=,h,时,y,有最大值,y,最大,=,k,知识点三,二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0)的图,特征与系数,a,、,b,、,c,的关系,符号,图象的特征,a,a,0,开口向上,a,0(,a,、,b,同号),对称轴在,y,轴左侧,b,=0,对称轴为,y,轴,ab,0,与,y,轴正半轴相交,c,=0,经过原点,c,0,与,x,轴有两个交点,b,2,-4,ac,=0,与,x,轴有唯一交点,b,2,-4,ac,0,与,x,轴没有交点,知识点四,二次函数图象的平移,1.平移步骤,(1)将二次函数的一般式变形为顶点式,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,(,a,0);,(2)保持抛物线的形状不变,依据平移规律,平移顶点坐标(,h,k,)即,可.,2.平移规律,知识点五,二次函数解析式的求法(必考考点),1.一般式,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),若已知条件是图象上的三个点的坐标,则设为一般式,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),将已知条件代入,求出,a,、,b,、,c,的值,进而得到解析式.,2.,顶点式,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,(,a,0),若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值或最小值,则,设为顶点式,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,(,a,0),将已知条件代入,求出待定系数的,值,进而得到解析式,.,3.交点式,y,=,a,(,x,-,x,1,)(,x,-,x,2,)(,a,0),若已知二次函数图象与,x,轴的两个交点的坐标,则设为交点式,y,=,a,(,x,-,x,1,)(,x,-,x,2,)(,a,0),将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数,a,的值,进而得到解析式.,知识点六,二次函数的实际应用(高频考点,复习重点,难点),1.实际应用的类型,(1)涉及拱桥、隧道、投篮等问题,一般情况下用待定系数法设二,次函数的顶点式解答.,(2)涉及利润增长(或下降)等问题,一般情况下设总利润为,y,根据,总利润,y,=单位利润,销售数量列函数关系式,求得函数最值.,(3)涉及图形面积问题,以三角形为例,可设三角形的底边长为自,变量,x,面积为函数,S,根据三角形面积公式列函数关系式进而求解,实际问题.,2.解答的一般步骤,(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系;,(2)列出函数关系式,并确定自变量的取值范围;,(3)应用二次函数的图象及性质解决实际问题;,(4)检验结果的合理性,看其是否符合实际意义,.,3.二次函数与几何知识的综合应用,二次函数与几何知识的综合应用题型非常广泛,常见的类型有存,在性问题,动点问题,动手操作问题,关联知识点有方程,函数,三角,形,相似,四边形等,解决这类综合题,关键是分析题目中隐含的数,形结合思想,转化与化归思想,方程思想等建立数学模型,具体策,略如下:,(1)存在性问题注意灵活运用数形结合思想,可以先假设存在,借,助条件求解.(2)动点问题通常利用数形结合,分类和化归思想,借助于图形,把握图形运动的全过程,选取特殊点作为研究的突破口,建立函数或者方程模型求解,.,泰安考点聚焦,考点一,二次函数的图象和性质,考点二,二次函数图象的平移,考点三,待定系数法求二次函数表达式,考点四,函数与方程(组)、不等式的关系,考点五,二次函数的应用,考点一,二次函数的图象和性质,中考解题指导,常考题型归纳如下:,题型一:确定二次函数图象上点的坐标,题型二:确定二次函数图象的最值和对称轴,题型三:根据二次函数的性质比较函数值的大小,题型四:二次函数的图象和性质的综合考查,考向1二次函数的图象及性质,例1,(2017泰安)已知二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0)的,y,与,x,的部分对应值如下表:,x,-1,0,1,3,y,-3,1,3,1,有下列结论:抛物线的开口向下;其图象的对称轴为,x,=1;,当,x,1时,函数值,y,随,x,的增大而增大;方程,ax,2,+,bx,+,c,=0(,a,0)有,一个根大于4,其中正确的结论有(,B,),A.1个,B.2个,C.3个,D.4个,解析,由题表可知,二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0)有最大值,当,x,=,=时,函数取得最大值,抛物线的开口向下,故正确;其图,象的对称轴是直线,x,=,故错误;当,x,4时,y,随,x,的增大而减小,即小球与,O,点的水平距离超过4米,后呈下降趋势,B正确,不符合题意;,解得,则小球落地点与,O,点的水平距离为7米,C正确,不符合题意;,斜坡可以用一次函数,y,=,x,刻画,斜坡的坡度为12,D正确,不符合题意;,故选A.,变式1-2,二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,b,c,为常数,且,a,0)中的,x,与,y,的,部分对应值如下表:,x,-1,0,1,3,y,-1,3,5,3,有下列结论:,ac,1时,y,随,x,的增大而减小,3是方程,ax,2,+(,b,-1),x,+,c,=0的一个根;,当-1,x,0.,其中正确的个数为(,B,),A.4,B.3,C.2,D.1,解析,易知二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,图象的开口向下,a,0,所以,ac,0,故正确;,二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,图象的开口向下,且对称轴为,x,=1.,5,当,x,1.5时,y,随,x,的增大而减小,故错误;,当,x,=3时,y,=3,9,a,+3,b,+,c,=3,c,=3,9,a,+3,b,+3=3,9,a,+3,b,=0,3是方程,ax,2,+(,b,-1),x,+,c,=0的一个根,故正确;,当,x,=-1时,ax,2,+,bx,+,c,=-1,当,x,=-1时,ax,2,+(,b,-1),x,+,c,=0,当,x,=3,时,ax,2,+(,b,-1),x,+,c,=0,且函数有最大值,当-1,x,0,故正确.故选B.,考向2比较函数值的大小,例2,二次函数,y,=-,x,2,+,bx,+,c,的图象如图所示,若点,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,)在此函数图象上,且,x,1,x,2,1,则,y,1,与,y,2,的大小关系是(,B,),A.,y,1,y,2,B.,y,1,y,2,解析,二次函数,y,=-,x,2,+,bx,+,c,图象的对称轴为,x,=1,且开口向下,x,1,x,2,y,1,.,变式2-1,(2017连云港)已知抛物线,y,=,ax,2,(,a,0)过,A,(-2,y,1,),B,(-1,y,2,)两点,则下列关系式一定正确的是,(,C,),A.,y,1,0,y,2,B.,y,2,0,y,1,C.,y,1,y,2,0,D.,y,2,y,1,0,解析,抛物线,y,=,ax,2,(,a,0),的对称轴为,x,=0,且开口向上,-2,y,2,0.,考向3二次函数的图象与系数的关系,例3,(2018滨州)如图,若二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0)图象的对称,轴为,x,=1,与,y,轴交于点,C,与,x,轴交于点,A,、点,B,(-1,0),则,二次函数的最大值为,a,+,b,+,c,;,a,-,b,+,c,0;,b,2,-4,ac,0时,-1,x,0,故错误;,图象的对称轴为,x,=1,与,x,轴交于点,A,、点,B,(-1,0),A,(3,0),故当,y,0时,-1,x,0,根据对称轴在,y,轴的,左侧,得,b,0,反比例在第一、三象限,一次函数图象过第一、,二、三象限,故选C.,考点二,二次函数图象的平移,例4,将抛物线,y,=2(,x,-1),2,+2向左平移3个单位,再向下平移4个单,位,那么得到的抛物线的解析式为,y,=2(,x,+2),2,-2,.,解析,根据抛物线的平移规律知,将抛物线,y,=2(,x,-1),2,+2,向左平移,3,个单位,再向下平移,4,个单位得到的抛物线的解析式为,y,=2(,x,-1+3),2,+2-4=2(,x,+2),2,-2.,变式4-1,抛物线,y,=,x,2,+4,x,+1可以由抛物线,y,=,x,2,平移得到,则下列平,移过程正确的是(,B,),A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位,C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位,解析,抛物线,y,=,x,2,+4,x,+1,可转化为,y,=(,x,+2),2,-3,把抛物线,y,=,x,2,先向左平移,2,个单位,再向下平移,3,个单位即可得到抛物线,y,=(,x,+2),2,-3,故选,B.,考点三,待定系数法求二次函数表达式,例5,如图,在平面直角坐标系中,抛物线,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的顶点坐标,为(2,9),与,y,轴交于点,A,(0,5),与,x,轴交于点,E,、,B,求该抛物线的解析式.,解析,设抛物线解析式为,y,=,a,(,x,-2),2,+9,抛物线与,y,轴交于点,A,(0,5),4,a,+9=5,a,=-1,y,=-(,x,-2),2,+9=-,x,2,+4,x,+5.,变式5-1,在平面直角坐标系,xOy,中,抛物线,y,=,ax,2,+,bx,+2(,a,0)过,B,(-2,6),C,(2,2)两点.试求抛物线的解析式.,解析,由题意得,解得,抛物线的解析式为,y,=,x,2,-,x,+2.,考点四,函数与方程(组)、不等式的关系,例6,若二次函数,y,=,ax,2,-2,ax,+,c,的图象经过点(-1,0),则方程,ax,2,-2,ax,+,c,=0的解为(,C,),A.,x,1,=-3,x,2,=-1,B.,x,1,=1,x,2,=3,C.,x,1,=-1,x,2,=3,D.,x,1,=-3,x,2,=1,解析,二次函数,y,=,ax,2,-2,ax,+,c,的图象经过点(-1,0),方程,ax,2,-2,ax,+,c,=0一定有一个解为,x,=-1,易知抛物线的对称轴为直线,x,=1,二次函数,y,=,ax,2,-2,ax,+,c,的图象与,x,轴的另一个交点为(3,0),方程,ax,2,-2,ax,+,c,=0的解为,x,1,=-1,x,2,=3.,变式6-1,二次函数,y,=,x,2,+,bx,的图象如图,对称轴为直线,x,=1.若方程,x,2,+,bx,-,t,=0,(,t,为实数)在-1,x,4上有解,则,t,的取值范围是(,C,),A.,t,-1,B.-1,t,3,C.-1,t,8,D.3,t,8,解析,抛物线的对称轴为,x,=1,-=1,b,=-2,二次函数的解析式为,y,=,x,2,-2,x,即,y,=(,x,-1),2,-1,方程,x,2,+,bx,-,t,=0在-1,x,4上有解,等解,y,=,x,2,-2,x,的图象与,y,=,t,的图象在-1,x,4时有交点,由,y,=,x,2,-2,x,(-1,x,4)得-1,y,8,即-1,t,8.,考点五,二次函数的应用,例7,(2018滨州)如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行,高度,y,(单位:m)与飞行时间,x,(单位:s)之间具有函数关系,y,=-5,x,2,+2,0,x,请根据要求解答下列问题.,(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15 m时,飞行时间是多少?,(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?,(3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?,解析,(1)当,y,=15时,15=-5,x,2,+20,x,解得,x,1,=1,x,2,=3,答:在飞行过程中,当小球的飞行高度为15 m时,飞行时间是1 s或3s.,(2)当,y,=0时,0=-5,x,2,+20,x,解得,x,3,=0,x,4,=4,4-0=4,在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是4 s.,(3),y,=-5,x,2,+20,x,=-5(,x,-2),2,+20,当,x,=2时,y,取得最大值,此时,y,=20.,答:在飞行过程中,小球飞行高度在第2 s时最大,最大高度是20 m.,变式7-1,(2017济宁)某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量,y,(个)与销售单价,x,(元)的关系为,y,=-,x,+60(30,x,60).设这种双肩包每天的销售利润为,w,元.,(1)求,w,与,x,之间的函数关系式;,(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最,大销售利润是多少元?,(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不得高于42元,该商,店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定,为多少元?,解析,(1),w,=(,x,-30),y,=(,x,-30),(-,x,+60)=-,x,2,+90,x,-1 800.,w,与,x,之间的函数关系式为,w,=-,x,2,+90,x,-1 800(30,x,60).,(2),w,=-,x,2,+90,x,-1 800=-(,x,-45),2,+225.,-142,x,2,=50不符合题意,舍去.,答:该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单,价应定为40元.,一、选择题,1.抛物线,y,=2,x,2,-2,x,+1与坐标轴的交点个数是(,C,),A.0,B.1,C.2,D.3,随堂巩固训练,2.在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点旋转180,得到抛物线,y,=,x,2,+5,x,+6,则原抛物线的解析式,是(,A,),A.,y,=-,B.,y,=-,C.,y,=-,D.,y,=-+,3.(2018河北)对于题目,“,一段抛物线,L,:,y,=-,x,(,x,-3)+,c,(0,x,3)与直,线,l,:,y,=,x,+2有唯一公共点.若,c,为整数,确定所有,c,的值.,”,甲的结果,是,c,=1,乙的结果是,c,=3或4,则(,D,),A.甲的结果正确,B.乙的结果正确,C.甲、乙的结果合在一起才正确,D.甲、乙的结果合在一起也不正确,二、填空题,4.已知二次函数,y,=3,x,2,+,c,与正比例函数,y,=4,x,的图象只有一个交点,则,c,的值为,.,解析,将正比例函数,y,=4,x,代入到二次函数,y,=3,x,2,+,c,中,得4,x,=3,x,2,+,c,即3,x,2,-4,x,+,c,=0.,两函数图象只有一个交点,方程3,x,2,-4,x,+,c,=0有两个相等的实数根,=(-4),2,-4,3,c,=0,解得,c,=.,5.若二次函数,y,=-,x,2,+2,x,+,k,的部分图象如图所示,且关于,x,的一元二,次方程-,x,2,+2,x,+,k,=0的一个解为,x,1,=3,则另一个解为,x,2,=,-1,.,解析,因为二次函数图象为轴对称图形,根据图象,以,x,=1为对称,轴,与,x,轴的一个交点坐标为(3,0),所以另一个交点坐标为(-1,0),所以,x,2,=-1.,6.(2017日照)已知抛物线,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0)的对称轴为直线,x,=2,与,x,轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,有下列结论:,抛物线过原点;,4,a,+,b,+,c,=0;,a,-,b,+,c,0;,抛物线的顶点坐标为(2,b,);,当,x,0,故结论错误;,当,x,=2时,y,=,ax,2,+,bx,+,c,=4,a,+2,b,+,c,=(4,a,+,b,+,c,)+,b,=,b,抛物线的顶点,坐标为(2,b,),故结论正确;,观察函数图象可知,当,x,2时,y,随,x,增大而减小,故结论错误.,综上所述,正确的结论是.,三、解答题,7.(2018江西)某乡镇实施产业扶贫,帮助贫困户承包了荒山种植,某品种蜜柚.到了收获季节,已知该蜜柚的成本价为8元/千克,投入,市场销售时,调查市场行情,发现该蜜柚销售不会亏本,且每天销,售量,y,(千克)与销售单价,x,(元/千克)之间的函数关系如图所示.,(1)求,y,与,x,的函数关系式,并写出,x,的取值范围;,(2)当该品种蜜柚定价为多少时,每天销售获得的利润最大?最大,利润是多少?,(3)某农户今年共采摘蜜柚4 800千克,该品种蜜柚的保质期为40,天,根据(2)中获得最大利润的方式进行销售,能否销售完这批蜜,柚?请说明理由.,解析,(1)设,y,与,x,的函数关系式为,y,=,kx,+,b,(,k,0),将(10,200)和(15,150)代入,得,解得,y,与,x,的函数关系式为,y,=-10,x,+300.,由-10,x,+3000,得,x,30,x,的取值范围为8,x,30.,(2)设该品种蜜柚定价为,x,元/千克时,每天销售获得的利润为,W,元,依题意,得,W,=(,x,-8)(-10,x,+300)=-10(,x,-19),2,+1 210,-100,当,x,=19时,W,最大值,=1 210.,因此,该品种蜜柚定价为19元/千克时,每天销售获得的利润最大,最大利润为1 210 元.,(3)不能.,理由:按(2)中每天获得最大利润的方式销售,由(1)得,y,=-10,19+300=110,110,40=4 4004 800,该农户不能销售完这批蜜柚.,8.某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克,价格为每,千克30元.物价部门规定其销售单价不高于每千克60元,不低于每,千克30元.经市场调查发现:日销售量,y,(千克)是销售单价,x,(元)的,一次函数,且当,x,=60时,y,=80;当,x,=50时,y,=100.在销售过程中,每天,还要支付其他费用450元.,(1)求出,y,与,x,的函数关系式,并写出自变量,x,的取值范围;,(2)求该公司销售该原料日获利,w,(元)与销售单价,x,(元)之间的函,数关系式;,(3)当销售单价为多少元时,该公司日获利最大?最大获利是多少,元?,解析,(1)设,y,=,kx,+,b,(,k,0,30,x,60),根据题意得 解,得 ,y,=-2,x,+200(30,x,60).,(2),w,=(,x,-30)(-2,x,+200)-450=-2,x,2,+260,x,-6 450=-2(,x,-65),2,+2 000.,(3),w,=-2(,x,-65),2,+2 000,30,x,60,当,x,=60时,w,有最大值,为1 950元,当销售单价为,60元时,该公司日获利最大,为1 950元.,
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