矩阵乘法AB=BA成立的两个充要条件与一个充分条件【优质PPT】.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2023/5/24,*,矩阵乘法,AB=BA,成立的两个充要条件与一个充分条件,2023/5/24,1,我们知道，矩阵的乘法不满足交换律，,即在一般的情况下，,ABBA,这就是说矩阵,乘法,AB=BA,成立是有条件的。比如，对于,n,阶矩阵,A,B,中任意一个为,n,阶单位矩,E,时，矩,阵乘法,A,=,A,总是成立的。当,A,B,为一般,的,n,阶矩阵时，矩阵乘法,AB=BA,成立的条件,时什么呢？为此，我做了一些探讨，得到矩,阵乘法,AB=BA,成立的两个充要条件和一个充,分条件。,2023/5/24,2,一 两个充要条件,定理,1,若,A,B,都是,n,阶可逆矩阵，则矩阵乘法,AB=BA,成立的充要条件是,证 必要性 由已知条件,AB=BA,，两端分别取逆矩阵，得,2023/5/24,3,充分性 由已知条件，得,存在且唯一。,由矩阵运算性质，有,于是,又,两端取逆矩阵，即得,AB=BA.,2023/5/24,4,定理,2,设,A,B,都是,n,阶矩阵，则矩阵乘法,AB=BA,成立的充要条件是,证 必要性 由已知条件,AB=BA,，两端分别取它们的转置，得,(2),又,故,充分性 又矩阵运算性质,2023/5/24,5,及已知条件,即得,两端分别取它们的转置，,得,AB=BA,二 一个充分条件,定理,3,若,A,B,都是,n,阶可逆矩阵，并且满足关系式,（,3,）,其中,I,为,n,阶单位矩阵，为任意实数，则,AB=BA.,2023/5/24,6,证 当,=0,时，（,3,）式变为,A=AB,，从而有,结论显然成立。,当 为任意非零实数时，因为已知,A,B,可逆，所以,A-I,也是可逆的，由（,3,）式，得,.,(4),根据矩阵运算性质,由（,3),（,4,）两式,.,可得,2023/5/24,7,又 故,根据上述定理,2,，知,AB=BA.,综上所述，对于任意的实数,定理,3,的结论总是 成立的。,2023/5/24,8,