3.2.1立体几何中的向量方法(一)剖析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.2.1,立体几何中的向量方法,方向向量与法向量,高二数学组,l,A,P,直线的方向向量,直线的向量式方程,换句话说,直线上的非零向量,叫做,直线的,方向向量,一、方向向量与法向量,2,、平面的法向量,A,l,P,平面,的向量式方程,换句话说,与平面垂直的,非零向量,叫做平面,的,法,向量,o,x,y,z,A,B,C,O1,A1,B1,C1,例,1.,如图所示,正方体的棱长为,1,直线,OA,的一个方向向量坐标为,_,平面,OABC,的一个法向量坐标为,_,平面,AB,1,C,的一个法向量坐标为,_,(-1,-1,1),(0,0,1),(1,0,0),求法向量的步骤：,第一问题：,用“方向向量”与“法向量”来解决,平行、垂直,问题,.,一、平行关系：,l,m,一、平行关系：,l,一、平行关系：,二、垂直关系：,l,m,二,、垂直关系：,l,二、垂直关系：,例,1(1),设 分别是直线 的方向向量,根据下列条件判断 与,的位置关系,:,分析,:,直线方向向量与直线位置关系,据此可判断两直线的位置关系,平行垂直相交或异面,例,1(2),设 分别是平面 的法向量,根据下列条件判断 与,的位置关系,:,分析,:,平面法向量与两平面位置关系,据此可判断两平面的位置关系,垂直平行相交,(,不垂直,),例,1(2),设 分别是平面 的法向量,根据下列条件判断 与,的位置关系,:,分析,:,直线方向向量与平面法向量关系和直线与平面位置关系,据此可判断直线和平面的位置关系,例,1(3),设 是平面 的法向量,是直线 的方向向量,根据下列条件判断 与,的位置关系,:,垂直相交,(,斜交,),答题规范,A,1,x,D,1,B,1,A,D,B,C,C,1,y,z,E,F,CD,中点，求证：,D,1,F,例：,在正方体,中，,E,、,F,分别是,BB,1,，,平面,ADE,证明：设正方体棱长为,1,，为单位正交,基底，建立如图所示坐标系,D,-,xyz,，,则可得：,所以,E,是,AA,1,中点，,例,5,正方体,平面,C,1,BD.,证明：,E,求证：,平面,EBD,设正方体棱长为,2,建立如图所示坐标系,平面,C,1,BD,的一个法向量是,E(0,0,1),D(0,2,0),B(2,0,0),设平面,EBD,的一个法向量是,平面,C,1,BD.,平面,EBD,练习,：,如图，在正三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中，,AB=AA,1,/3=a,，,E,、,F,分别是,BB,1,、,CC,1,上的点，且,BE=a,，,CF=2a.,求证,:,面,AEF,面,ACF,。,A,F,E,C,1,B,1,A,1,C,B,x,z,y,练习,四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,是正方形，,PD,底面,ABCD,，,PD=DC,E,是,PC,的中点，,(1),求证：,PA/,平面,EDB.,A,B,C,D,P,E,X,Y,Z,G,解,1,立体,几何法,利用“方向向量”与“法向量”来解决,夹角,问题,.,第二问题：,结论：,1.,异面直线所成角：,2.,直线与平面所成角：,3.,二面角：,关键：观察二面角的范围,1,、两条直线的夹角：,l,m,l,m,所以 与 所成角的余弦值为,解：以点,C,为坐标原点建立空间直角坐标,系,如图所示，设 则：,所以：,例：,2,、直线与平面的夹角：,l,例：,解：建系如图所示，,l,D,C,B,A,3,、二面角：,方向向量法：,二面角的范围,：,l,l,法向量法,法向量的方向：,一进一出,，二面角等于法向量夹角；,同进同出,，二面角等于法向量夹角的补角,3,、二面角：,例：,如图，甲站在水库底面上的点,A,处，乙站在水坝斜面上的点,B,处,.,从,A,，,B,到直线,l,（库底与水坝的交线）的距离,AC,和,BD,分别为,a,和,b,CD,的长为,c,AB,的长为,d.,求库底与水坝所成二面角的余弦值,.,解：如图，,根据向量的加法法则有,于是，得,设向量 与 的夹角为 ，就是库底与水坝所成的二面角,.,因此,A,B,C,D,所以,所以库底与水坝所成二面角的余弦值为,设平面,例：,1.,三棱锥,P-,ABC PAABC,PA=AB=AC,E,为,PC,中点,则,PA,与,BE,所成角的余弦值为,_,.,2.,直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,A,1,A=2,AB=AC=1,则,AC,1,与截面,BB,1,CC,1,所成,角的余弦值为,_.,3.,正方体,中,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,为,A,1,D,1,的,中点,则二面角,E-BC-A,的大小是,_,利用“方向向量”与“法向量”来解决,距离,问题,.,第三问题：,1,、点与点的距离,：,例,1,如图,1,：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点,A,为端点,的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是,60,，那么以这,个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？,A,1,B,1,C,1,D,1,A,B,C,D,图,1,解：,如图,1,，,所以,答,:,这个晶体的对角线,AC,1,的长是棱长的 倍。,练习,.(P107.2),如图，,60,的二面角的棱上,有,A,、,B,两点，直线,AC,、,BD,分别在这个二面角的,两个半平面内,且都垂直,AB,已知,AB,4,AC,6,，,BD,8,，求,CD,的长,.,B,A,C,D,解,1,练习,.(P107.2),如图，,60,的二面角的棱上,有,A,、,B,两点，直线,AC,、,BD,分别在这个二面角的,两个半平面内,且都垂直,AB,已知,AB,4,AC,6,，,BD,8,，求,CD,的长,.,B,A,C,D,解,2,2,、点与直线的距离,：,A,1,x,D,1,B,1,A,D,B,C,C,1,y,z,E,F,CD,中点，求,:,点,F,到直线,AE,的距离,.,例：,在正方体,中，,E,、,F,分别是,BB,1,，,3,、点到平面的距离,：,3,、点到平面的距离,：,D,A,B,C,G,F,E,x,y,z,A,P,D,C,B,M,N,a,b,C,D,A,B,CD,为,a,b,的公垂线,A,，,B,分别在直线,a,b,上,已知,a,b,是异面直线,4.,异面直线间的距离,z,x,y,A,B,C,C,1,即,取,x=1,则,y=-1,z=1,所以,E,A,1,B,1,5.,其它距离问题：,（,1,）平行线的距离,(,转化为点到直线的距离）,（,2,）直线与平面的距离（转化为点到平面的距离）,（,3,）平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）,练习,1,：,如图，四面体,ABCD,中，,O,、,E,分别是,BD,、,BC,的中点，,（,I,）求证：,AO,平面,BCD,；,（,II,）求异面直线,AB,与,CD,所成角的大小；,（,III,）求点,E,到平面,ACD,的距离,.,解：（,I,）略,（,II,）解：以,O,为原点，如图建立空间直角坐标系，,所以异面直线,AB,与,CD,所成角的,余弦值为,（,III,）解：设平面,ACD,的法向量为,则,令,得,是平面,ACD,的一个法向量，又,所以点,E,到平面,ACD,的距离,如图，已知：直角梯形,OABC,中，,OABC,AOC=90,，,SO,面,OABC,，,且,OS=OC=BC=1,，,OA=2.,求：,(1),异面直线,SA,和,OB,所成的角的余弦值,;,(2)OS,与面,SAB,所成角的余弦值,;,(3),二面角,B,AS,O,的余弦值,.,O,A,B,C,S,x,y,z,练习,2,：,O,A,B,C,S,x,y,z,如图，已知：直角梯形,OABC,中，,OABC,AOC=90,，,SO,面,OABC,，,且,OS=OC=BC=1,，,OA=2.,求：,(1),异面直线,SA,和,OB,所成的,角的余弦值,;,O,A,B,C,S,x,y,z,如图，已知：直角梯形,OABC,中，,OABC,AOC=90,，,SO,面,OABC,，,且,OS=OC=BC=1,，,OA=2.,求：,(2)OS,与面,SAB,所成角的余弦值,;,所以,OS,与面,SAB,所成角的余弦值为,O,A,B,C,S,x,y,z,所以二面角,B,AS,O,的余弦值为,如图，已知：直角梯形,OABC,中，,OABC,AOC=90,，,SO,面,OABC,，,且,OS=OC=BC=1,，,OA=2.,求：,(3),二面角,B,AS,O,的余弦值,.,练习,3,：,如图所示，在四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,是正方形，侧棱,PD,底面,ABCD,，,PD=DC,，,E,是,PC,的中点,.,(1),证明：,PA/,平面,EDB,；,(2),求,EB,与底面,ABCD,所成的角的正切值,.,A,B,C,D,P,E,G,x,y,z,A,B,C,D,P,E,G,x,y,z,(1),证明：设正方形边长为,1,，则,PD=DC=DA=,1.,连,AC,、,BD,交于,G,点,(2),求,EB,与底面,ABCD,所成的角的正切值。,A,B,C,D,P,E,G,x,y,z,所以,EB,与底面,ABCD,所成的角的正弦值为,所以,EB,与底面,ABCD,所成的角的正切值为,练习,5,：,如图，在四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,是正方形，侧棱,PD,底面,ABCD,，,PD=DC,E,是,PC,的中点，作,EFPB,交,PB,于点,F.,(1),求证：,PA/,平面,EDB,(2),求证：,PB,平面,EFD,(3),求二面角,C-PB-D,的大小,.,A,B,C,D,P,E,F,