概率论及R相关应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率论复习及,R,相关,引言,在我们所生活的世界上，充满了不确定性,扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单游戏,将不确定性,数量化,，,20,世纪初叶才开始的,.,世间万物的繁衍生息；大自然的千变万化,，,面临着不确定性和随机性,.,已经给人类活动的一切领域带来了一场革命,.,随机现象是不是没有规律可言,?,多次重复抛一枚硬币，正面朝上的次数大致一半；,测量一物体的长度，由于仪器及观察受到的环境的影响，每次测量的结果可能是有差异的,.,但多次测量结果的平均值随着测量次数的增加逐渐稳定于一常数,.,在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性,.,数理统计 研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性质的数据，以对所观测的问题作出推断和预测,概率论 研究随机现象的统计规律性概率论的起源 赌博概率论的发展 测度,概率论与数理统计的应用和渗透,本学科的应用,几乎遍及所有科学技术领域、,工农业生产和国民经济的各个部门中,.,1.,气象、水文、地震预报、人口控制及预,测,产品的抽样验收，新研制的药品能否,应用,3.,寻求最佳生产方案,购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率,模型来描述，其涉及到 的知识就是,排队论,.,目前，概率统计理论 进入其他自然科学领,域的趋势还在不断发展,.,在社会科学领域，特,别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长,等问题，都大量采用,概率统计方法,.,正如法国,数学家 拉普拉斯所说,:,“,生活中最重要的问题，,其中绝大多数在实质上只是概率的问题,.”,机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、,第一章,随机事件与概率,1.1,样本空间与随机事件,一,.,随机试验,:,对随机现象进行一次观察和实验，统称为随机试验。,随机实验简称为实验，用,E,表示,实验,E,的所有可能结果构成的集合，称为,E,的样本空间，用,S,表示,一,.,古典概率,1-2,事件的概率（,Probability,）,1,古典概型,定义,1,若随机试验满足下述两个条件：,(1),它的样本空间只有有限多个样本点；,(2),每个样本点出现的可能性相同,.,称这种试验为有穷等可能随机试验,或古典概型,.,这样就把求概率问题转化为计数问题,.,定义,2,设试验,E,是古典概型,其样本空间,S,由,n,个样本点组成,事件,A,由,k,个样本点组成,.,则定义事件,A,的概率为：,称此概率为古典概率,.,这种确定概率的方法,称为古典方法,.,A,包含的样本点数,P(A),k/n,S,中的样本点总数,排列组合是计算古典概率的重要工具,.,二,.,几何概率,1.,定义,向任一可度量区域,G,内投一点，如果所投的点落在,G,中任意可度量区域,g,内的可能性与,g,的度量成正比，而与,g,的位置和形状无关，则称这个随机试验为几何型随机试验。或简称为几何概型。,2.,概率计算,1.,P,(,A,)=,A,的度量,/,S,的度量,两人约定于,12,点到,1,点到某地会面，先到者等,20,分钟后离去，试求两人能会面的概率？,例,1:,解：设,x,y,分别为甲、乙到达时刻,(,分钟,),令,A,=,两人能会面,=(x,y)|x-y|,20,，,x,60,y,60,P(A)=A,的面积,/S,的面积,=,（,60,2,-40,2,）,/60,2,=5/9,三,.,概率的频率定义,例,2,：,从同一型号同一批次的反坦克弹中任抽一发反坦克弹射击目标，观测命中情况。设,A,代表“命中”这一事件，求,P,(,A,)?,1,事件的频率,在一组不变的条件下，重复作,n,次试验，记,m,是,n,次试验中事件,A,发生的次数。,频率,f=m/n,2.,频率的稳定性,掷一枚均匀硬币，记录前,400,次掷硬币试验中频率,P*,的波动情况。（正面出现频率的趋势，横轴为对数尺度）,3,概率的频率定义,在一组不变的条件下，重复作,n,次试验，记,m,是,n,次试验中事件,A,发生的次数。当试验次数,n,很大时，如果频率,m/n,稳定地在某数值,p,附近摆动，而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动的幅度越来越小，称数值,p,为事件,A,在这一组不变的条件下发生的概率，记作,P(A)=p.,意义,:,(1),提供了估计概率的方法,;,(2),提供了一种检验理论正确与否的准则,.,设,A,、,B,为两事件,P,(,A,)0,则,称,为事件,A,发生的条件下事,件,B,发生的条件概率，记为,定义,设试验的基本事件总数为,n,，事件,A,所包含的基本事件总数为,m,，事件,AB,所包含的基本事件总数为,k,。,1.3,条件概率,利用条件概率求积事件的概率即,乘法公式,推广,乘法公式,某厂生产的灯泡能用,1000,小时的概率,为,0.8,能用,1500,小时的概率为,0.4,求已用,1000,小时的灯泡能用到,1500,小时的概率,解,令,A,灯泡能用到,1000,小时,B,灯泡能用到,1500,小时,所求概率为,例,3,三全概率公式,定义,若事件组,B,1,B,n,满足,：,（,1,）,B,1,B,n,互不相容且,P,(,B,i,)0,，,i,=1,n,（,2,）,事件,B,1,B,n,为样本空间的一个划分,则对任何事件,A,，均有,上式称为全概率公式,则称事件,B,1,B,n,为样本空间的一个划分,定理,Bayes,公式,全概率公式,1.4,事件的独立性,例,已知袋中有,5,只红球,3,只白球,.,从袋中,有放回地取球两次，,设第,i,次取得白球为,求,事件,A,i,(,i,=1,2),.,解,一,事件的独立性,事件,A,1,发生与否对,A,2,发生的概率没有影响,定义,设,A,B,为两事件，若,则称,事件,A,与事件,B,相互独立,可视为,事件,A,1,与,A,2,相互独立,四对事件,任何一对相互独立,则其它三对也相互独立,试证其一,事实上,第一章复习要点,随机试验 样本空间 随机事件 基本事件,频率 概率 古典概型,A,的对立事件及其概率,互不相容事件的和事件的概率 加法公式,条件概率 概率的乘法公式 全概率公式,贝叶斯公式,事件的独立性,n,重贝努利试验,随机变量,离散型,连续型,分布函数,性质,分布率,表示方法,两者联系,两点,二项,两者联系,泊松,密度函数,两者联系,均匀,指数,正态,密度图形,N(,2,),参数意义,N(0,1),随机变量的函数,公式方法,一般方法,正态标准化,第二章,复习提纲,第二章 随机变量及其分布,为了更好的揭示随机现象的规律性并利用,数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随,机试验的不同结果,例,电话总机某段时间内接到的电话次数，可用,一个变量,X,来描述,例,抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以,用一个变量来描述,有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来,.,二、引入随机变量的意义,如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用,X,表示，它是一个随机变量,.,事件,收到不少于,1,次呼叫,X,1,没有收到呼叫,X,=0,2.1,随机变量的概念,定义,设,E,是一随机试验，,S,是它的样本空间，,则称,S,上的单值实值函数,X,(,),为,随机变量,随机变量一般用,X,Y,Z,或小写希腊字母,表示,若,随机变量的概念,如，若用,X,表示电话总机在,9:0010:00,接到,的电话次数，,或,表示“某天,9:00 10:00,接到的电话,次数超过,100,次”这一事件,则,例如，要研究某地区儿童的发育情况，往往,需要多个指标，例如，身高、体重、头围等,S,=,儿童的发育情况,X,(,),身高,Y,(,),体重,Z,(,),头围,各随机变量之间可能有一定的关系，也可能,没有关系,即 相互独立,随机变量的分类,离散型随机变量,非离散型随机变量,其中一种重要的类型为,连续性随机变量,定义了一个,x,的实值函数，称为随机变量,X,的,分布函数,，记为,F,(,x,),即,定义,设,X,为随机变量,对每个实数,x,随机事件,的概率,随机变量的分布函数,2.2,离散型随机变量及其概率分布,定义 若随机变量,X,的可能取值是有限多个或,无穷可列多个，则称,X,为,离散型随机变量,描述离散型随机变量的概率特性常用它的,概率,分布,或,分布律,，即,概率分布的性质,离散型随机变量的概念,非负性,规范性,F,(,x,),是分段阶梯函数，在,X,的可能取值,x,k,处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，,在间断点处有跃度,p,k,离散型随机变量的分布函数,(1),0 1,分布,X=x,k,1 0,P,k,p,1,-p,0,p,1,the length is taken to be the number required.,size:number of trials.,prob:probability of success on each trial.,log,log.p:logical;if TRUE,probabilities p are given as log(p).,lower.tail:logical;if TRUE(default),probabilities are PX x.,Details:,The binomial distribution with size=n and prob=p has density,p(x)=choose(n,x)px(1-p)(n-x),for x=0,.,n.,If an element of x is not integer,the result of dbinom is zero,with a warning.p(x)is computed using Loaders algorithm,see the reference below.,The quantile is defined as the smallest value x such that F(x)=p,where F is the distribution function.,Value:,dbinom gives the density,pbinom gives the distribution,function,qbinom gives the quantile function and rbinom generates random deviates.,If size is not an integer,NaN is returned.,结果：,ans=0.0020,y=0.0115 0.0576 0.1369 0.2054 0.2182 0.1746 0.1091 0.0545 0.0222 0.0074 0.0020 0.0005 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000,输入以下命令：,dbinom(k,，,n,，,p),例,4,：,求服从,二项分布的随机变量,Y,分布率的值,输入以下命令：,dbinom(10,20,0.2),x=0:20;,y=dbinom(x,20,0.2),y,设,.01 .06.14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .001,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20,x,P,1,3,5,7,9,0,2,4,6,8,10,20,由图表可见,当 时，,分布取得最大值,0.22,输入以下命令：,dbinom(0,8,1/3),dbinom(1,8,1/3),x=0:8;,y=dbinom(x,8,1/3),y,例,5,：,求服从二项分布的随机变量,X,分布率的值,结果：,ans=0.0390,ans=0.1561,y=0.0390 0.1561 0.2731 0.2731 0.1707 0.0683,0.0171 0.0024 0.0002,设,命令：,p=dbinom(x,n,p),解,(1),设 需要配备,N,个维修工人,设,X,为,90,台,设备中发生故障的台数，则,X B,(90,0.01),设有同类型设备,90,台，每台工作相互独立，,每台设备发生故障的概率都是,0.01,.,在通常,情况下，一台设备发生故障可由一个人独立,维修，每人同时也只能维修一台设备,.,问至少要配备多少维修工人，才能保证当设,备发生故障时不能及时维修的概率小于,0.01?,(2),问,3,个人共同负责,90,台还是,3,个人各自独立负,责,30,台设备发生故障不能及时维修的概率低？,例,6,令,则,查表,2,可得,N=,4,dbinom(0,90,0.01)=0.4047,dbinom(1,90,0.01)=0.3679,dbinom(2,90,0.01)=0.1654,dbinom(3,90,0.01)=0.0490,dbinom(4,90,0.01)=0.0108,三个人共同负责,90,台设备发生故障不能,及时维修的概率为,设,30,台设备中发生故障的台数为,Y,B,(30,0.01),设每个人独立负责,30,台设备，第,i,个人负责的,30,台设备发生故障不能及时维修为事件,A,i,则,三个人各独立负责,30,台设备发生故障不能及时,维修为事件,故,三个人共同负责,90,台设备比各自负责好！,(3),Poisson,分布,或,或,若,其中,是常数，则称,X,服从,参数为,的,Poisson,分布，记作,在一定时间间隔内：,一匹布上的疵点个数；,大卖场的顾客数；,应用场合,电话总机接到的电话次数；,一个容器中的细菌数；,放射性物质发出的粒子数；,一本书中每页印刷错误的个数；,某一地区发生的交通事故的次数,都可以看作是源源不断出现的随机质点流,若它们满足一定的条件，则称为,Poisson,流,在,长为,t,的时间内出现的质点数,X,t,P,(,t,),市级医院急诊病人数；,等等,命令：,p=dpois(k,),Usage:,dpois(x,lambda,log=FALSE),ppois(q,lambda,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE),qpois(p,lambda,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE),rpois(n,lambda),Arguments:,x:vector of(non-negative integer)quantiles.,q:vector of quantiles.,p:vector of probabilities.,n:number of random values to return.,lambda:vector of positive means.,log,log.p:logical;if TRUE,probabilities p are given as log(p).,lower.tail:logical;if TRUE(default),probabilities are PX x.,例,7,三个人共同负责,90,台设备发生故障不能及时,维修的概率为,dpois(0,0.9)+dpois(1,0.9)+dpois(2,0.9)+,dpois(3,0.9)=0.9865,F,(,x,),是分段阶梯函数，在,X,的可能取值,x,k,处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，,在间断点处有跃度,p,k,离散型随机变量的分布函数,输入以下命令：,pbinom(10,20,0.2),x=0:20;,y=pbinom(x,20,0.2),y,z=qbinom(y,20,0.2),z,结果：,ans=0.9994,y=0.0115 0.0692 0.2061 0.4114 0.6296 0.8042 0.9133 0.9679 0.9900 0.9974 0.9994 0.9999 1.0000 1.0000,1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000,例,8,：,求服从,二项分布的随机变量,X,分布函数的值,例,9,离散均匀分布,的,分布函数和累积函数的值,x=1:10;,y=1/10,y,结果：,y=0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000,x=0:10,y=x/10,y,结果：,y=0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000,对于离散型随机变量，如果知道了它的概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率规律,.,在这个意义上，我们说,我们介绍了离散型随机变量及其概率分布,.,离散型随机变量由它的概率函数唯一确定,.,2.3,连续型随机变量,定义,设,X,是一随机变量，若存在一个非负,可积函数,f,(,x,),使得,其中,F,(,x,),是它的分布函数,则称,X,是,连续型随机变量,，,f,(,x,),是它的,概率密度函数,(,p.d.f.,),，简称为,密度函数,或,概率密度,连续型随机变量的概念,x,f,(,x,),x,F,(,x,),分布函数,F,(,x,),与密度函数,f,(,x,),的几何意义,p.d.f.,f,(,x,),的性质,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其,中的未知参数,在,f,(,x,),的连续点处，,f,(,x,),描述了,X,在,x,附近单位长度的区间内,取值的概率,注意,:,对于连续型随机变量,X,P,(,X=a,)=0,这里,a,可以是随机变量,X,的一个可能的,取值,命题,连续型随机变量取任一常数的概率为零,对于连续型随机变量,X,b,x,f,(,x,),a,x,f,(,x,),a,概率分布的上侧分位数,设随机变量,x,的密度函数为,f,(,x,),对给定的,定义,x,f(x),o,概率分布的下侧分位数,设随机变量,x,的密度函数为,f,(,x,),对给定的,定义,x,f(x),o,(1),均匀分布,(,a,b,),上的均匀分布,记作,常见的连续性随机变量的分布,若,X,的密度函数为 ，则称,X,服从区间,其中,X,的分布函数为,x,f,(,x,),a,b,x,F,(,x,),b,a,即,X,的取值在,(,a,b,),内任何长为,d c,的小区间,的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正,比,.,这正是几何概型的情形,.,在进行大量数值计算时，如果在小数点后第,k,位进行四舍五入，则产生的误差可以看作,服从,应用场合,Uniform statsR Documentation,The Uniform Distribution,Description,These functions provide information about the uniform distribution on the interval from min to max.dunif gives the density,punif gives the distribution function qunif gives the quantile function and runif generates random deviates.,Usage,dunif(x,min=0,max=1,log=FALSE),punif(q,min=0,max=1,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)qunif(p,min=0,max=1,lower.tail=TRUE,log.p=FALSE)runif(n,min=0,max=1),Arguments,x,qvector of quantiles.pvector of probabilities.nnumber of observations.If length(n)1,the length is taken to be the number required.min,maxlower and upper limits of the distribution.log,log.plogical;if TRUE,probabilities p are given as log(p).lower.taillogical;if TRUE(default),probabilities are,PX x,.,输入以下命令：,colors(),x=seq(0,7,0.01),y=dunif(x,2,5),z=punif(x,2,5),plot(x,z,type=l,col=Blue),lines(x,y,type=l,col=Red),密度函数,：,f=dunif(x,a,b),分布函数,：,F=punif(x,a,b),(2),指数分布,若,X,的密度函数为,则称,X,服从,参数为,的指数分布,记作,X,的分布函数为,0,为常数,1,x,F,(,x,),0,x,f,(,x,),0,对于任意的,0,a,1,the length is taken to be the number required.,rate:vector of rates.,log,log.p:logical;if TRUE,probabilities p are given as log(p).,lower.tail:logical;if TRUE(default),probabilities are PX x.,结果：,Result=,0.1353291,输入以下命令：,x=seq(0,5,0.1);,y=dexp(x,2);,z=pexp(x,2);,plot(x,z,type=l,col=Blue);,lines(x,y,type=l,col=Red);,result1=pexp(5,1)-pexp(0,1);,result2=pexp(20,1)-pexp(0,1);,结果：,result1=,0.993262,result2=1.0000,(3),正态分布,若,X,的密度函数为,则称,X,服从,参数为,2,的正态分布,记作,X,N,(,2,),为常数，,N,(-3,1.2,),f,(,x,),的性质,：,图形关于直线,x=,对称：,f,(,+,x,)=,f,(,-,x,),在,x=,时,f,(,x,),取得最大值,在,x=,时,曲线,y,=,f,(,x,),在对应的点处有,拐点,曲线,y,=,f,(,x,),以,x,轴为渐近线,曲线,y,=,f,(,x,),的图形呈单峰状,f,(,x,),的两个参数：,位置参数,即固定,对于不同的,对应的,f,(,x,),的形状不变化，只是位置不同,形状参数,固定,，对于不同的,，,f,(,x,),的形状不同,.,若,1,1,the length is taken to be the number required.,mean:vector of means.,sd:vector of standard deviations.,log,log.p:logical;if TRUE,probabilities p are given as log(p).,lower.tail:logical;if TRUE(default),probabilities are PX x.,输入以下命令：,x=seq(-10,10,0.1);,y=dnorm(x,1,2);,z=pnorm(x,1,2);,plot(x,z,type=l,col=Blue);,lines(x,y,type=l,col=Red);,result=,p,norm(6,1,2,)-,p,norm(1,1,2,),结果：,Result=,0.4937903,在,R,中输入以下命令：,x=seq(-5,5,0.1);,y=dnorm(x,-1,1);,z=pnorm(x,-1,1);,plot(x,z,type=l,col=Blue);,lines(x,y,type=l,col=Red);,result=,p,norm(3,-1,1)-,p,norm(-2,-1,1),结果：,Result=,0.841313,2.4,随机变量函数的分布,问题,：已知随机变量,X,的概率特性,分布,函数 或密度函数（分布律）,Y=g,(,X,),求,随机因变量,Y,的概率特性,方法,：将与,Y,有关的事件转化成,X,的事件,2.4,设随机变量,X,的分布律为,由已知函数,g,(,x,),可求出随机变量,Y,的所有,可能取值，则,Y,的概率分布为,离散型随机变量函数的分布,已知随机变量,X,的密度函数,f,(,x,)(,或分布函数,),求,Y,=,g,(,X,),的密度函数或分布函数,方法：,（,1,）,从分布函数出发,（,2,）,从密度函数出发,连续性随机变量函数的分布,例,已知随机变量,X,的分布函数,F(x),是严格单调的连续函数,证明,Y,=,F,(,X,),服从,0,1,上的均匀分布,.,又由于,X,的分布函数,F,是严格递增的连续函数,其反函数,F,-1,存在且严格递增,.,证明,:,设,Y,的分布函数是,G(y),于是,对,y,1,G,(,y,)=1;,对,y,plot(x),plot(x,main=Graph of x),其中的,main,就是一个可选参数，用来指定图形的标题。没有此选项时图形就没有标题。这样的选项还有,add=T,使函数象低级图形函数那样不是开始一个新图形而是在原图基础上添加。,axes=F,暂不画坐标轴，随后可以用,axis(),函数更精确地规,定坐标轴的画法。缺省值是,axes=T,，即有坐标轴。,log=x log=y,log=xy,把,x,轴，,y,轴或两个坐标轴用对数刻度绘制。,type=,type=p,type=l,type=b,type=o,type=h,type=s,type=S,type=n,规定绘图方式：,绘点,画线,绘点并在中间用线连接,绘点并画线穿过各点,从点到横轴画垂线,阶梯函数；左连续,阶梯函数；右连续,不画任何点、线，但仍画坐标轴并建立坐标系,适用于后面用低级图形函数作图。,xlab=,字符串,“,ylab=,字符串,main=,字符串,sub=,字符串,定义,x,轴和,y,轴的标签,缺省时使用对象名。,图形的标题,;,图形的小标题，用较小字体画在,x,轴下方。,低级图形函数,高级图形函数可以迅速简便地绘制常见类型的图形，但是，某些情况下你可能希望绘制一些有特殊要求的图形。比如，你希望坐标轴按照自己的设计绘制，在已有的图上增加另一组数据，在图中加入一行文本注释，绘出多个曲线代表的数据的标签，等等。,低级图形函数让你在已有的图的基础上进行添加。,低级图形函数一般需要指定位置信息，其中的坐标指的是所谓用户坐标，即前面的高级图形函数所建立的坐标系中的坐标。坐标可以用两个向量,x,和,y,给出，也可以由一个两列的矩阵给出。如果交互作图可以用下面介绍的,locator(),函数来交互地从图形中直接输入坐标位置。,常用的低层图形函数罗列如下：,points(x,y),lines(x,y),在当前图形上叠加一组点或线。可以使用,plot(),的,type=,参数来指定绘制方法，缺省时,points(),画点，,lines(),画线。,text(x,y,labels,.),在由坐标,x,和,y,给出的位置标出由,labels,指定的字符串。,labels,可以是数值型或字符型的向量，,labelsi,在,xi,，,yi,处标出。,abline(a,b),abline(h=y),abline(v=x),abline(,lm.obj,),在当前图形上画一条直线。两个参数,a,b,分布给出截距,和斜率。指定,h=,参数时绘制水平线，指定,v=,参数时绘,制垂直线。以一个最小二乘拟合结果,lm.obj,作为参数,时由,lm.obj,的,$coefficients,成员给出直线的截距和斜,率。,polygon(x,y,.),以由向量,x,给出的横坐标和向量,y,给出的纵坐标为顶点,绘制多边形。可以用,col=,参数指定一个颜色填充多边,形内部。,legend(x,y,legend,.),legend(,angle=v)legend(,density=v)legend(,fill=v)legend(,col=v)legend(,lty=v)legend(,pch=v)legend(,marks=v),legend,函数用来在当前图形的指定坐标位置绘制图例。图例的说明文字由向量,legend,提供。至少下面的,v,值要给出以确定要对什么图例进行说明，,v,是长度与,legend,相同的向量。,angle,参数指定几种阴影斜角。,density,参数指定几种阴影密度。,fill,参数指定几种填充颜色。,col,参数指定几种颜色。,lty,参数指定几种线型。,pch,参数指定几种散点符号，为字符型向量。,marks,参数也指定几种散点符号，但使用散点符号数值代号，为数值型向量。,title(main,sub),绘制由,main,指定的标题和由,sub,指定的小标题。,axis(side,.),绘制一条坐标轴。这之前的绘图函数必须已经用,axes=F,选项抑制了自动的坐标轴。参数,side,指定在哪一边绘制坐标轴，取值为,1,到,4,，,1,为下边，然后逆时针数。可以用,at=,参数指定刻度位置，用,labels,参数指定刻度处的标签。,