欧拉公式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,研究性课题：多面体的欧拉定理的发现,欧拉,欧拉公式,著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法国度过他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史上最高产的作家在世发表论文700多篇，去世后还留下100多篇待发表其论著几乎涉及所有数学分支他首先使用,f(x),表示函数，首先用,表示连加，首先用,i,表示虚数单位在立体几何中多面体研究中，首先发现并证明欧拉公式,多面体,（6）,(8),简单多面体,表面经过连续变形,能变成一个球面的多面体,(5),讨论,问题1：,（1）数出下列四个多面体的顶点数,V,、面数,F,、棱数,E,并填表,（1）,（2）,（3）,（4）,图形编号,顶点数,V,面数,F,棱数,E,（1）,（2）,（3）,（4）,规律,：,V,+,F,-,E,=2,4,6,4,8,6,12,6,8,12,9,8,15,（欧拉公式）,问题2：,如何证明欧拉公式（证法一：内角和法）,A,B,C,D,E,A,1,B,1,C,1,D,1,E,1,A,B,C,D,E,A,1,B,1,C,1,D,1,E,1,讨论,思考1,：多面体的面数是F，顶点数是V，棱数是E，则平面图形中的多边形个数、顶点数、边数分别为,思考2,：设多面体的,F,个面分别是,n,1,n,2,n,F,边形，各个面的内角总和是多少？,(,n,1,-2)180,0,+(,n,2,-2)180,0,+(,n,F,-2)180,0,=(,n,1,+,n,2,+,n,F,-2,F,）180,0,思考3：,n,1,+,n,2,+,n,F,和多面体的棱数,E,有什么关系,n,1,+,n,2,+,n,F,=2,E,F,、,V,、,E,问题2：,如何证明欧拉公式,（证法一：内角和法）,讨论,A,B,C,D,E,A,1,B,1,C,1,D,1,E,1,A,B,C,D,E,A,1,B,1,C,1,D,1,E,1,多边形内角和=（,E,F,）360,0,思考4,：设平面图形中最大多边形（即多边形,ABCDE,）是,m,边形，则它和它内部的全体多边形的内角总和是多少？,2（,m,-2)180,0,+(,V,-,m,)360,0,=(,V,-2)360,0,（,E,-,F,）360,0,=(,V,-2)360,0,问题2：,如何证明欧拉公式,（证法一：内角和法）,讨论,A,B,C,D,E,A,1,B,1,C,1,D,1,E,1,A,B,C,D,E,A,1,B,1,C,1,D,1,E,1,V,+,F,-,E,=2,欧拉公式,问题3:,欧拉公式的应用,例1,1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C,60,有重大贡献的三位科学家C,60,是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分别为五边星或六边形两种计算C,60,分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？,解：设C,60,分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个,由题意有顶点数V=60，面数F=x+y，,答：C,60,分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和20个,小结,猜想,证明,应用,空间问题平面化,V,+,F,-,E,=2,1.欧拉公式,2.欧拉公式证明,3.欧拉公式证明,4.正多面体种类,