复变函数复习题.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,*,*,考试安排,考试时间:,一,、,2008 年 11 月 24 日 晚上,考试地点:,答疑时间:,二,、,2008 年 11 月 21 日 下午 晚上,11 月 22 日 上午 下午,11 月 23 日 上午 下午,答疑地点:,科技楼 805 计算数学教研室,10/26/2026,1,主要内容,一,、复数的几种表示及,运算，,区域，曲线；初等,复变函数。,二,、柯西-黎曼方程：,(1),判断可导与解析，求导数；,七、Fourier变换的概念，,函数，,卷积。,三,、,柯西积分公式，柯西积分定理，高阶导数公式。,四,、,洛朗展式。,五,、留数：,(1),计算闭路积分；,六,、保形映射：,(1),求象区域；,八、,利用Laplace变换求解常微分方程(组)。,(2),构造,解析函数。,(2),计算定积分。,(2),构造,保形映射。,10/26/2026,2,一、填空题。,(1),的模为,，辐角主值为,.,。,.,(2),的值为,的值为,，,.,.,。,(3),伸缩率为,处的旋转角为,映射,w=z,3,-,z,在,z=,i,.,。,，,.,(4),在区域D内解析的,函数,.,。,充要条件为,10/26/2026,3,(7),.,。,(5),在,z,0,=1+i,处展开成泰勒级数的,.,。,收敛半径为,(6),z,=0 是,(何种类型的奇点)。,.,的,(8),，,已知,.,。,求,10/26/2026,4,四,、计算下列各题：,2.,3.,4.,1.,二,、,验证,z,平面上的调和函数，并求以,为实部的解析函数，使,是,。,三,、,将函数,在,与,洛朗级数。,处展开为,10/26/2026,5,二,、,验证,z,平面上的调和函数，并求以,为实部的解析函数，使,是,。,解:,故,u,(,x,y,),为调和函数,(1),(2)方法二,10/26/2026,8,三,、,将函数,在,与,洛朗级数。,处展开为,解:,(1)在,z,=1,处,1,2,10/26/2026,9,三,、,将函数,在,与,洛朗级数。,处展开为,解:,(2)在,z,=2,处,1,2,10/26/2026,10,四,、,1.,解:,方法一:利用留数求解,z,=0 为二级极点,方法二:利用高阶导数公式求解,10/26/2026,11,四,、,2.,解:,z,=1 为本性奇点,10/26/2026,12,四,、,3.,解:,10/26/2026,13,四,、,4.,解:,10/26/2026,14,五,、,求区域,在映射,下的像。,解:,(,z,),(,w,),0,1,0,i,i/2,1+i,(1+i)/2,i,2,1,10/26/2026,15,六,、求把下图阴影部分,映射到单位圆内部的保形映射。,i,-,i,(,z,),(,w,),(,z,2,),(,z,1,),10/26/2026,16,七,、用拉氏变换求解方程：,(1)对方程两边取拉氏变换得：,解：,10/26/2026,17,(2)求拉氏逆变换,方法一：,利用部分分式求解,10/26/2026,18,(2)求拉氏逆变换,方法二：,利用留数求解,一阶极点,二阶极点，,10/26/2026,19,10/26/2026,20,八,、设函数,在,上解析，证明：,证明：,(1)奇点,由于,(2)左边=,10/26/2026,21,(7)0;,(8),一,、,(1)1,;(2),(5),;(4),u,v,在D内可微，且满足CR方程,(3),4,;(6)可去奇点,10/26/2026,22,(1)预处理：使边界至多由两段圆弧(或直线段)构成。,一般步骤：,(2)将边界的一个交点,z,1,映射为，,(3)将角形域或者带形域映射为上半平面。,(4)将上半平面映射为单位圆。,工具：,几种简单的分式映射、幂函数等。,另一个(交)点,z,2,映射为0,从而将区域映射为角形域或者带形域。,工具：,工具：,(对于角形域),(对于带形域),工具：,(无附加条件),(由附加条件确定,0,z,0,),10/26/2026,23,先通过Laplace变换将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)，由代数方程求出象函数，再取Laplace逆变换，就得到微分方程(组)的解,=,工具：,方法：,象函数的,代数方程(组),求解,拉氏,逆变换,拉氏正,变换,得到象函数,微分方程(组),的解,微分方程(组),10/26/2026,24,