第章系统的状态空间法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,绪 论,一、现代控制理论的性质及发展,控制理论研究的问题：,如何改进系统的动态性能，达到所需的性能指标。,控制系统中两个重要的概念：,1,、反馈的概念,2,、最优控制的概念,控制理论发展的三个时期：,1,、经典控制理论时期（二十世纪,3050,年代）,研究对象主要是线性系统，以拉氏变换为数学工具。,较好的解决了单输入单输出反馈控制问题。,2,、现代控制理论时期（二十世纪,5070,年代）,研究对象为多变量、非线性、时变、离散系统。,以线性代数和微分方程为主要的数学工具，以状态空间法为基础，分析和设计控制系统。,3,、大系统理论和智能控制理论时期（二十世纪,70,年代至今）,二、现代控制理论基础主要内容,1,、线性系统理论,2,、系统辨识,3,、最优控制,4,、最优估计,5,、自适应控制,1,、线性系统理论,建立系统的状态方程，系统的响应特性，系统的稳定性，能控性，能观测性，状态反馈，状态观测器,2,、系统辨识,包括结构辨识和参数辨识,3,、最优控制,通过观测一个系统的输入输出关系来确定其数学模型的方法。,在已知系统状态方程、初始条件及某些约束条件下，寻找一个最优控制量，使系统的状态或输出在控制向量作用下，使某一指标达到最优值。,4,、最优估计,在通讯工程中，接受到的信号为：,Y,（,t,）,=S,（,t,）,+,（,t,）,有用信号,干扰躁声,由,Y,（,t,）求,S,（,t,）的估计,S,（,t,）,5,、自适应控制,自适应控制一般分为两类：模型参考自适应控制，自校正自适应控制。,当控制对象的结构或参数随环境条件的变化而有大的变化时，为了保证控制系统在整个控制过程中都满足某一最优准则，则最优控制器的参数就要随之加以调节，这类控制为自适应控制。,四、本课程主要内容,1,、状态空间法,2,、动态分析,3,、能控性与能观测性,三、控制理论的应用,航天与航空、电机械、化工、冶金、交通、医疗,4,、结构分解与实现,5,、稳定性分析,6,、状态反馈,7,、最优控制,8,、最小值原理,1,.,1,概述,古典控制理论是基于,传递函数,来分析与设计系统。,现代控制理论是建立在,状态空间法,基础上。,1,.,2,控制系统的状态空间表达式,1,.,2,.,1,基本概念,1,、,系统的状态,：系统运动信息的集合，表示系统 过去、现在、将来的运动状况。,2,、系统的状态变量：,唯一,确定系统状态的,一组独立变量,。能够完全描述系统时域行为的最小变量组。状态变量的选取不唯一。,1,.,2,.,1,基本概念,3,、状态矢量：以,n,个状态变量为分量，构成一个,n,维矢量。,X,（,t,）,=,x,1,(t),x,2,(t),:,:,x,n,(t),4,、状态空间：以,n,个状态变量为坐标轴所构成的空间，称为,n,维状态空间。,5,、状态方程：状态变量的一阶导数与输入变量及状态变量的关系式。,d,x,1,d,t,=f,1,(,x,1,x,2,u,1,u,2,),一阶微分方程,6,、输出方程：输出变量与输入变量及状态变量的关系式。,1,.,2,.,1,基本概念,代数方程,7,、状态空间表达式：状态方程和输出方程。,1,.,2,.,2,控制系统状态空间表达式,例：某机械运动系统的物理模型，它是一个弹簧,质量,阻尼系统，试建立输入的外力,u,(,t,),，输出为位移,y(,t,),的状态空间表达式。,f,m,k,u,y,y,1,=f,1,(,x,1,x,2,u,1,u,2,),K,：弹性系数,f,：阻尼系数,1,.,2,.,2,控制系统状态空间表达式,f,m,k,解：系统的运动方程：,d,2,y,d,t,2,m,=u,f,d,y,d,t,k,y,d,2,y,d,t,2,m,+,f,d,y,d,t,+,k,y,=u,系统的状态变量：,x,1,=y,u,y,x,2,=y=,x,1,x,2,=y,系统的状态方程：,x,1,=,x,2,系统的输出方程：,y,=,x,1,x,2,=,k,m,x,1,f,m,x,2,1,m,u,+,1,.,2,.,2,控制系统状态空间表达式,f,m,k,u,y,矩阵形式：,x,1,=,x,2,y,=,x,1,y,=,1 0,x,1,x,2,x,1,x,2,=,u,1,m,0 1,k,m,f,m,x,1,x,2,+,x,1,x,2,0,简写为：,X,=AX+bu,Y=CX,x,2,=,k,m,x,1,f,m,x,2,1,m,u,+,1,.,2,.,2,控制系统状态空间表达式,多输入多输出线性定常系统：,x,1,x,2,:,:,x,n,=,X,u,1,u,2,:,:,u,r,=,U,y,1,y,2,:,:,y,m,=,Y,X,=AX+BU,Y=CX+DU,A=,a,11,a,12,.a,1n,a,21,a,22,.a,2n,.,a,n1,a,n2,.a,nn,B=,b,11,b,12,.b,1r,b,21,b,22,.b,2r,.,b,n1,b,n2,.b,nr,1,.,2,.,2,控制系统状态空间表达式,X,=AX+BU,Y=CX+DU,C=,c,11,c,12,.c,1n,c,21,c,22,.c,2n,.,c,m1,c,m2,.c,mn,B=,b,11,b,12,.b,1r,b,21,b,22,.b,2r,.,b,n1,b,n2,.b,nr,A=,a,11,a,12,.a,1n,a,21,a,22,.a,2n,.,a,n1,a,n2,.a,nn,D=,d,11,d,12,.d,1r,d,21,d,22,.d,2r,.,d,m1,d,m2,.d,mr,1,.,2,.,3,控制系统状态空间的一般表达式,X,=F,（,X U t,）,Y=G,（,X U t,）,1,.,2,.,4,线性系统状态空间表达式的模拟结构图和,信号流图,X,=AX+BU,Y=CX+DU,B,D,C,A,U(t),+,+,+,+,Y(t),DU,AX,CX,X,比例器,加法器,积分器,1,、结构图,BU,X,1,.,2,.,4,线性系统状态空间表达式的模拟结构图和,信号流图,例：线性系统的状态空间表达式为,x,1,=,x,2,x,2,=,x,3,x,3,=,8,x,1,14,x,2,7,x,3,+,u,y,=,x,1,+2,x,2,试画出它的系统结构图。,解：这是一个三阶系统，需,3,个积分器,例：线性系统的状态方程为,x,1,=,x,2,x,2,=,x,3,x,3,=,8,x,1,14,x,2,7,x,3,+,u,y,=,x,1,+2,x,2,试画出它的系统结构图。,解：这是一个三阶系统，需,3,个积分器,x,1,x,3,x,3,=,x,2,x,2,=,x,1,8,14,7,+,2,+,+,u,y,x,1,x,3,x,3,=,x,2,x,2,=,x,1,8,14,7,+,2,+,+,u,y,2,、信号流图,X,=AX+BU,Y=CX+DU,U,B,A,C,D,Y,X,X,将上例中的结构图用信号流图表示,x,2,=,x,1,x,3,=,x,2,x,3,x,1,8,14,7,+,2,+,+,u,y,2,、信号流图,将上例中的结构图用信号流图表示,u,2,y,1,x,3,x,2,x,1,x,1,1,14,8,7,1,.,3,状态空间表达式的建立,1,.,3,.1,由系统方框图建立状态空间表达式,方框图,结构图,例：试建立系统的状态空间表达式,解：将惯性环节变为积分环节,k,1,T,1,S+1,k,2,T,2,S+1,k,4,k,1,T,1,S+1,u,y,+,k,3,T,3,S,k,1,T,1,1,S+,1,T,1,1,.,3,.1,由系统方框图建立状态空间表达式,k,1,T,1,解：将惯性环节变为积分环节,k,1,T,1,S+1,1,S+,1,T,1,k,1,T,1,1,S,1,T,1,+,k,1,T,1,1,T,1,+,x,3,x,3,1,.,3,.1,由系统方框图建立状态空间表达式,k,2,T,2,S+1,k,4,k,1,T,1,S+1,u,y,+,k,3,T,3,S,1,T,1,+,x,3,x,3,k,1,T,1,k,4,1,T,2,+,x,2,x,2,k,2,T,2,k,3,T,3,x,1,x,1,=y,+,u,1,.,3,.1,由系统方框图建立状态空间表达式,1,T,1,+,x,3,x,3,k,1,T,1,k,4,1,T,2,+,x,2,x,2,k,2,T,2,k,3,T,3,x,1,x,1,=y,+,u,x,1,=,x,2,k,3,T,3,x,3,=,x,3,+,（,u,k,4,x,1,）,k,1,T,1,1 T,1,x,2,=,x,2,+,x,3,1 T,2,k,2,T,2,y,=,x,1,1,.,3,.1,由系统方框图建立状态空间表达式,例：含有零点,k,S,S,Z,S+P,u,y,+,1,S+a,Z+,P,S+P,S,Z,S+P,=1,Z,+,P,S+P,k,S,u,y,+,1,S+a,+,1,.,3,.2,由系统的工作机理建立状态空间表达式,例：由,RLC,组成的系统如图，,u,为输入变量，,y,为输出变,量，试建立它的状态空间表达式。,C,R,L,u,R,u,L,u,C,i,u,+,+,+,+,y,解：,u=u,R,+u,L,+u,C,u,L,=,L,d,t,d,i,u=RC,d,u,C,d,t,+LC,d,2,u,C,d,t,2,+,u,C,设状态变量为：,x,1,=,u,C,、,x,2,=,x,1,=,u,C,y,=,1 0,x,1,x,2,x,1,x,2,=,u,1,LC,0 1,1,LC,R,L,x,1,x,2,+,x,1,x,2,0,i=,C,d,t,d,u,C,1,.,3,.2,由系统的工作机理建立状态空间表达式,例：试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表,达式。设转动惯量为,J,。,设状态变量为：,x,1,=,、,x,2,=,=,B,K,T,B,：粘性阻尼系数。,K,：扭转轴的刚性系数。,T,：施加于扭转轴上的力矩。：转动的角度。,解：设扭转轴的转动角度,及其角速度为状态变量。,u,=,T,根据牛顿定律：,1,.,3,.2,由系统的工作机理建立状态空间表达式,例：试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表,达式。设转动惯量为,J,。,y,=,1 0,x,1,x,2,x,1,x,2,=,u,1,J,0 1,k,J,B,J,x,1,x,2,+,x,1,x,2,0,B,K,T,B,：粘性阻尼系数。,K,：扭转轴的刚性系数。,T,：施加于扭转轴上的力矩。：转动的角度。,解：设扭转轴的转动角度,及其角速度为状态变量。,1,.,3,.3,由系统的微分方程建立状态空间表达式,1,、输入函数不包含导数项时,设系统的微分方程：,y,（,n,）,+a,1,y,（,n,1,）,+,a,n,1,y+a,n,y=b,u,变换为：,X,=AX+BU,Y=CX,设,y,、,y,y,（,n,1,）,为系统的状态变量。,令：,x,1,=y,x,2,=y,x,n,1,=,y,（,n,2,）,x,n,=,y,（,n,1,）,系统状态方程：,x,1,=,x,2,x,2,=,x,3,x,n,1,=,x,n,x,n,=y,（,n,）,=,a,1,x,n,a,2,x,n,1,a,n,x,1,+b,u,1,.,3,.3,由系统的微分方程建立状态空间表达式,1,、输入函数不包含导数项时,系统状态方程：,x,1,=,x,2,x,2,=,x,3,x,n,1,=,x,n,x,n,=y,（,n,）,=,a,1,x,n,a,2,x,n,1,a,n,x,1,+b,u,y,=,x,1,=,0 1 0,0,x,1,x,2,x,n,u,0,x,1,x,2,+,x,1,x,2,0,x,n,0,b,0 0 1,0,a,n,a,n,1,a,n,2,a,1,y,=,x,1,1,.,3,.3,由系统的微分方程建立状态空间表达式,y,=,10,0,x,1,x,2,x,1,x,2,x,n,a,3,a,2,a,1,x,1,x,2,x,3,=,u,0 1 0,+,x,1,x,2,x,3,0,0,6,0 0 1,6,11,5,y,=,1 0 0,x,1,x,2,x,3,例：将,y+5y+11y+6y=6,u,变换为状态空间表达式,2,、输入函数包含导数项时,设系统的微分方程：,y,（,n,）,+a,1,y,（,n,1,）,+,a,n,1,y+a,n,y=b,0,u,（,n,）,+b,1,u,（,n,1,）,+,b,n,1,u,+b,n,u,设：,y+a,1,y+a,2,y+a,3,y=b,0,u+,b,1,u+,b,2,u+,b,3,u,状态空间表达式,x,1,x,2,x,3,=,u,0 1 0,+,x,1,x,2,x,3,c,1,c,2,c,3,0 0 1,a,3,a,2,a,1,选择待定系数,c,1,、,c,2,、,c,3,使状态方程中不含导数项,2,、输入函数包含导数项时,x,1,x,2,x,3,=,u,0 1 0,+,x,1,x,2,x,3,c,1,c,2,c,3,0 0 1,a,3,a,2,a,1,x,1,=,x,2,+c,1,u,x,2,=,x,3,+c,2,u,x,3,=,a,3,x,1,a,2,x,2,a,1,x,3,+c,3,u,将上式展开：,求,c,1,、,c,2,、,c,3,2,、输入函数包含导数项时,令：,y=,x,1,+c,0,u,（,1,）,x,1,=,x,2,+c,1,u,x,2,=,x,3,+c,2,u,x,3,=,a,3,x,1,a,2,x,2,a,1,x,3,+c,3,u,y=,x,1,+c,0,u=x,2,+c,1,u+,c,0,u,（,2,）,y=,x,2,+c,1,u+,c,0,u=x,3,+c,2,u+,c,1,u+,c,0,u,（,3,）,y=,x,3,+c,2,u+,c,1,u+,c,0,u,=,a,3,x,1,a,2,x,2,a,1,x,3,+c,3,u,+c,2,u+,c,1,u+,c,0,u,（,4,）,a,1,（,3,）,+a,2,（,2,）,+a,3,（,1,）,+,（,4,）,即：,y+a,1,y+a,2,y+a,3,y=b,0,u+,b,1,u+,b,2,u+,b,3,u,左式,=c,0,u+,(c,1,+a,1,c,0,),u,+(c,2,+a,1,c,1,+a,2,c,0,),u+,(c,3,+a,1,c,2,+a,2,c,1,+a,3,c,0,),u,2,、输入函数包含导数项时,y+a,1,y+a,2,y+a,3,y=b,0,u+,b,1,u+,b,2,u+,b,3,u,左式,=c,0,u+,(c,1,+a,1,c,0,),u,+(c,2,+a,1,c,1,+a,2,c,0,),u+,(c,3,+a,1,c,2,+a,2,c,1,+a,3,c,0,),u,比较系数得：,c,0,=b,0,c,1,=b,1,a,1,c,0,c,2,=b,2,a,1,c,1,a,2,c,0,c,3,=b,3,a,1,c,2,a,2,c,1,a,3,c,0,对于,n,阶系统：,c,n,=b,n,a,1,c,n,1,a,2,c,n,2,a,i,c,n,i,a,n,c,0,2,、输入函数包含导数项时,求系统的状态变量,y=,x,1,+c,0,u,（,1,）,y=,x,1,+c,0,u=x,2,+c,1,u+,c,0,u,（,2,）,y=,x,2,+c,1,u+,c,0,u=x,3,+c,2,u+,c,1,u+,c,0,u,（,3,）,x,1,=,y,c,0,u,（,1,）,x,2,=y,c,1,u,c,0,u,（,2,）,x,3,=y,c,2,u,c,1,u,c,0,u,（,3,）,因为：,所以：,状态变量是由,y,、,u,及它的各价导数组成。,解：,c,0,=0,a,3,a,2,a,1,例：将,y+4y+2y+y=,u+u+,3,u,变换为状态空间表达式,b,1,b,2,b,3,b,0,=0,c,1,=b,1,a,1,c,0,=1,40=1,c,2,=b,2,a,1,c,1,a,2,c,0,=1,41=3,c,3,=b,3,a,1,c,2,a,2,c,1,a,3,c,0,=3,4,（,3,）,21=13,x,1,x,2,x,3,=,u,0 1 0,+,x,1,x,2,x,3,1,3,13,0 0 1,1,2,4,y=,x,1,作业：,1-1,试求系统的模拟结构图，并建立状态空间表达式。,k,1,T,1,S+1,k,2,S,u,y,+,1,T,2,S+1,+,1,S,1-2,将,y,+2,y,+4,y,+6,y,=2,u,变换为状态空间表达式。,1-3,将,变换为状态空间表达式。,1-3,试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表,达式。设转动惯量为,J,。,B,K,T,B,：粘性阻尼系数。,K,：扭转轴的刚性系数。,T,：施加于扭转轴上的力矩。：转动的角度。,1,.,3,.4,由系统传递函数建立状态空间表达式,已知系统的传递函数,U(S),Y(S),=G,(S)=,b,0,S,n,+b,1,S,n,1,+,b,n,1,S+b,n,a,0,S,n,+a,1,S,n,1,+,a,n,1,S+a,n,G,(S)=,b,1,S,n,1,+,b,2,S,n,2,+,b,n,1,S+b,n,S,n,+a,1,S,n,1,+,a,n,1,S+a,n,+d,=G(S)+d,化为真分式：,输出与输入之间的直接传递关系,首先讨论,G(S),1,.,3,.4,由系统传递函数建立状态空间表达式,b,1,S,n,1,+,b,2,S,n,2,+,b,n,1,S+b,n,S,n,+a,1,S,n,1,+,a,n,1,S+a,n,G(S)=,1,、,G(S),特征方程的,n,个极点互异,用部分分式法,G(S)=,k,1,S,S,1,+,+,k,2,S,S,2,+,k,n,S,S,n,S,1,、,S,2,、,S,n,：特征方程的极点,k,1,、,k,2,、,k,n,：待定系数,k,i,=Lim,(S,S,i,)G(S),S,S,i,Lim(S,S,i,),S,S,i,k,1,S,S,1,+,+,k,2,S,S,2,+,k,n,S,S,n,因为,k,i,=,1,.,3,.4,由系统传递函数建立状态空间表达式,设第,i,个状态变量的拉氏变换为,x,i,(S,)=,1,S,S,i,U(S),(S,S,i,)x,i,(S,)=,U(S),Sx,i,(S)=,S,i,x,i,(S,)+,U(S),由拉氏反 变换得状态方程：,x,i,(t)=,S,i,x,i,(t,)+,u,x,1,(t)=,S,1,x,1,(t,)+,u,x,2,(t)=,S,2,x,2,(t,)+,u,x,i,(t)=,S,i,x,i,(t,)+,u,x,n,(t)=,S,n,x,n,(t,)+,u,1,.,3,.4,由系统传递函数建立状态空间表达式,求输出方程：,G(S)=,k,1,S,S,1,+,+,k,2,S,S,2,+,k,n,S,S,n,=k,1,x,1,(S,)+,k,2,x,2,(S,)+,k,n,x,n,(S,),y(t)=k,1,x,1,(t,)+,k,2,x,2,(t,)+,k,n,x,n,(t,),y(t),=k,1,x,1,(t,)+,k,2,x,2,(t,)+,k,n,x,n,(t,)+d,u,计入,d,的影响,Y(S)=,k,1,S,S,1,+,+,U(S)+,k,2,S,S,2,U(S),k,n,S,S,n,U(S),1,.,3,.4,由系统传递函数建立状态空间表达式,矩阵形式：,y(t),=k,1,x,1,(t,)+,k,2,x,2,(t,)+,k,n,x,n,(t,)+d,u,x,1,(t)=,S,1,x,1,(t,)+,u,x,2,(t)=,S,2,x,2,(t,)+,u,x,i,(t)=,S,i,x,i,(t,)+,u,=,S,1,0 0,0,x,1,x,2,x,n,u,1,x,1,x,2,+,x,1,x,2,1,x,n,1,1,0 S,2,0,0,0,0,0,S,n,y,=,k,1,k,2,k,n,x,1,x,2,x,1,x,2,x,n,对角线标准形,+d,u,1,.,3,.4,由系统传递函数建立状态空间表达式,信号流图：,x,1,x,1,k,1,S,1,x,n,x,n,k,n,S,n,y(t),=k,1,x,1,(t,)+,k,2,x,2,(t,)+,k,n,x,n,(t,)+d,u,x,i,(t)=,S,i,x,i,(t,)+,u,x,2,x,2,k,2,S,2,u,1,1,1,1,1,1,y,d,例：已知系统传递函数为：,G(S)=,2S+1,S,3,+7S,2,+14S+8,试用部分分式法写出状态空间表达式。,解：由,S,3,+7S,2,+14S+8=0,求得：,S,1,=,1,、,S,2,=,2,、,S,3,=,4,则,G(S)=,k,1,S,+1,+,k,2,S,+2,+,k,3,S,+4,k,1,=Lim(S,+1,)G(S)=Lim(S,+1,),S,1,S,1,2S+1,(S+1)(S+2)(S+4),=,1,3,k,2,=Lim(S,+2,)G(S)=Lim(S,+2,),S,2,S,2,2S+1,(S+1)(S+2)(S+4),=,3,2,k,3,=Lim(S,+4,)G(S)=Lim(S,+4,),S,4,S,4,2S+1,(S+1)(S+2)(S+4),=,7,6,x,1,x,2,x,3,=,u,1,0 0,+,x,1,x,2,x,3,1,1,1,0,2,0,0,0,4,y=,x,1,x,2,x,3,1,3,3,2,7,6,x,1,x,1,1,x,3,x,3,4,x,2,x,2,2,u,1,1,1,1,1,1,y,1,3,3,2,6,7,1,.,3,.4,由系统传递函数建立状态空间表达式,2,、,G(S),特征方程有相重极点,设系统有,5,个特征根：,S,1,、,S,1,、,S,1,、,S,4,、,S,5,。,G(S)=,k,11,(S,S,1,),3,+,k,12,(S,S,1,),2,+,k,5,S,S,5,k,13,(S,S,1,),+,k,4,S,S,4,+,K,ij,=Lim,1,(j,1)!,S,S,1,d,j,1,G(S)(S,S,1,),m,dS,j,1,重极点系数：,单极点系数：,k,i,=Lim,(S,S,i,)G(S),S,S,i,m,：重极点的个数,1,.,3,.4,由系统传递函数建立状态空间表达式,2,、,G(S),特征方程有相重极点,x,1,(S)=,1,(SS,1,),3,U(S),设状态变量的拉氏变换为,x,2,(S)=,1,(SS,1,),2,U(S),x,3,(S)=,1,(SS,1,),U(S),x,4,(S)=,1,(SS,4,),U(S),x,5,(S)=,1,(SS,5,),U(S),则：,x,1,(S)=,1,(SS,1,),x,2,(S),x,2,(S)=,1,(SS,1,),x,3,(S),x,3,(S)=,1,(SS,1,),U(S),1,.,3,.4,由系统传递函数建立状态空间表达式,2,、,G(S),特征方程有相重极点,x,4,(S)=,1,(SS,4,),U(S),x,5,(S)=,1,(SS,5,),U(S),x,1,(S)=,1,(SS,1,),x,2,(S),x,2,(S)=,1,(SS,1,),x,3,(S),x,3,(S)=,1,(SS,1,),U(S),整理后得：,Sx,1,(S)=,S,1,x,1,(S,)+,x,2,(S),Sx,2,(S)=,S,1,x,2,(S,)+,x,3,(S),Sx,3,(S)=,S,1,x,3,(S,)+,U(S),Sx,4,(S)=,S,4,x,4,(S,)+,U(S),Sx,5,(S)=,S,5,x,5,(S,)+,U(S),1,.,3,.4,由系统传递函数建立状态空间表达式,2,、,G(S),特征方程有相重极点,取拉氏反 变换，得系统状态方程：,Sx,1,(S)=,S,1,x,1,(S,)+,x,2,(S),Sx,2,(S)=,S,1,x,2,(S,)+,x,3,(S),Sx,3,(S)=,S,1,x,3,(S,)+,U(S),Sx,4,(S)=,S,4,x,4,(S,)+,U(S),Sx,5,(S)=,S,5,x,5,(S,)+,U(S),x,1,(t)=,S,1,x,1,(t,)+,x,2,(t,),x,4,(t)=,S,4,x,4,(t,)+,u,x,2,(t)=,S,1,x,2,(t,)+,x,3,(t,),x,3,(t)=,S,1,x,3,(t,)+,u,x,5,(t)=,S,5,x,5,(t,)+,u,1,.,3,.4,由系统传递函数建立状态空间表达式,2,、,G(S),特征方程有相重极点,x,1,(t)=,S,1,x,1,(t,)+,x,2,(t,),x,4,(t)=,S,4,x,4,(t,)+,u,x,2,(t)=,S,1,x,2,(t,)+,x,3,(t,),x,3,(t)=,S,1,x,3,(t,)+,u,x,5,(t)=,S,5,x,5,(t,)+,u,=,S,1,1 0 0 0,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,u,+,0,0,1,1,1,0 S,1,1 0 0,0,0,0 0 S,5,0 0 S,1,0 0,0 0 0 S,4,0,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,系统状态方程：,约当标准形,2,、,G(S),特征方程有相重极点,Y(S)=,+,k,11,(S,S,1,),3,U(S)+,k,5,S,S,5,U(S),k,13,(S,S,1,),U(S)+,k,12,(S,S,1,),2,U(S)+,k,4,S,S,4,U(S),=k,11,x,1,(S,)+,k,12,x,2,(S,)+,k,13,x,3,(S,)+,k,4,x,4,(S,)+,k,5,x,5,(S,),x,2,(S)=,1,(SS,1,),2,U(S),x,3,(S)=,1,(SS,1,),U(S),x,4,(S)=,1,(SS,4,),U(S),x,5,(S)=,1,(SS,5,),U(S),x,1,(S)=,1,(SS,1,),3,U(S),求输出方程：,1,.,3,.4,由系统传递函数建立状态空间表达式,2,、,G(S),特征方程有相重极点,Y(S)=k,11,x,1,(S,)+,k,12,x,2,(S,)+,k,13,x,3,(S,)+,k,4,x,4,(S,)+,k,5,x,5,(S,),y(t),=k,11,x,1,(t,)+,k,12,x,2,(t,)+,k,13,x,3,(t,)+,k,4,x,4,(t,)+,k,5,x,5,(t,),系统输出方程：,y,=,k,11,k,12,k,13,k,4,k,5,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,1,.,3,.4,由系统传递函数建立状态空间表达式,y(t),=k,11,x,1,(t,)+,k,12,x,2,(t,)+,k,13,x,2,(t,)+,k,4,x,4,(t,)+,k,5,x,5,(t,),x,1,(t)=,S,1,x,1,(t,)+,x,2,(t,),x,4,(t)=,S,4,x,4,(t,)+,u,x,2,(t)=,S,1,x,2,(t,)+,x,3,(t,),x,3,(t)=,S,1,x,3,(t,)+,u,x,5,(t)=,S,5,x,5,(t,)+,u,信号流图：,x,5,x,5,S,5,x,4,x,4,S,4,u,k,4,1,1,1,x,3,x,3,S,1,1,k,5,y,x,2,x,2,S,1,1,x,1,x,1,S,1,k,11,k,12,k,13,例：已知系统传递函数为：,G(S)=,4S,2,+17S+16,S,3,+7S,2,+16S+12,试用部分分式法写出状态空间表达式。,解：由,S,3,+7S,2,+16S+12=0,求得：,S,1,=,2,、,S,2,=,2,、,S,3,=,3,则,G(S)=,k,11,(S,+2),2,+,k,12,S,+2,+,k,3,S,+3,(S+2),2,(S+3)=0,K,ij,=Lim,1,(j,1)!,S,S,1,d,j,1,G(S)(S,S,1,),m,dS,j,1,G(S)=,k,11,(S,+2),2,+,k,12,S,+2,+,k,3,S,+3,S,2,K,11,=Lim,1,(1,1)!,G(S)(S,+2),2,K,ij,=Lim,1,(j,1)!,S,S,1,d,j,1,G(S)(S,S,1,),m,dS,j,1,K,12,=Lim,1,(2,1)!,S,2,d,2,1,G(S)(S,+2),2,dS,2,1,1,(2,1)!,S,2,d,4S,2,+17S+16,dS (S+3),K,12,=Lim,=3,=Lim,S,2,(S+2),2,(S+3),4S,2,+17S+16,(S,+2),2,=2,k,3,=Lim,(S,+3,)G(S),S,3,=Lim,4S,2,+17S+16,(S,+2),2,S,3,=1,x,1,x,2,x,3,=,u,2,1 0,+,x,1,x,2,x,3,0,1,1,0,2,0,0,0,3,(S+2),2,(S+3),4S,2,+17S+16,G(S)=,y=,x,1,x,2,x,3,2 3 1,信号流图或结构图？,作业,1-4,已知系统传递函数为：,S,2,+S+1,S,3,+6S,2,+11S+6,试用部分分式法写出状态空间表达式，画出系统的,模拟结构图或信号流图。,1.3.1,由系统方框图建立状态空间表达式,1.3.2,由系统的工作机理建立状态空间表达式,1.3.3,由系统的微分方程建立状态空间表达式,1.3.4,由系统传递函数建立状态空间表达式,1,.,4,状态方程的线性变换,特征矢量线性变换法，把状态方程化为对角线标准形,或约当标准形。,1,.,4,.1,系统状态的线性变换,设：,X=,x,1,x,2,x,3,x,n,T,X=,x,1,x,2,x,3,x,n,T,X=,x,1,x,2,x,3,x,n,T,它们之间的线性变换：,X=P,1,X,X=PX,P,：,n,n,非奇异变换阵,已知线性系统为：,X,=AX+BU,Y=CX+DU,X=PX,令：,X=PX,代入状态方程,Y=CPX+DU,PX=APX+BU,X=P,1,APX+P,1,BU,Y=CPX+DU,1,.,4,.1,系统状态的线性变换,X=P,1,APX+P,1,BU,Y=CPX+DU,PX=APX+BU,Y=CPX+DU,Y=CX+DU,X=AX+BU,式中,A=P,1,AP B=P,1,B C=CP D=D,1,.,4,.2,系统的特征值,1,、特征值及特征矢量,AP=,P,A,的特征值,P,AP=0,(,I,A,)P,=0,有非零解的必要条件：,|,I,A,|,=0,A,的特征方程,1,.,4,.2,系统的特征值,|,I,A,|,=,n,+a,1,n,1,+a,n,1,+,a,n,求得,A,的特征值：,1,、,2,、,n,Ap,i,=,i,p,i,对应于,i,的一个特征矢量,由全部,所对应的特征矢量：,P=p,1,p,2,p,i,p,n,=,p,11,p,12,.p,1n,p,21,p,22,.P,2n,.,P,n1,P,n2,.p,nn,线性变换阵,2,、特征值不变性,特征多项式,经线性变换后，其特征值不变。,|,I,A,|,2,、特征值不变性,X,=AX+BU,对于,X=AX+BU,对于,|,I,A,|,A=P,1,AP B=P,1,B,|,I,A,|,=|,I,A,|,证明：,|,I,A,|,=,|,I,P,1,AP,|,=,|,P,1,P,P,1,AP,|,|,P,1,(,I,A),P,|=|,P,1,|,I,A,|,P,|,=|,P,1,|,P,|,I,A,|,所以：,=,1,.,4,.3,化状态方程为对角线标准形,设,X,=AX+BU,，若,A,的特征值,1,、,2,、,n,互异，,则必存在非奇异变换阵,P,，使其进行,X=PX,的变换后，其,状态方程,X=AX+BU,将为对角线标准形，即,1,0 0,0,0,2,0,0,0,0,0,n,A=,且,P=p,1,p,2,p,i,p,n,=,p,11,p,12,.p,1n,p,21,p,22,.P,2n,.,P,n1,P,n2,.p,nn,A=P,1,AP,B=P,1,B,C=CP,D=D,X=P,1,X,设：,A,的特征值：,1,、,2,、,n,特征矢量：,p,1,p,2,p,i,p,n,证明,A=P,1,AP,1,0 0,0,0,2,0,0,0,0,0,n,A=,证明：,X=P,1,APX+P,1,BU,X=AX+BU,若,P,i,是对应于,i,的一个特征矢量,则必满足,(,i,I,A)p,i,=0,Ap,2,=,2,p,2,Ap,i,=,i,p,i,Ap,1,=,1,p,1,证明：,Ap,2,=,2,p,2,Ap,i,=,i,p,i,Ap,1,=,1,p,1,Ap,i,=,i,p,i,Ap,n,=,n,p,n,写成矩阵形式：,Ap,1,Ap,2,A,p,i,Ap,n,=,1,p,1,2,p,2,i,p,i,n,p,n,Ap,1,p,2,p,i,p,n,=,1,p,1,2,p,2,i,p,i,n,p,n,AP=p,1,p,2,p,i,p,n,1,0 0,0,0,2,0,0,0,0,0,n,1,.,4,.3,化状态方程为对角线标准形,1,0 0,0,0,2,0,0,0,0,0,n,=P,证明：,AP=p,1,p,2,p,i,p,n,1,0 0,0,0,2,0,0,0,0,0,n,A=P,1,AP,1,0 0,0,0,2,0,0,0,0,0,n,=,证毕,例：试将状态方程,变换为对角线标准形。,x,1,x,2,x,3,=,u,0,1,1,+,x,1,x,2,x,3,0,0,1,6,11,6,6 11 5,解：,(1),求系统特征值,|,I,A,|,=,0,1,1,6,11,6,6 11 5,0,0,0,0,0 0,=,1,1,6,+11,6,6,11,5,|,I,A,|,=,1,1,6,+11,6,6,11,5,=,3,+6,2,+11+6=0,(,+1)(,+2),(,+3)=0,(2),求特征矢量,对应于,1,=,1,的特征矢量为,p,1,，,Ap,1,=,1,p,1,0,1,1,6,11,6,6 11 5,p,11,p,21,p,31,=,p,11,p,21,p,31,p,21,p,31,=,p,11,6p,11,11 p,21,+6p,31,=,p,21,6p,11,11 p,21,+5p,31,=,p,31,p,21,p,31,=,p,11,6p,11,10 p,21,+6p,31,=0,6p,11,11 p,21,+6p,31,=0,可以看出：,p,21,=0,p,11,=p,31,令,p,11,=1,p,31,=1,求得：,1,=,1,、,2,=,2,、,3,=,3,同理，将,2,=,2,、,3,=,3,分别代入,Ap,2,=,2,p,2,Ap,3,=,3,p,3,求得：,1,0,1,=,p,11,p,21,p,31,p,1,=,1,2,4,=,p,12,p,22,p,32,p,2,=,1,6,9,=,p,13,p,23,p,33,p,3,=,变换阵,P=p,1,p,2,p,3,=,3,5/2,1,3,4 3,1 3/2 1,P,1,=,1,1 1,0,2,6,1 4 9,A=P,1,AP,则,=,1,0 0,0,2,0,0 0 ,3,B=P,1,B,=,2,3,1,A=P,1,AP,则,=,1,0 0,0,2,0,0 0 ,3,B=P,1,B,=,2,3,1,=,+,x,1,x,2,x,3,x,1,x,2,x,3,1,0 0,0,2,0,0 0 ,3,2,3,1,u,1,.,4,.4,化状态方程为约当标准形,当,A,有相重特征值时；,1,、,A,的线性独立特征矢量数,等于,它的阶数,n,，这时,A,仍可以化为,对角线标准形,；,2,、,A,的线性独立特征