线性代数第13讲.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数第13讲,1,3.4 线性方程组解的结构,2,对于线性方程组(3.1),当,r,(,A,b,)=,r,(,A,)=,r,n,时,A,中不为零的,r,阶子式所含的,r,个列以外的,n,-,r,个列对应的未知量称为自由未知量;当,r,m,时,A,中不为零的,r,阶子式所含的,r,个行所对应的,r,个方程以外的,m,-,r,个方程是多余的,可删去而不影响(3.1)的解.又,r,(,A,b,)=,r,(,A,)=,r,n,时,(3.1)有无穷多个解,为什么(3.8)代表了它的全部解?下面我们来讨论与这一问题有关的方程组解的结构.,3,(一)齐次线性方程组解的结构,齐次线性方程组(3.9)的矩阵形式为,Ax,=,o,其中,4,(2),如果,v,是齐次线性方程组(3.9)的解,则,c,v,也是它的解(,c,是常数).,证:,由,Av,=,o,得,A,(,c,v,)=,c,(,Av,)=,c,o,=,o,(3),如果,v,1,v,2,v,s,都是齐次线性方程组(3.9)的解,则其线性组合,c,1,v,1,+,c,2,v,2,+,c,s,v,s,也是它的解.其中,c,1,c,2,c,s,都是任意常数.,6,由此可知,如果一个齐次线性方程组有非零解,则它就有无穷多解,这无穷多解就构成了一个,n,维向量组.如果我们能求出这个向量组的一个极大无关组,就能用它的线性组合来表示它的全部解.,定义3.9,如果,v,1,v,2,v,s,是齐次线性方程组(3.9)的解向量组的一个极大无关组,则称,v,1,v,2,v,s,是方程组(3.9)的一个,基础解系,.,7,定理3.12,如果齐次线性方程组(3.9)的系数矩阵,A,的秩,r,(,A,)=,r,n,则方程组的基础解系存在,且每个基础解系中,恰含有,n,-,r,个解.,8,即方程组(3.9)与下面的方程组同解:,其中,x,r,+1,x,r,+2,x,n,为自由未知量.,对,n,-,r,个自由未知量分别取,10,可得方程组(3.9)的,n,-,r,个解.,现在来证明,v,1,v,2,v,n,-,r,就是方程组(3.9)的一个基础解系.,11,则,K,有,n,-,r,阶子式,即,r,(,K,)=,n,-,r,.,所以,v,1,v,2,v,n,-,r,线性无关.,13,所以,15,16,例1.,求如下齐次线性方程组的一个基础解系.,解:,对系数矩阵,A,施以初等变换,18,19,即原方程组与下面方程组,同解,其中,x,3,x,4,为自由未知量.,20,21,例2,.用基础解系表示如下线性方程组的全部解.,解:,m,=4,n,=5,m,n,因此方程组有无穷多解.对系数矩阵,A,施以初等行变换.,22,即原方程组与方程组,同解,其中,x,3,x,4,x,5,为自由未知量.,24,25,v,1,v,2,v,3,就是所给方程组的一个基础解系.因此,方程组的全部解为,其中,c,1,c,2,c,3,为任意常数.,26,因为,r,(,A,)=,r,所以方程组,Ax,=,o,的任一基础解系所含向量个数为,n,-,r,个.由此可得,r,(,B,)=,r,(,a,1,a,2,a,s,),n,-,r,28,(二)非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组(3.1)可以表示为,Ax,=,b,取,b,=,o,得到的齐次线性方程组,Ax,=,o,称为非齐次线性方程组,Ax,=,b,的导出组.,29,(2),如果,u,1,u,2,是非齐次线性方程组的两个解,则,u,1,-,u,2,是其导出组的解.,证:,由,Au,1,=,b,Au,2,=,b,及,A,(,u,1,-,u,2,)=,Au,1,-,Au,2,=,b,-,b,=,o,即,u,1,-,u,2,为导出组的解.,定理3.13,如果,u,1,是非齐次线性方程组的一个解,v,是其导出组的全部解,则,u,=,u,1,+,v,是非齐次线性方程组的全部解.,31,证:,由性质(1)知道,u,1,加上其导出组的一个解仍是非齐次线性方程组的一个解,所以只需证明,非齐次线性方程组的任意一个解,u,*,一定是,u,1,与其导出组某一个解,v,1,的和.取,v,1,=,u,*,-,u,1,由性质(2),v,1,是导出组的一个解,于是得到,u,*=,u,1,+,v,1,即非齐次线性方程组的任意一个解,都是其一个解,u,1,与其导出组某一个解的和.,32,由此定理可知,如果非齐次线性方程组有解,则只需求出它的一个解,u,1,并求出其导出组的基础解系,v,1,v,2,v,n,-,r,则其全部解可以表示为,u,=,u,1,+,c,1,v,1,+,c,2,v,2,+,c,n,-,r,v,n,-,r,如果非齐次线性方程组的导出组仅有零解,则该非齐次线性方程组只有一个解,如果其导出组有无穷多个解,则它也有无穷多个解.,33,例.,用基础解系表示如下线性方程组的全部解.,34,解:,作方程组的增广矩阵(,A b,),并对它施以初等行变换:,35,即原方程组与方程组,同解,其中,x,3,x,4,为自由未知量.,36,37,原方程组的导出组与方程组,同解,其中,x,3,x,4,为自由未知量.,38,39,因此所给方程组的通解为,其中,c,1,c,2,为任意常数.,40,对照,41,验算:,42,作业 习题三(A)第161页开始第18题，第21题，第22题，第23题,43,