数学物理方法第八章------分离变量法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本章基本要求,掌握有界弦的自由振动解及其物理意义,着重掌握分离变量法的解题思路、,解题步骤及其核心问题,-,本征值问题,掌握非齐次方程的本征函数展开法,掌握非齐次边界条件齐次化的方法,1,本章中心内容,用分离变量法求解各种有界问题,第八章 分离变量法,分离变量法核心：,本章考虑问题,（,1,）,混合问题（,2,）边值问题,本章层次：,2,偏微分方程常微分方程,齐次方程,+,齐次边界条件,非齐次方程,+,齐次边界条件,非齐次方程,+,非齐次边界条件,这个定解问题的,特点,是：偏微分方程是,线性奇次,的，边界条件也是,奇次,的。,定解问题,解：,泛定方程：,边界条件：,初始条件：,3,研究两端固定的弦的自由振动,定解问题,1,（第一类齐次边界条件）,由前面思路，设,8.1,有界弦的自由振动,x,t,是相互独立的变量,（求非零解）,1,、,分离变量,代入方程中，,分离过程：,得出两个常微分方程：,代入边界条件：,4,高数中结论：,2,、,求解本征值问题,5,若有二阶常系数线性齐次方程,其中,p,、,q,为常数，则特征方程为,固得到下面一族解：,A,、,B,是积分常数,3,、,解出时间函数，得到一族解,时间函数解,8,解方程,n,=,1,2,3,代入初始条件，有,利用叠加原理！,9,4,、,通过初始条件，求出通解,此时要满足初始条件，则,10,则定解问题的最终解为,11,（,4,）确定级数解中的待定常数（利用初始条件）,6,、分离变量法概要：,（,1,）将偏微分方程化简为常微分方程（,U=XT,),（,2,）确定固有值和固有函数（利用边界条件）,（,3,）确定形式解（级数形式解）,12,13,例：求解,（第二类齐次边界条件）,解：,设,14,此时边界条件为：,相应的,特征值问题,为：,此时,X,（,x,）,=0,，只有零解，不合题意；,(1),15,同样只有零解，不合题意；,(2),非零解,(3),16,则特征解为,将特征值代入,T,（,t,）的方程，解出,则,u,（,x,，,t,）的特解族为,同样很难满足初始条件，由叠加原理得,17,此时要满足初始条件，有,18,故定解问题的最终解为,注意本征函数问题：,泛定方程,边界条件,本征值问题,本征值,本征函数,k=1,2,3,k=0,1,2,3,21,k=0,1,2,3,k=0,1,2,3,22,研究一根弦在两端固定的情况下，受强迫力作用所产生的振动现象。,即考虑下列定解问题：,8.2,非奇次方程的解法,23,设解为：,初始状态原因,（零输入）,外力原因,（零状态）,24,（零输入响应）,（零状态响应）,25,对,V,（,x,，,t,），可直接用前面的变量分类法求出：,26,对,W,（,x,，,t,），,如何求？,27,28,2.5,非齐次边界条件的处理,设有定解问题,边界条件非齐次，若用前面方法分离变量，由边界条件,没有办法得到只与某个常微分方程有关的具体边界函数值。,怎么办？！,想办法把边界条件化为齐次！,设法作一代换将边界条件化为齐次的，令,所以要求：,选取,W(x,t),使,V(x,t),的边界条件化为齐次的，即,一般这样的函数是很容易找到的，最简单的如选取关于,x,的线性函数：,代入,w,（,x,，,t,）,要满足的边界条件，可求出：,此时关于,V,的定解问题为,因此只要做如下代换，,V,将满足齐次边界条件。,其中,关于,V,（,x,，,t,）的问题即前述非齐次方程、齐次边界条件问题。,当边界条件不同时，方法一致（关键在与,w,（,x,，,t,）的选取），,W,（,x,，,t,）的形式不同。,常用的最简单的,w,（,x,，,t,）形式,通过上式可以求出,W,（,x,）的形式。,注：若,f,，,u,1,，,u,2,都与,t,无关，则可选取,W,（,x,）（与,t,无关），,使,V,（,x,，,t,）同时满足齐次方程和齐次边界条件，此时,W,（,x,）需满足：,此时,u,（,x,，,t,）,=V,（,x,，,t,）,+W,（,x,），,则,V,（,x,，,t,）,满足,本章小结,分离变量法核心：偏微分方程常微分方程,（,1,）基础,齐次方程,+,齐次边界条件,（直接变量分离法求解）,（,2,）复杂化,非齐次方程,+,齐次边界条件,分解为,齐次方程,+,齐次边界条件,+,非零初始条件（零输入）,（直接变量分离法求解）,非齐次方程,+,齐次边界条件,+,零初始条件（零状态）,（固有函数法求解，设出级数解形式，求时间函数）,（,3,）近一步复杂化,非齐次方程,+,非齐次边界条件,1,）做代换使边界条件齐次；,2,）同（,2,）,综上（,1,）为（,2,）的基础，（,2,）为（,3,）的基础！,