同济大学高等数学第七版1-3函数极限.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节,函数的极限,自变量变化过程的六种形式,:,根据自变量的这种变化过程，本节主要研究以下两种情况：,二、当自变量,x,的绝对值无限增大时，,f,(,x,),的变化趋势，,一、当自变量,x,无限地接近于,x,0,时，,f,(,x,),的变化趋势,一、自变量趋向有限值时函数的极限,这个函数虽在,x,=1,处无定义，但从它的图形上可见，当点从,1,的左侧或右侧无限地接近于,1,时，,f,(,x,),的值无限地接近于,4,，我们称常数,4,为,f,(,x,),当,x,1,时,f,(,x,),的极限。,1,x,y,o,4,怎样用数学语言刻划,问题,无限接近,于确定值,A,？,1.,定义,定义,1,设函数,有,定义,.,记作,或,恒有,在点,x,0,某去心邻域内,注：,(1),定义习惯上称为极限的,定义其三个要素：,正数,，,正数,，,不等式,(3),与任意给定的正数,有关。,(2),有没有极限，与,在点 是否有定义无关,一般说来,应从不等式,出发,推导出 应小于怎,这个正数就是要找的与 相对应的,这个推导常常是困难的,.,但是,注意到我们不需要找最大的,所以,适当放大些,的式子,变成易于解出,找到一个需要的,找到,就证明完毕,.,可把,样的正数,证,这是证明吗？,非常非常严格！,例,1,例,2,证明,证,于是,恒有,例,3,分析：,函数在点,x,=1,处没有定义,.,但这与函数在该点是否有极限并无关系,证,例,4,证,min,可用,保证,练习,证明,证,由于,要使,解出,只要,可取,有,解不等式,3.,左、右极限,(,单侧极限,),例如,两种情况分别讨论,!,记作,记作,左极限,右极限,使得,时,或,使得,时,或,记作,记作,注,且,此性质常用于判断,分段函数,当,x,趋近于,分段点,时的极限,.,(1),左、右极限均存在,且相等；,(2),左、右极限均存在,但不相等；,(3),左、右极限中至少有一个不存在,.,找找例题！,函数在点,x,0,处的左、右极限可能出现,以下三种情况之一：,例,5.,设函数,讨论,时,的极限是否存在,.,解,:,利用定理,3.,因为,显然,所以,不存在,.,练习,y=f,(,x,),x,O,y,1,1,在,x,=1,处的左、右极限,.,解,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,返回,通过上面演示实验的观察,:,如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限接近”,.,2.,另两种情形,A,x,f,x,=,-,),(,lim,解,显然有,可见,和,虽然都存在,但它们不相等,.,故,不存在,.,例,5,讨论极限 是否存在,?,图形,完全落在,:,的图形的,水平,渐近线,(horizontal asymptote).,则直线,例,6,证,成立,.,由极限的定义可知,:,例,7,证,要使,成立,.,只要,有,解不等式,练习,试证,证,注意,有,为了使,只要使,有,三、函数极限的性质,函数极限与数列极限相比,有类似的性质,定理,1(,极限的唯一性,),有极限,若在自变量的某种变化,趋势下,则极限值必唯一,.,定理,2(,局部有界性,),f,(,x,),有极限,则,f,(,x,),在 上有界,;,f,(,x,),有,极限,且证明方法也类似,.,定理,3(,局部保号性,),证,(1),设,A0,取正数,即,有,自己证,只要取,便可得更强的结论,:,证,(1),也即,(2),自己证,.,定理,3(1),的证明中,不论,定理,证,假设上述论断不成立,那么由,(1),就有,在该邻域内,这与,所以,类似可证 的情形,.,假设,矛盾,若定理,3(2),中的条件改为,必有,不能,!,如,思考,是否,定理,3,定理,3,1.,函数极限的,或,定义,;,2.,函数极限的性质,局部保号性,;,四、小结,唯一性,;,局部有界性,;,3.,函数的左右极限判定极限的存在性,.,