高中数学应用题教学“三读两模”设计的课堂实践——以高三一轮复习中“空间中的测量问题”为例.pdf

数学之友2023年第11期案例分析高中数学应用题教学“三读两模”设计的课堂实践以高三一轮复习中“空间中的测量问题”为例林相（福建省连江第一中学，福建福州，35 0 5 0 0）摘要：结合省级公开课应用题教学设计过程的心得体会，浅谈高中应用题教学“三读两模”设计的具体做法，对解决高中数学应用题教学的瓶颈问题加以感悟，从三个“注重”予以反思，期待让学生的数学学科素养和关键能力有所提升.关键词：应用题；“三读”；“两模”；实践思考如何用所学的数学知识解决现实生产、生活中存在的问题，一直是数学的重点考查要求.近年来,数学模型和数学建模经常被提及,在高中已成为广泛应用的趋势.不仅在普通高中新教材（人教A版2 0 19)必修一建立函数模型解决实际问题（P162-166)中增加了数学建模案例，而且2 0 2 2 年高考数学试卷（全国甲卷理科、全国乙卷理科、全国新高考I卷、全国新高考I卷)中每套都有3道应用题 ,加大了对数学应用、数学建模的考查力度，有力推进了新课标、新课程实施,鲜明地引导着高中数学教学注重数学应用，注重对学生数学建模核心素养的培养.1数学建模活动中的师生行为分析目前,在国内外文献中,很难找到一种能提高学生数学应用题解题能力的有效教学策略，为提高学生的数学应用意识和实践能力，新课标提出了数学建模活动,新教材也增加了数学建模活动的案例,拟将该活动在课内、课外有机结合起来.但在实际教学中,应用题却几乎是所有学生学习的痛点.因此,策略实施起来也比较困难.从学生的角度上看，目前很多学生因为应用题文字叙述多、实际背景陌生等，对其存在恐惧心理.首先，这类学生缺乏耐心和信心，不能专心读题审题；其次，学生生活阅历不够，生产劳动经验缺失，无法理解题意，如无法理解核酸检测、冷链食品等背景；第三，阅读能力偏差，无法抓住题中关键词，不明题意.从教师的角度上看，首先，教师对应用题重视不够,往往为赶进度,蜻蜓点水，一带而过，没有真正提供较充足的时间让学生读题审题建模解模，常常只做讲解，核对答案；其次，教师对应用题的教36_数学之友学方法陈旧，没有借助多媒体、图形等进行过程性引导，教师往往只做自我讲解，学生常常一知半解；再次，教材编写的应用题，一段时间后，未能贴近实际和关注社会热点，落后于时代，学生觉得应用题学习枯燥无味；最后,新应用题（考题）常常伴随新背景，教师自身也未必理解到位,所以也团图吞枣,留下烂尾工程.这是多年来困扰高中数学教学的难题之一,也是使很多考生高考失分多的原因之一。2应用题教学三读两模”设计的思路2.1习题教学要注重“三读”能力培养在应用题课堂教学中，教师一定要引导学生认真读题,要求至少读三遍.第一遍泛读，大概了解题意；第二遍细读，排除没用、干扰的信息，划出关键词，从而明白题意；第三遍精读，实现建模，找到题意与所学知识之间的关联,为解题找到突破口 2 .以上笔者把它简称为“三读”.教学实践证明，这种“三读”的能力培养最好在课堂上或测试中，另外甚至要精选题目很长的应用题.通过学生“三读”和教师点评，慢慢地把学生审题耐心和审题能力培养起来.我们反对按题型分类训练，也反对机械刷题，提倡用一定时间训练“三读”能力培养.2.2课堂互动要注重“两模”能力培养在应用题课堂教学中，教师要重视建模能力和解模能力的培养.通过“三读”读懂题意，我们才能把相关数量与大脑中已有的模型（知识)挂钩，从而用所学的高中知识进行解题.另外，在建模后，必然涉及计算，这就是解模的过程.而且正确计算后，还要检验答案是否满足题意和实际生活情况 3.我把上面这在线段PT上（不含端点，游客从点Q处乘升降电梯数学之友两项过程简称为“两模”在建模过程中，教师一定要让学生自主思考、分析、实践,产生模型意识和反射弧，不能为赶时间,直接提供帮助.要学会放手，让学生动手，教师最多适时点拨 4.同时,计算也是学生的软肋,要求学生亲力亲为，不能包办，只有这样，才能提高解模（计算)能力.3应用题教学“三读两模”设计的案例呈现本案例是笔者在一节省级公开课怎样解数学应用题一以空间中的测量为例的教学设计,体现以“三读两模”设计的课堂路线图.以此为例，可以窥探应用题教学中的课堂实践思考。3.1内容解析空间中的测量问题（距离、高度、角度、三角形的计算），主要是引导学生建立三角形模型，综合运用三角函数知识以及正弦定理、余弦定理等来解决实际问题,把实际问题数学化，以此增强学生的数学应用意识，提高分析和解决实际问题的能力，培养学生的数学建模素养 5 .3.2教学设计I课前热身目前，中国已经建成全球最大的5 G网络，无论是大山深处还是广衰平原,处处都能见到5 G基站的身影.如图1,某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5 G基站AB,已知基站高AB=50m,该同学眼高1.5 m（眼晴到地面的距离）,该同学在初始位置C处(眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37,测得基站顶端A的仰角为45(1）求出山高BE.（2）如图2,当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内）,记该同学所在位置M处（眼晴所在位置)到基站AB所在直线的距离 MD=xm,且记在M处观测基站底部B的仰角为,观测基站顶端A的仰角为.试问当x多大时，观测基站的视角ZAMB最大?参考数据:sin 80.14,s in 37 0.6,s in 45 0.7,sin 1270.8.AB453DHE2023年第11期设计意图：通过学生现场读题建模，使同学们回忆起解三角形的基本流程.第一个问题,提问学生1，他从解RtBD C 人手，设BD=x，在RtA D C 中，DC=AD=50+x,然后在RtBD C 中,利用tan37=览求出,进而求得山高 B;接着追间,大家还有其BD它解法吗？学生2,他从解ABC人手，利用正弦定理求得BC,再利用RtBD C 求得BD,进而求得山高BE.两种解法展示,达到复习初高中解三角形基础知识的目的.第二个问题,求AMB最大，一开始,大部分学生没思路，通过教者启发求最值通常怎么办？进而联想到基本不等式，由LAMB=-,加上两个直角三角形，一部分学生能联想到正切,通过tan（-)和基本不等式公式的运用进行解决.最后，教者让学生3小结,解数学应用题的一般步骤是什么？I回眸经典如图3,树顶A离地面m,树上另一点B离地面bm,在离地面cm的C处看此树,离此树多远时看A,B的视角最大？（详见2 0 0 4人教A版必修五P ioi B2)AB图3设计意图：首先要让学生明白，刚才的问题实际上是来自于课本,所以，一轮复习要重视回归课本.然后教师介绍这是几何史上著名的米勒问题.米勒，德国数学家，147 1年，他向诺德尔教授提出了如下有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大）？此问题载人世界数学史上100个著名极值问题.通过此数学史的介绍，提高学生解应用题的兴趣.I范例解析某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，A如图4所示，矩形PQRS的长PS为130 米，宽RS为B120米,圆弧形轨道所在圆的圆心为0,圆0 与PS，SR,QR分别相切于点A,D,C,且T为PQ的中点.现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成：出发点NDME图1至点N）,轨道第一段NM与圆O相切于点M,再沿图22023.11_37数学之友着圆孤轨道MA到达最高点A，然后在点A处沿垂直轨道急速下降至点O处，接着沿直线轨道OG滑行至地面点G处（设计要求M,O,G三点共线）,最后通过制动装置减速沿水平轨道GR滑行到达终点R.记ZMOT为,轨道总长度为米.（1）试将l表示为的函数l（）,并写出的取值范围.(2）求l最小时cos 的值.APMNTBQ设计意图：通过泛读细读精读，排除干扰，把握关键.（1）利用多媒体展示图形，明确有关量：PS=130,PA=70,PQ=120,R=60,CR=60,ZM0T=LNMF=ZCGO=.（2）问：轨道由哪五段连接成的？（3）追问1:哪一段最难求？（NM怎么求？）（4）追问2：的取值范围怎么求？在课堂上通过教者引导，学生参与思考，自己动手计算，充分展示应用题解决的全过程，做到水到渠成.IV归纳小结设计意图：给予学生一些时间，让他们充分回顾刚才应用题中的解题一般步骤“审题一一建模解模一一验证 要决以及解决过程中要注意的若干问题.V课堂检测（2 0 2 1年全国甲卷理8)2020年12 月8 日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 8 48.8 6（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图5 是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A,B,C满足ZACB=45LABC=60由C点测得B点的仰角为15,BB与CC的差为10 0;由B点测得A点的仰角为45,则A,C两点到水平面ABC的高38_数学之友2023年第11期度差AA-CC约为().(/3 1.732)A.346B.373设计意图：追求现场解决应用题的效果，让学生有一定的紧张感、压迫感和仪式感，使其再次经历应用题的解题全过程，达到训练的目的 6 。4应用题教学三读两模”设计的实践感悟4.1注重消除学生心理障碍和语言障碍在应用题教学中,教师一定要有耐心,选题求质不求量，通过师生不断沟通，化解题意不懂和错误理D解的障碍，引导学生积极参与理解，积极联想构建数学模型，正确运算，不断获得成功喜悦感，从而逐步CGR图4C.446消除学生心理障碍.【例1】（2 0 2 2 年全国新高考【卷T20）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了10 0 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好病例组40对照组10（1）能否有9 9%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人P(BIA)-P(BIA)患有该疾病”P(BIA)P(BIA)不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.A(i）证明:R=（i）利用该调查数据，给出P（A I B）,P（A I B）B的估计值,并利用（i）的结果给出R的估计值.AB图5D.473良好6090的比值是卫生习惯P(AIB),P(AIB)P(AIB)P(AIB)附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K?k)0.0503.841第一个问题考查独立性检验，学生非常熟悉，解决起来没有困难.第二个问题涉及条件概率，学0.0106.6350.00110.828ED数学之友生刚看题目背景很新颖，又是不经常考大题的条件概率，心里有点.通过“三读”，学生能很快按图（已建模）索骥，按照条件概率计算公式找到解决问题的办法。4.2注重生活化应用题的训练高中数学的教材,编写一版往往会用好多年，久而久之,应用题背景往往落后于时代.这与现在应用题（尤其考题）贴近生活实际，关注社会时政热点有悖,而且学生对老掉牙的应用题也不感兴趣.复习教学中,教者要精选一些背景新颖的应用题,把学生兴趣、知识面、能力等培养起来.【例2】（2 0 2 1年北京高考T18为加快新冠病毒检测效率,某检测机构采取“k合1检测法”,即将k个人的拭子样本合并检测,若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的;若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有10 0 人，已知其中两人感染病毒.（1）若采用“10 合1检测法”，且两名感染患者在同一组,求总检测次数.已知10 人分成一组,两名感染患者在同一组1的概率为，求检测次数X的分布列和数学期望11E(X).（2）若采用“5 合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y）,试比较E(X)和E（Y)的大小（直接写出结果）.学生通过“三读”以及自身参加核酸检测的体会，可能在一定时间内，能把题意读懂.“10 合1检测法”,现有10 0 人，检验一遍就得10 次；若两名感染患者在同一组就得检验2 0 次；若两名感染患者不在同一组就得检验30 次.只要理解有一点偏差，下面做出的答案都是错误的.所以,提供生活化应用题，一方面能提高学生学习应用题的兴趣,另一方面,也与当前高考的方向一致，提高学生在真实情境中解决问题的能力.4.3注重发挥图形的辅助作用在高中数学教学中,相当一部分老师和学生对应用题很感冒，在心理上表现出非常不喜欢，而且觉得解题很费时间，得分率也不高，心理阴影面积很大，这也是我们长期解决不好应用题的主要因素之一.因此,在应用题课堂教学中,教师从读题审题到建立模型过程中，往往需要辅助手段，而图形就能起到一定的辅助作用，它能帮助学生正确理解题意，找到解决问题的方法.2023年第11期【例3】（2 0 17 全国卷I理科T16)如图6,圆形纸片的圆心为0,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.且D,E,F为圆O上的点，D BC,E C A，F A B分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC，E C A，F A B,使得D,E,F重合，得到三棱锥.当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm）的最大值为FB图6通过图形,把有关量标在图上，联想已知与所求问题的关系，能更快找到解题思路.在课堂教学中，宜在多媒体上提供较大的图形、彩笔等，让学生展开想象的翅膀，也许解决问题的路径马上出来了.5实践总结要做好高中数学应用题有效教学，教师既要反对反复操练、机械训练某类应用题，也要反对解题方法模式化、套路化 7 .提倡教师给学生一定时间训练解题，强调在“三读两模”的实践，让学生们读懂并正确理解题意,抓住其考查的数学本质、思想、方法，利用其所学的知识建模解模，从而解决学生害怕应用题这一痛点问题参考文献：1】教育部教育考试院.深化高考内容改革加强教考衔接 J.中国考试,2 0 2 2(7):1-6.2方亚斌.一题一课源于世界数学名题的高考题赏析 M.杭州：浙江大学出版社,2 0 17.3林相.建立和求解导数模型提升数学建模素养 J.福建中学数学,2 0 2 2（3）：39-42.4郑建庆“核心素养”视域下提升教学设计能力的实践研究一以椭圆的定义与标准方程教学设计为例J.数学之友,2 0 2 2,36(4):36-37.5吴紫娟.平板电脑在函数教学中应用的课例与反思 J.数学之友,2 0 2 2,36（4）：8 1-8 3.6徐翠萍，孔德宏.2 0 2 1年全国高考数学甲卷理科第21题的解法及变式探究 J.数学之友，2 0 2 2,36（4）：8 7-8 9.7 张倩，沈威.一道中考销售类试题蕴含模型思想的探究 J.数学之友,2 0 2 2,36(5)：5-7.2023.11_39