生物统计与田间试验曲线回归.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十一章 曲线回归,第一节 曲线的类型与特点,第二节 曲线方程的配置,第三节 多项式回归,曲线回归(curvilinear regression)或非线性回归(non-linear regression),：两个变数间呈现曲线关系的回归。,曲线回归分析或非线性回归分析,：以最小二乘法分析曲线关系资料在数量变化上的特征和规律的方法。,曲线回归分析方法的主要内容有：,确定两个变数间数量变化的某种特定的规则或规律；,估计表示该种曲线关系特点的一些重要参数，如回归参数、极大值、极小值和渐近值等；,为生产预测或试验控制进行内插，或在论据充足时作出理论上的外推。,第一节 曲线的类型与特点,一、指数函数曲线,二、对数函数曲线,三、幂函数曲线,四、双曲函数曲线,五、S型曲线,一、指数函数曲线,指数函数方程有两种形式：,图11.1方程 的图象,二、对数函数曲线,对数函数方程的一般表达式为：,图11.2 方程,=,a,+,b,ln,x,的图象,三、幂函数曲线,幂函数曲线指,y,是,x,某次幂的函数曲线，其方程为：,图11.3 方程 的图象,第二节 曲线方程的配置,一、曲线回归分析的一般程序,二、指数曲线方程 的配置,三、幂函数曲线方程的配置,四、Logistic曲线方程的配置,一、曲线回归分析的一般程序,曲线方程配置(curve fitting)：,是指对两个变数资料进行曲线回归分析，获得一个显著的曲线方程的过程。,由试验数据配置曲线回归方程，一般包括以下3个基本步骤：,1根据变数,X,与,Y,之间的确切关系，选择适当的曲线类型。,2对选定的曲线类型，在线性化后按最小二乘法原理配置直线回归方程，并作显著性测验。,3将直线回归方程转换成相应的曲线回归方程，并对有关统计参数作出推断。,表11.1 常用曲线回归方程的直线化方法,应用上述程序配置曲线方程时，应注意以下3点：,(1)若同一资料有多种不同类型的曲线方程配置，需通过判断来选择。统计标准是离回归平方和 最小的当选。,(2)若转换无法找出显著的直线化方程，可采用多项式逼近，,(3),当一些方程无法进行直线化转换，可采用最小二乘法拟合。,二、指数曲线方程 的配置,(111),两边取对数,：,(112),令,，,可得直线回归方程,：,(113),若,与,x,的线性相关系数,：,(114),显著，就可进一步计算回归统计数：,(115),三、幂函数曲线方程 的配置,(116),当,y,和,x,都大于0时可线性化为,：,(117),若令,，,即有线性回归方程,：,(118),若,线性相关系数：,(119),显著，回归统计数：,(1110),四、,Logistic曲线方程的配置,（,a,、,b,、,k,均0）,(1111),K,可由两种方法估计：,如果,y,是累积频率，则显然,k,=100%；,如果,y,是生长量或繁殖量，则可取3对观察值 （,x,1,，,y,1,）、（,x,2,，,y,2,）、和（,x,3,，,y,3,），代入,(1111),得：,若令 ，解得：,移项，取自然对数得：,(1113),(1112),令 ，可得直线回归方程,：,(1114),和,x,的相关系数,：,(1115),回归统计数,a,和,b,由下式估计：,(1116),第三节 多项式回归,一、多项式回归方程,二、多项式回归的假设测验,一、多项式回归方程,(一),多项式回归方程式,多项式回归(polynomial regression),：当两个变数间的曲线关系很难确定时，可以使用多项式去逼近。,二次多项式，其方程为：,(1117),三次多项式的方程式为：,(1118),多项式方程的一般形式为：,(1119),(二),多项式方程次数的初步确定,多项式回归方程取的次数：散点所表现的曲线趋势的峰数谷数。若散点波动较大或峰谷两侧不对称，可再高一次。,(三)多项式回归统计数的计算,可采用类似于多元线性回归的方法求解多项式回归的统计数。,令 ，,，,(1119),可化为：,(1120),可采用矩阵方法求解。即由,和,求得 、和,(),-1,，,并由,b,=(),-1,(),获得相应的多项式回归统计数,。,(四),多项式回归方程的估计标准误,y,的总平方和,SS,y,可分解为回归和离回归两部分：,SS,y,=,U,k,+,Q,k,(1121),k,次多项式的离回归标准误可定义为：,即是多项式回归方程的估计标准误。,(1122),(1123),二、多项式回归的假设测验,多项式回归的,假设测验包括三项内容,：,总的多项式回归关系是否成立？,能否以,k,-1次多项式代替,k,次多项式，即是否有必要配到,k,次式？,在一个,k,次多项式中，,X,的一次分量项、二次分量项、,k,-1次分量项能否被略去(相应的自由度和平方和并入误差)？,(一)多项式回归关系的假设测验,多项式回归(,U,k,)由,X,的各次分量项的不同所引起，具有：。,离回归(,Q,k,)：与,X,的不同无，具有 。,可测验多项式回归关系的真实性。,(1124),相关指数：,，k,次多项式的回归平方,和占,Y,总平方和的比率的平方根值，可用来表示,Y,与,X,的多项式的相关密切程度。,决定系数：在,Y,的总变异中，可由,X,的,k,次多项式说明的部分所占的比率。,(1125),(二),k,次多项式必要性的假设测验,若,k,次多项式的,k,次项不显著，可由（,k-,1）次方程描述,Y,与,X,的曲线关系。,有必要测验多项式增加一次所用去的1个自由度，对于离回归平方和的减少(或回归平方和的增加)是否“合算”。因此由：,(1127),可测验,k,次多项式的适合性。,(三)各次分量项的假设测验,偏回归平方和：,(1128),此 具有 ，故由：,可测验,i,次分量是否显著。,(1129),第十二章 单因素试验的统计分析,第一节 对比法和间比法试验的统计分析,第二节 完全随机和随机区组试验的统计分析,第三节 拉丁方试验的统计分析,第四节 试验处理的合并比较,第一节 对比法和间比法试验的统计分析,一、对比法试验结果的统计分析,二、间比法试验结果的统计分析,一、对比法试验结果的统计分析,百分比法：,设对照(CK)的产量(或其它性状)为100，然后将各处理产量和对照相比较，求出其百分数。但因处理作顺序排列不能估计无偏的试验误差，难以进行假设测验和统计推断。,例12.1 有A、B、C、D、E、F 6个玉米品种的比较试验，设标准品种CK，采用3次重复的对比设计，田间排列在表12.1第1列基础上作阶梯式更替，此处图形从略。小区计产面积40m,2,，所得产量结果列于表12.1，试作分析。,表12.1,首先将各品种在各重复中的小区产量相加，得面积上的产量总和 。然后，将各个 除以重复次数得各小区平均产量。再计算各品种产量对邻近CK产量的百分数：,例如 或,其余品种皆类推。,表12.1 玉米品比试验(对比法)的产量结果分析,总和,平均,品种名称,各重复小区产量(kg),对邻近,CK的%,CK,37.0,36.5,35.5,109.0,36.3,100.0,A,36.4,36.8,34.0,107.2,35.7,98.3,B,38.0,37.0,34.5,109.5,36.5,119.3,CK,31.5,30.8,29.5,91.8,30.6,100.0,C,36.5,35.0,31.0,102.5,34.2,111.7,D,35.2,32.0,30.1,97.3,32.4,106.7,CK,30.6,32.9,27.7,91.2,30.4,100.0,E,28.4,25.8,23.6,77.8,25.9,85.3,F,30.6,29.7,28.3,88.6,29.5,90.4,CK,35.2,32.3,30.5,98.0,32.7,100.0,计算各品种对邻近CK的百分数是为得到一个比较精确的、表示各品种相对生产力的指标。相对生产力100%的品种，其相对生产力愈高，就愈可能显著地优于对照品种。但是决不能认为相对生产力100%，所有品种都是显著地优于对照的。,由于误差的存在，一般田间试验很难察觉处理间差异在5%以下的显著性。对于对比法(以及后面的间比法)的试验结果，要判断某品种的生产力确优于对照，其相对生产力一般至少应超过对照10%以上；,相对生产力仅超过对照5%左右的品种，宜继续试验，再作结论。当然，由于不同试验的误差大小不同，上述标准仅具有参考性质。,在本例，B品种产量最高，超过对照19.3%；C品种占第二位，超过对照11.7%；大体上可以认为它们确是优于对照。D品种占第三位，仅超过对照6.7%；再查看各重复的产量，有两个重复(和)D超过CK，一个重复()D低于CK；因而显然不能作出D品种确优于对照的结论。,作物产量习惯于用每亩产量表示。其折算方法，先算得对照区的总产量。然后将对照区总产量乘以化对照区总产量为亩产量的改算系数,cf,，得到对照的亩产量。,(121)中的,A,是小区计产面积，以m,2,为单位；,n,是小区数目。最后可用各品种的相对生产力乘对照的亩产量，即得各品种的亩产量。,(121),如本例，由表12.1可算得对照区总产量=109.9+91.8+91.2+98.0=390.0(kg)，,cf,=666.67/(1240)=1.3889，所以,对照种亩产量=390.01.3889=541.7(kg),A品种亩产量=541.798.3%=532.5(kg),，依此类推。,本例题的田间排列方法也可以按第二章第五节所提排列，即A，CK，B，C，CK，D，E，CK，F，这样可以减少一个对照小区，分析方法相同。,二、间比法试验结果的统计分析,1：计算前后两个对照产量的平均数 。,2：,计算各品系产量相对应 产量的百分数，即得各品系的相对生产力。,间比法设计中，采用推广良种作为对照计算肥力指数调整供试家系产量，所以在参试家系数目较多时一般常用两个或两个以上的对照品种。,例12.2 有12个小麦新品系鉴定试验，另加一推广品种CK，采用5次重复间比法设计，田间排列在表12.2第1列基础上按阶梯式更替，小区计产面积70m,2,，每隔4个品系设一个CK，所得产量结果列于表12.2，试作分析。,表12.2 小麦品系鉴定试验(间比法)的产量结果与分析,总 和,平 均,对 照,对,品 系,各重复小区产量(kg),的%,CK,1,35.9,40.5,28.2,31.9,29.0,165.5,33.1,A,37.1,39.4,34.0,36.9,35.8,183.1,36.6,33.3,109.9,B,39.8,42.0,36.8,41.4,28.9,188.9,37.8,33.3,113.5,C,38.2,39.9,25.4,33.1,28.9,165.5,33.1,33.3,99.4,D,37.3,43.2,39.1,34.9,34.0,188.5,37.7,33.3,113.2,CK,2,33.0,42.1,29.0,34.6,28.8,167.5,33.5,E,38.0,40.2,34.5,39.8,37.5,190.0,38.0,34.2,111.1,F,36.1,34.3,32.8,27.1,29.7,160.0,32.0,34.2,93.6,G,37.8,36.3,41.3,34.2,39.9,189.0,37.8,34.2,110.5,H,34.0,39.1,27.3,34.7,28.9,164.0,32.8,34.2,95.9,CK,3,36.0,40.1,31.5,37.8,29.6,175.0,35.0,I,29.0,38.1,40.0,34.3,31.1,172.5,34.5,33.7,102.4,J,36.3,36.0,38.2,39.1,37.4,187.0,37.4,33.7,111.0,K,43.0,34.2,41.2,39.9,36.2,194.5,38.9,33.7,115.4,L,29.4,23.0,30.8,34.1,32.9,150.5,30.1,33.7,89.3,CK,4,35.2,38.7,27.4,32.5,28.2,162.0,32.4,首先，计算前后两个对照产量的平均数 如A、B、C、D 4品系的=(33.1+33.5)/2=33.3(kg)，然后，计算各品系产量相对应产量的百分数，即得各品系的相对生产力。如品系A的相对生产力(%)=,100=109.9，等。,结果表明，相对生产力超过对照10%以上的品系有K、B、D、E、J、G 6个，其中K品系增产幅度最大，达15.4%。,间比法设计中，采用推广良种作为对照计算肥力指数调整供试家系产量，所以在参试家系数目较多时一般常用两个或两个以上的对照品种。,第二节 完全随机和随机区组试验的统计分析,一、完全随机试验设计的统计分析,二、随机区组试验结果的分析示例,三、随机区组的线性模型与期望均方,四、随机区组试验的缺区估计和结果分析,一、完全随机试验设计的统计分析,完全随机试验设计,是指每一供试单位都有同等机会(等概率)接受所有可能处理的试验设计方法，没有局部控制，但要求在尽可能一致的环境中进行试验。它用于估算试验误差的自由度最多，统计显著性要求的,F,值最小。,二、随机区组试验结果的分析示例,随机区组试验结果的统计分析，可应用第六章所述两向分组单个观察值资料的方差分析法。,这里可将处理看作A因素，区组看作B因素，其剩余部分则为试验误差。设试验有 个处理，个区组，则其自由度和平方和的分解式如下：,总自由度=区组自由度+处理自由度+误差自由度,(123),(122),y,表示各小区产量(或其他性状)，表示区组平均,数，表示处理平均数，表示全试验平均数。,总平方和=区组平方和+处理平方和+试验误差平方和,例12.3 有一小麦品比试验，共有A、B、C、D、E、F、G、H 8个品种(,k,=8)，其中A是标准品种，采用随机区组设计，重复3次(,n,=3)，小区计产面积25m,2,，其产量结果列于表12.3，试作分析。,表12.3 小麦品比试验(随机区组)的产量结果(,kg,),品 种,区 组,A,10.9,9.1,12.2,32.2,10.7,B,10.8,12.3,14.0,37.1,12.4,C,11.1,12.5,10.5,34.1,11.4,D,9.1,10.7,10.1,29.9,10.0,E,11.8,13.9,16.8,42.5,14.2,F,10.1,10.6,11.8,32.5,10.8,G,10.0,11.5,14.1,35.6,11.9,H,9.3,10.4,14.4,34.1,11.4,83.1,91.0,103.9,T,=278.0,10.4,11.4,13.0,=11.6,(1)自由度和平方和的分解,自由度的分解：,总,区组,品种,误差,平方和的分解：,矫正数,总,区组,品种,误差,=84.61-27.56-34.08=22.97,(2),F,测验,将上述计算结果列入表12.4，算得各变异来源的,MS,值。,表12.4 表12.3结果的方差分析,变异来源,DF,SS,MS,F,F,0.05,区 组 间,2,27.56,13.78,8.40,3.74,品 种 间,7,34.08,4.87,2.97,2.77,误 差,14,22.97,1.64,总 变 异,23,84.61,对区组间,MS,作,F,测验，在此有,H,0,：，,H,A,：、不全相等(、分别代表区组、的总体平均数)，,得,F,=13.78/1.64=8.40,F,0.05,，所以,H,0,应予否定，说明3个区组间的土壤肥力有显著差别。在这个试验中，区组作为局部控制的一项手段，对于减少误差是相当有效的(一般区组间的,F,测验可以不必进行，因为试验目的不是研究区组效应)。,对品种间,MS,作,F,测验，有,H,0,：，,H,A,：、不全相等(、,分别代表品种A、B、H的总体平均数)，得,F,=4.87/1.64=2.97,F,0.05,，所以,H,0,应予否定，说明8个供试品种的总体平均数有显著差异。需进一步作多重比较。,(3)品种间平均数的多重比较,最小显著差数法(,LSD,法)本例目的是要测验各供试品种是否与标准品种A有显著差异，宜应用,LSD,法。首先应算得品种间平均数或总和数差数的标准误。在以各品种的小区平均产量作比较时，差数标准误为：,(124),从而,(125),如果以各品种的小区总产量作比较，则因总产量大,n,倍，故差数标准误为：,(124)(127)中，为方差分析表中的误差项均方,MS,；,t,值的，即误差项自由度。凡品种与对照的差异达到或超过者为显著，达到或超过者为极显著。,如果试验结果需以亩产量表示，只要将总产量和总产量的,LSD,皆乘以,cf,即可。,(126),并有：,(127),在此，如以各品种的小区平均产量(即表12.3的)进行比较，则,由于 时，=2.145，=2.977，故,(kg)，,(kg),如对各品种的三个小区总产量(表12.3的 )进行比较，则,(kg),如以亩产量表示试验结果，则可算得化各品种总产量为亩产量的改算系数：,因此，品种A的亩产量=(kg),(kg),(kg),(kg),品种B的亩产量=(kg),，余类推,并且有,亩产量 (kg),亩产量 (kg),上述结果皆列于表12.5不论哪一种比较，结果都完全一样，只有E品种与对照有极显著的差异，其余品种都和对照没有显著差异。,表12.5 表12.3资料各品种产量和对照相比的差异显著性,品 种,的 比 较,的 比 较,亩产量的比较,差 异,差 异,kg/亩,差 异,E,14.2,3.5,*,42.5,10.3,*,378,92,*,B,12.4,1.7,37.1,4.9,330,44,G,11.9,1.2,35.6,3.4,316,30,H,11.4,0.7,34.1,1.9,302,16,C,11.4,0.7,34.1,1.9,302,16,F,10.8,0.1,32.5,0.3,288,2,A(CK),10.7,32.2,286,D,10.0,-0.7,29.9,-2.3,266,-20,新复极差测验(,LSR,法)如果我们不仅要测验各品种和对照相比的差异显著性，而且要测验各品种相互比较的差异显著性，则宜应用,LSR,法。首先，应算得品种的标准误,SE,。,在小区平均数的比较时为,(128),在小区总数的比较时为,(129),在亩产量的比较时为,然后，查附表8当 时，自2至 的,SSR,0.05,和,SSR,0.01,值，进而算得,LSR,0.05,和,LSR,0.01,值。,本例如以小区平均数为比较标准，则有,查附表8，得到自由度、不同显著水平和秩次距,p,下的,SSR,值，进而算得,LSR,值(表12.6)。品种平均数差,(1210),(kg),异显著性结果见表12.7。,表12.6 表12.3资料新复极差测验的最小显著极差,p,2,3,4,5,6,7,8,3.03,3.18,3.27,3.33,3.37,3.39,3.41,4.21,4.42,4.55,4.63,4.70,4.78,4.83,2.24,2.35,2.42,2.46,2.49,2.51,2.52,3.12,3.27,3.37,3.43,3.48,3.54,3.57,表12.7 表12.3资料的新复极差测验结果,产 量(,品 种,),差 异 显 著 性,5%,1%,E,14.2,a,A,B,12.4,ab,AB,G,11.9,ab,AB,H,11.4,b,AB,C,11.4,b,AB,F,10.8,b,AB,A,10.7,b,AB,D,10.0,b,B,结果表明：E品种与H、C、F、A、D 5个品种有5%水平上的差异显著性，E品种与D品种有1%水平上的差异显著性，其余各品种之间都没有显著差异。,以上是以各品种的小区平均产量为比较标准。如以各品种总产量或亩产量为比较标准，则只要应用由(129)或(1210)算出的,SE,值即可，方法类同，不再赘述。,用时，仅需选择上述3种比较的任一种。,三、随机区组的线性模型与期望均方,(一)线性模型,一个随机区组的试验结果，若以,I,代横行(处理)，则,i,=1，2，,k,；以,j,代纵行(区组)，则,j,=1，2，,n,，整个资料共有,k,行,n,列。所以，在第,i,行,j,列的方格可以,ij,表示之(参见表12.3)。如果每一方格仅有一个观察值,y,ij,，则其线性模型为：,上式中，为总体平均，为行的效应或处理效应，可为固定模型或随机模型，在固定模型中，假定,，在随机模型中，假定 ,N,(0，）；为列的效应或区组效应，一般为随机模型，假定 ,N,(0，），若为固定模型则假定 ；而 则为相互独立的随机误差，服从,N,(0，）。,(1211),(二)期望均方,随机区组的各种效应一般有3种模型(参见第六章)，即固定模型(称模型)，随机模型(称模型)和混合模型。这3种模型的期望均方(,EMS,)列于表12.8。,表12.8 随机区组设计的期望均方,变异来源,DF,MS,固定模型,(区组、处理均固定),随机模型,(区组、处理均随机),混 合 模 型,(区组随机，,处理固定),(区组固定，,处理随机),区 组 间,MS,R,处理或品种,MS,t,试验误差,MS,e,固定模型：随机区组中仅有两个或较少的处理或品种时是适用。,随机区组试验是随机模型，则表示处理(或品种)和区组都是从处理(或品种)总体和区组总体中随机抽取的。试验结论则推断到有关处理(或品种)和区组总体，而不是仅涉及某一特定处理(或特定品种)。,四、随机区组试验的缺区估计和结果分析,缺区估计可采用最小二乘法,(1212),移项可得缺区估计值为：,(1213),(一)随机区组试验缺一个小区产量的结果分析,例12.4 有一玉米栽培试验，缺失一区产量,y,e,(kg)，其结果如表12.9，试作分析。,表12.9 玉米随机区组试验缺一区产量(,kg),的试验结果,处 理,区 组,A,27.8,27.3,28.5,38.5,122.1,B,30.6,28.8,y,e,39.5,98.9+,y,e,C,27.7,22.7,34.9,36.8,122.1,D,16.2,15.0,14.1,19.6,64.9,E,16.2,17.0,17.7,15.4,66.3,F,24.9,22.5,22.7,26.3,96.4,143.4,133.3,117.9+,y,e,176.1,570.7+,y,e,首先，应估计出缺值,y,e,。根据(1212)可得：,如将表12.9中有关数值代入(1213)，也同样可得：,即,所以，,(kg),然后，将该置入表12.9,y,e,的位置，得表12.10。表12.10的形式和表12.3完全一样，因此可同样进行平方和的分解；但在分解自由度时需注意：因为是一个没有误差的理论值，它不占有自由度，所以误差项和总变异项的自由度都要比常规的少1个。由此得到的方差分析表如表12.11。,表12.10 玉米随机区组试验结果,处 理,区 组,A,27.8,27.3,28.5,38.5,122.1,B,30.6,28.8,33.0,39.5,131.9,C,27.7,22.7,34.9,36.8,122.1,D,16.2,15.0,14.1,19.6,64.9,E,16.2,17.0,17.7,15.4,66.3,F,24.9,22.5,22.7,26.3,96.4,143.4,133.3,150.9,176.1,603.7,表12.11 玉米栽培试验(缺一区)的方差分析,变异来源,DF,SS,MS,F,F,0.05,区 组,3,166.84,处 理,5,1093.20,218.64,21.50,2.66,误 差,14,142.44,10.17,总 变 异,22,1402.48,在进行处理间的比较时，一般用,t,测验。对于非缺,区处理间的比较，其仍由(124)式算出(假定以小区,平均产量作为比较标准)，对于缺区处理和非缺区处,理间的比较，,(1214),上式的,MS,e,为误差项均方，,n,为区组数，,k,为处理数。在本例可求得：,(kg),(二),随机区组试验缺二个小区产量的结果分析,例12.5 有一水稻栽培试验，假定缺失两区产量(,y,c,和,y,a,)，其结果如表12.12，试分析。,表12.12 水稻随机区组试验缺两区产量(,kg,/小区)的试验结果,处 理,区,组,A,8,14,12,8,16,y,a,58+,y,a,B,9,11,10,7,11,9,57,C,16,17,14,12,y,c,13,72+,y,c,33,42,36,27,27+,y,c,22+,y,a,187+,y,c,+,y,a,首先，应估计出缺值,y,c,和,y,a,。采用解方程法，根据(1212)，对,y,c,有方程,对,y,a,有方程,整理成二元一次联立方程，,解之得：,y,c,=18.09(kg)，,y,a,=10.09(kg),将,y,c,18kg，,y,a,10kg置入表12.12中，即得表12.13。然后进行方差分析，得到表12.14。由于表12.13中有两个缺区估计值，它们不占有自由度，故表12.14中误差项和总变异项的自由度均比通常的少2个。,表12.13 水稻随机区组试验结果,处 理,区,组,A,8,14,12,8,16,(10),68,B,9,11,10,7,11,9,57,C,16,17,14,12,(18),13,90,33,42,36,27,45,32,215,表12.14 水稻随机区组试验(缺二区)的方差分析,在进行处理间比较时，非缺区处理间比较的差数标准误仍由(124)给出(当以各处理小区平均数相比较时)；若相互比较的处理中有缺区的，则其平均数差数的标准误为,变异来源,DF,SS,MS,F,F,0.05,区 组,5,74.28,处 理,2,94.11,47.06,20.28,3.68,误 差,8,18.56,2.32,总 变 异,15,186.95,上式中的为误差项均方，和分别表示两个相比较处理的有效重复数，其计算方法是：在同一区组内，若两处理都不缺区，则各记为1；若一处理缺区，另一处理不缺区，则缺区处理记0，不缺区处理记，其中,k,为试验的处理数目。,例如，本试验在A和B比较时，,(1215),A的有效重复数,B的有效重复数,在A和C比较时，,A的有效重复数,C的有效重复数故,故,(kg),(kg),第三节 拉丁方试验的统计分析,一、拉丁方试验结果的分析示例,二、拉丁方的线性模型与期望均方,三、拉丁方试验的缺区估计和结果分析,一、拉丁方试验结果的分析示例,拉丁方试验在纵横两个方向都应用了局部控制，使得纵横两向皆成区组。,设有,k,个处理(或品种)作拉丁方试验，则必有横行区组和纵行区组各,k,个，其自由度和平方和的分解式为：,(1216),总自由度=横行自由度+纵行自由度+处理自由度+,误差自由度,(1217),总平方和=横行平方和+纵行平方和+处理平方和+误差平方和,例12.6 有A、B、C、D、E 5个水稻品种作比较试验，其中E为标准品种，采用55拉丁方设计，其田间排列和产量结果见表12.15，试作分析。,表12.15 水稻品比55拉丁方试验的产量结果(,kg,),横行区组,纵 行 区 组,D(37),A(38),C(38),B(44),E(38),195,B(48),E(40),D(36),C(32),A(35),191,C(27),B(32),A(32),E(30),D(26),147,E(28),D(37),B(43),A(38),C(41),187,A(34),C(30),E(27),D(30),B(41),162,174,177,176,174,181,T,=882,首先，在表12.15算得各横行区组总和和各纵行区组总和，并得全试验总和。再在表12.16算得各品种的总和和小区平均产量。然后进入以下步骤：,表12.16 表12.15资料的品种总和和品种平均数,品 种,A,38+35+32+38+34=177,35.4,B,44+48+32+43+41=208,41.6,C,38+32+27+41+30=168,33.6,D,37+36+26+37+30=166,33.2,E,38+40+30+28+27=163,33.6,(1)自由度和平方和的分解,自由度的分解 由(1216)可得：,总,横行,纵行,品种,误差,平方和的分解 由(1217)可得：,矫正数,总,横行区组,纵行区组,品种,=815.04-348.64-6.64-271.44=188.32,(2)方差分析和,F,测验,将上述结果列入表12.17，算得各变异来源的,MS,值。,表12.17 表12.15资料的方差分析,对品种间作,F,测验，,、不全相等(、)分别代表A、B、E品种的总体平均数)得，,变异来源,DF,SS,MS,F,F,0.05,横行区组,4,348.64,87.16,纵行区组,4,6.64,1.66,品 种,4,271.44,67.86,4.33,3.26,试验误差,12,188.32,15.69,总 变 异,24,815.04,F,0.05,=3.26，所以 应被否定，即各供试品种的产量有显著差异。,(3)品种平均数间的比较,最小显著差数法(,LSD,法)应用(124)，得,当 =12时，应用(125),(kg),(kg),(kg),以之为尺度，在表12.18测验各品种对标准品种(E)的差异显著性。结果只有B品种的产量极显著地高于对照，其余品种皆与对照无显著差异。,表12.18 表12.15资料各品种与标准品种相比的差异显著性,品 种,小区平均产量(kg),差 异,B,41.6,9.0,*,A,35.4,2.8,C,33.6,1.0,D,33.2,0.6,E(CK),32.6,*表示达1%显著水平,新复极差测验(,LSR,法)根据(128)计算，求得,再根据 =12时的和的值算得 =2，3，4，5时的和的值于表12.19。根据表12.19的和的尺度，测验各品种小区平均产量的差异显著性于表12.20。,表12.19 表12.15资料各品种小区平均产量()互比时的,LSR,值,(kg),2,3,4,5,3.08,3.23,3.33,3.36,4.32,4.55,4.68,4.76,5.45,5.72,5.89,5.95,7.64,8.03,8.28,8.43,表12.20 水稻品比试验的新复极差测验,由表12.20可见，B品种与其他各品种的差异都达到,=0.05水平，而B品种与D、E品种的差异达到,=0.01水平，A、C、D、E 4品种之间则无显著差异。,小区平均产量(,品 种,),差异显著性,5%,1%,B,41.6,a,A,A,35.4,b,AB,C,33.6,b,AB,D,33.2,b,B,E,32.6,b,B,二、拉丁方的线性模型与期望均方,用 代表拉丁方的 横行、纵行的交叉观察值，再以 代表处理，则拉丁方试验的线性模型为：,(1218),上式中 为总体平均数；为横行效应，为纵行效应，若两者为固定模型，有,若两者均为随机模型，有 ,N,(0，)，,N,(0，)；为处理效应，固定模型有 ，随机模型时 ,N,(0，)；相互独立的随机误差 ,N,(0，)。,拉丁方设计的固定模型和随机模型的期望均方如下表：,拉丁方设计的期望均方,变异来源,DF,固定模型,随机模型,横 行 间,纵 行 间,处 理 间,试验误差,三、拉丁方试验的缺区估计和结果分析,缺值,y,e,的估计公式为：,(1219),移项可得：,(1220),当仅有一个缺区时，可由(1219)或(1220)直接解得,y,e,值；,当有多个缺区时，可由(1219)建立联立方程组，解出各个缺区估计值。,例12.7 有一甘蔗品比试验，采用55拉丁方设计，缺失一区产量，其结果见表12.22，试求该缺区估计值,y,e,并作分析。,表12.22 55甘蔗试验缺失一区产量的试验结果(100,kg,/区),横行区组,纵 行 区 组,A 14,E 22,D 20,C 18,B 25,99,D 19,B 21,A 16,E 23,C 18,97,B 23,A 15,C 20,D 18,E 23,99,C 21,D (,y,e,),E 24,B 21,A 17,83+,y,e,E 23,C 16,B 23,A 17,D 20,99,100,74+,y,e,103,97,103,477+,y,e,首先求缺区估计值,y,e,。将表12.21的有关数值代入(1219)可得：,则 (100kg),同样，代入(1220)得：,(100kg),将置入表12.22的,y,e,位置，得表12.23。,表12.23 55甘蔗试验具有一个估计值的试验结果(100,kg,/区),横行区组,纵 行 区 组,A 14,E 22,D 20,C 18,B 25,99,D 19,B 21,A 16,E 23,C 18,97,B 23,A 15,C 20,D 18,E 23,99,C 21,D (18),E 24,B 21,A 17,101,E 23,C 16,B 23,A 17,D 20,99,100,92,103,97,103,T,=495,A=79,B=113,C=93,D=95,E=115,15.8,22.6,18.6,19.0,23.0,表12.23可按没有缺区的拉丁方资料作出方差分析，仅误差项和总变异项的自由度比没有缺区的拉丁方资料少一个，因为有一个缺区估计值，它不占有自由度。由此所得的结果列于表12.24。,表12.24 甘蔗55拉丁方试验(缺一区)的方差分析,变异来源,DF,SS,MS,F,F,0.05,横 行,4,1.6,0.40,纵 行,4,17.2,4.30,品 种,4,180.8,45.20,24.43,3.36,误 差,11,20.4,1.85,总 变 异,23,220.0,在对各品种的小区平均数作,t,测验时，没有缺区品种间的比较仍用(124)；但当缺区品种与非缺区品种比较时，其差数标准误应为：,(1221),如在本例中，,(100kg),以上是有一个缺区的拉丁方试验的分析。如果拉丁方试验有几个缺区，则首先应算得各个缺区的估计值。这些估计值可由(1219)建立联立方程解出。算得各缺区估计值后，可按正常(没有缺区的)拉丁方资料计算各变异来源的平方和，但误差项和总变异项的自由度要比正常的少,l,个（,l,为缺区数目）。在对各处理小区平均数作,t,测验时，没有缺区的处理间比较的差数标准误仍由(124)给出；若相互比较的处理中有缺区存在，则其平均数差数的标准误为：,(1222)中的为误差项均方，和分别代表两个相互比较的处理的有效重复数，其计算方法是：,（1）若相互比较的甲、乙二处理在横行和纵行皆不缺区，则分别记1；,（2）若甲处理不缺区，而其所在的横行或纵行的乙处理缺一区，则甲记2/3；,（3）若甲处理不缺区，而其所在的横行和纵行的乙处理皆缺区，则甲记1/3；,（4）若甲处理本身为缺区，则记0。例如，有一55拉丁方试验为：,(1222),以上有圆圈者表示缺区。则在B、C、E处理间比较时，其 用(124)，其余各处理相互比较都要先计算有效重复数，再代入(1222)计算 。,如：A与E比较时，,A的有效重复数,A,E,D,C,B,D,B,A,E,C,B,A,C,D,E,C,E,B,E,C,B,A,E的有效重复数,故,而A与D比较时，,A的有效重复数,D的有效重复数,故,其余类推。,第四节 试验处理的合并比较,正交性(orthogonality)：,任两比较间的系数乘积之和为0。,正交对比或正交比较(orthogonal comparison)：,若在所有对比(比较)中，两两比较间的比较系数 ()乘积之和都为0的比较。这种比较系数称为,正交系数(orthogonal coefficient)。,例如，处理为氨水1(A)、氨水2(B)、碳酸氢铵(C)、尿素(D)和不施肥(E)按完全随机设计进行试验的例6.10，就预先安排了以下几个特