最短路径教学设计.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十三章 轴对称,13.4,课题学习 最短路径问题,人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册,),如图所示：从,A,地到,B,地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？,两点之间线段最短,探究一：最短路径问题的概念,1,提出问题：,探究一：最短路径问题的概念,(2),图中点,C,与直线,AB,上所有的连线中哪条线最短？,“,连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短,”,引言：,关于“两点的所有连线中，线段最短”、,“,连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马题”；和“造桥选址题”。,引入新知,【,学习目标,】,利用轴对称、平移变换等转化思想，结合线段公理解决最短路径问题。,【,学习重、难点,】,通过轴对称、平移解决将军饮马和造桥选址的最短路径问题,;,如何理解通过轴对称、平移解决将军饮马和造桥选址的路径一定是最短,.,13,4,课题学习最短路径问题,相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：,探索新知,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的,知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马,问题”,你能将这个问题抽象为数学问题吗？,探索新知,B,A,l,问,1,这是一个实际问题，你打算首先做什么？,将,A,，,B,两地抽象为两个点，将河,l,抽象为一条直 线,探索新知,B,A,l,探索新知,问,2,你能用自己的语言说明这个问题的意思，,并把它抽象为数学问题吗？,（,3,）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最,短的直线,l,上的点设,C,为直线上的一个动点，上,面的问题就转化为：当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小（如图）,B,A,l,C,问,1,对于问题,2,，如何,将点,B,“,移”到,l,的另一侧,B,处，满足直线,l,上的任意一点,C,，都保持,CB,与,CB,的长度,相等？,探索新知,问题,2,如图，点,A,，,B,在直线,l,的同侧，点,C,是直,线上的一个动点，当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小？,B,l,A,问,2,你能利用轴对称的,有关知识，找到上问中符合条,件的点,B,吗？,探索新知,问题,2,如图，点,A,，,B,在直线,l,的同侧，点,C,是直,线上的一个动点，当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小？,B,l,A,作法：,（,1,）作点,B,关于直线,l,的对称,点,B,；,（,2,）连接,AB,，与直线,l,相交,于点,C,则点,C,即为所求,探索新知,问题,2,如图，点,A,，,B,在直线,l,的同侧，点,C,是直,线上的一个动点，当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小？,B,l,A,B,C,探索新知,问题,3,你能用所学的知识证明,AC,+,BC,最短吗？,B,l,A,B,C,证明：,如图，在直线,l,上任取一点,C,（与点,C,不,重合），连接,AC,，,BC,，,B,C,由轴对称的性质知，,BC,=,B,C,，,BC,=,B,C,AC,+,BC,=,AC,+,B,C,=,AB,，,AC,+,BC,=,AC,+,B,C,探索新知,问题,3,你能用所学的知识证明,AC,+,BC,最短吗？,B,l,A,B,C,C,探索新知,问题,3,你能用所学的知识证明,AC,+,BC,最短吗？,B,l,A,B,C,C,证明：,在,AB,C,中,，,AB,AC,+,B,C,，,AC,+,BC,AC,+,BC,即,AC,+,BC,最短,问题二,（造桥选址问题）如图,13.4-6,A,和,B,两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥,MN.,桥造在何处可使从,A,到,B,的路径,AMNB,最短,?,（假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直,.),将实际问题中,A,，,B,两地与笔直的河,L,抽象成点,A.,点,B,和直线,a,b,如图,8,A,B,b,M,N,图,8,桥,MN,建在何处时，才能使,AM+MN+NB,最短呢？因为河的宽度,MN,是不变的，所以问题就转化为求,AM+NB,最短。怎样找出点,M,和点,N,的位置呢？事实上,MN,与河两边,垂直。因此只要找出,M,，,N,其中一点的位置就可确定另一点的位置。以在直线,b,上确定,N,点为例,A,B,b,M,N,图,8,AM+NB,最短，要先确定点,N,在直线,b,的位置，如果我先将,A,点往直线,a,的垂直方向平移,MN,个单位后到,A,，由于,MN,垂直直线,a,，,N,点就是,M,点往直线,b,的垂直方向平移,MN,个单位后到的点，由图形平移后的对应点之间的线段是平行且相等的，得到,AM=A,N,.,AM+NB,最短即,A,N+NB,最短,.,转变成了直线,b,上是找到一点,N,，使,A N+NB,最短,连结,A,B,与直线,b,相交的一点为,N,点,A,B,b,M,N,a,A,A,B,b,M,N,A,图,11,将,A,点往直线,a,的垂直方向平移,MN,个单位后到,A,，连结,A,B,与直线,b,相交的一点为,N,点,再过,N,点作,NM,a,与直线,a,的交点为,M.,即,MN,为所求,AM+MN+NB,最短的位置（如图）,.,a,作图过程：,提出疑问,这线段,NM,的位置就一定是,A,点到,B,点之间最短的吗？,在直线,a,b,上再取两点,M,N,与,M,N,不重合,.,（如图,12,）求证：,AM+MN+NBAM+MN+NB,A,B,b,M,N,A,a,M,N,图,12,证明：把,A,点往直线,a,的垂直方向平移,MN,个单位后有了,A,N,为,M,点平移后的，,N,为,M,平移后，由图形平移后对应点间的线段平行且相等,得到：,最短路径问题,又 在,当堂检测,1,：,某供电部门准备在输电主干线,L,上连接一个分支线路，分支点为,M,，同时向新落成的,A,，,B,两个居民小区送电，,（,1,）如果居民小区,A,，,B,在主干线,L,的两旁，如图,1,所示，那么分支点,M,在什么地方时总线路最短,（,2,）如果居民小区,A,，,B,在主干线,L,的同旁，如图,2,所示，那么分支点,M,在什么地方时总线路最短,A,B,M,图,1,l,l,A,B,M,图,2,最短路径问题,当堂检测,2,：,如图，,A,、,B,两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥,MN,和,PQ.,桥分别建在何处才能使从,A,到,B,的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）,最短路径问题,归纳小结,（,1,）本节课研究问题的基本过程是什么？,（,2,）轴对称、平移在所研究问题中起什么作用？解决问题中,我们应用了哪些数学思想方法,?,你还有哪些收获,?,本节课以数学史中的一个经典问题,“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，在利用轴对称和平移将线段和最小问题,转化,为“两点之间线段最短”（或三角形两边之和大于第三边）问题；,。,归纳小结,1.,已知直线,L,上一动点和直线外一定点求最短路径，过定点作直线,L,的垂线段，垂线段即为最短路径，其理论依据是,“,连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短,.,2.,已知直线,L,上一动点和直线,L,外两定点,（,1,）当两定点在,L,的异侧,得最短路径；,（,2,）当两定点在,L,同侧，作其中一定点的 ，转化为（,1,）的情况在连线得最短路径,连接两点之间线段长度,对称点,4.,在解决最短路径问题时，我们常利用,等变化把已知问题转化为容易解决的数学问题，从而作出最短路径。,轴对称和平移,3.,已知两条平行线和两线异侧两个定点问题：再利用,利用平移图形将平行线间的距离平行移动,两点之间线段最短解决最短路径和最短问题,归纳小结,教科书复习题,13,第,15,题,布置作业,课后探究,基本思路：,由于两点之间线段最短，所以首先可连接,PQ,，线,段,PQ,为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为,一条直线,BC,，这样问题就转化为“点,P,，,Q,在直线,BC,的同侧，如何在,BC,上找到,一点,R,，使,PR,与,QR,的和最,小”,A,B,C,P,Q,山,河岸,大桥,