八年级数学上册15.3等腰三角形15.3.1等腰三角形的性质.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第15章 轴对称图形与等腰三角形,15.3 等腰三角形,第1课时 等腰三角形的性质,1,课堂讲解,等腰三角形的边角性质：等边对等角,等腰三角形的轴对称性：“三线合一”,2,课时流程,逐点,导讲练,课堂小结,作业提升,等腰三角形是一类特殊的三角形.等腰三角形除,具有一般三角形的性质外，还具有什么样的特殊性质,呢？,1,知识点,等腰三角形的边角性质：等边对等角,操作,画一个等腰三角形,ABC,，如图(1).把边,AB,叠合到边,AC,上，这时点,B,与点,C,重合，并出现折痕,AD,，如图(2).观察图形：,ADB,与,ADC,有,什么关系？图中哪些线段或角相等？,AD,与,BC,垂直吗？为什么？,知1导,知1导,等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的,直线是它的对称轴.,知1讲,等腰三角形的边角性质：等边对等角,定理1,：等腰三角形的两底角,相等,(简称“,等边对等角,”),要点精析：,(1),适用条件,：必须在同一个三角形中,(2),应用格式,：在,ABC,中，因为,AB,AC,，所以,B,C,.,(3),作用,：它是证明角相等常用的方法，应用它可省,去三角形全等的证明，因而更简便,知1讲,本例中去掉,AB=AC,这个条件，能否求得,DAE,的度数？,本题给你怎样的启示？,例2,(1)在,ABC,中，,AB,AC,，若,A,50，求,B,；,(2)若等腰三角形的一个角为70，求顶角的度数；,(3)若等腰三角形的一个角为90，求顶角的度数,导引：,给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三角形,的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质求解；若,给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两种情况求解,解：,(1),AB,AC,，,B,C,.,A,B,C,180，,502,B,180，,解得,B,65.,知1讲,知1讲,（来自点拨）,(2)当底角为70时，顶角为18070240.,当顶角为70时，70即为所求,因此顶角为40或70.,(3)若顶角为90，则底角为,若底角为90，则三个内角的和将大于180，不,符合三角形内角和定理,因此顶角为90.,总 结,知1讲,（来自点拨）,在等腰三角形中求角,时，要看给出的角是否确,定为顶角或底角若已确定，则直接利用三角形的,内角和定理求解；若没有指出所给的角是顶角还是,底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内,角和定理若等腰三角形中给出的一内角是直角或,钝角，则此角必为顶角,知1讲,例3,（,广西贺州,）如图，在等腰,ABC,中，,AB,AC,，,DBC,15，,AB,的垂直平分线,MN,交,AC,于点,D,，则,A,的度数是_,导引：,根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距,离相等可得,AD,BD,，根据等边对等角可得,A,ABD,，,然后表示出,ABC,，再根据等腰三角形两底角相等可得,C,ABC,，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可,MN,是,AB,的垂直平分线，,AD,BD,，,A,ABD,，,DBC,15，,ABC,A,15，,AB,AC,，,C,ABC,A,15，,A,A,15,A,15180，解得,A,50.,50,（来自点拨）,总 结,知1讲,（来自点拨）,由线段的垂直平分线可以得到相等的线段，运,用等腰三角形性质可以将同一个三角形中线段的相,等关系转化为所对内角之间的相等关系,知1讲,例4,已知：如图，在,ABC,中，,AB,=,AC,，点,D,在,AC,上，且,BD,=,BC,=,AD,，求,A,和,C,的度数.,解：,AB,=,AC,，,BD,=,BC,=,AD,，（已知）,ABC,=,C,=,BDC,，,A,=,ABD,.(等边对等角）,设,A,=,x,，,则,BDC,=,A,+,ABD,=2,x,.（三角形的一,个外角等于与它不相邻的两个内角的和）,ABC,=,C,=,BDC=2x,x,+2,x,+2,x,=180.(三角形内角和等于 180）,解方程，得,x,=36.,A,=36，,C,=72.,（来自教材）,知1讲,例5,求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.,已知：如图(1)，在Rt,ABC,和Rt,A,B,C,中，,C,=,C,=90，,AB=A,B,，,AC=A,C,.,求证：Rt,ABC,Rt,A,B,C,.,本例是14.2节中已经学过的判定两个直角三角形全等的定理“,HL,”的证明.,知1讲,证明：,在平面内移动Rt,ABC,和Rt,A,B,C,，使点,A,和点,A,、,点,C,和点,C,重合，点,B,和点,B,在,AC,的两侧图(2).,BCB,=90+90=180,（等式性质）,B,，,C,，,B,三点在一条直线上.（平角的定义）,在,ABB,中，,AB=AB,，,(已知),B,=,B,.,(等边对等角),在Rt,ABC,和Rt,A,B,C,中，,Rt,ABC,Rt,A,B,C,.,(,AAS,),（来自教材）,1,填空：,(1)等腰直角三角形的每一个锐角的度数是_;,(2)如果等腰三角形的底角等于40，那么它的顶角的,度数是_;,(3)如果等腰三角形有一个内角等于80，那么这个三角形,的最小内角等于_.,(,中考盐城,)若等腰三角形的顶角为40，则它的底角度数,为(),A40 B50 C60 D70,知1练,（来自教材）,2,（来自典中点）,3,(,中考湘西州,)如图，在等腰三角形,ABC,中，,AB,AC,，,BD,平分,ABC,，,A,36，,则1的度数为(),A36 B60 C72 D108,(,中考丹东,)如图，在,ABC,中，,AB,AC,，,A,30，,E,为,BC,延长线上一,点，,ABC,与,ACE,的平分线交于点,D,，,则,D,的度数为(),A15 B17.5 C20 D22.5,知1练,（来自典中点）,4,2,知识点,等腰三角形的轴对称性：“三线合一”,知2讲,等腰三角形的轴对称性：“三线合一”,定理2,：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边结论：等腰,三角形,顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高,相,互重合(简称“,三线合一,”),要点精析,：(1),含义,：这是等腰三角形所特有的性质，它实际是,一组定理，应用过程中，在三角形是等腰三角形前提下，,“顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高”只要知道其,中“一线”，就可以说明是其他“两线”,(2),作用,：是证明线段相等、角相等、垂直等关系的重要方法，,应用广泛,知2讲,（来自点拨）,(3),对称性,：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上,的高、底边上的中线),所在的直线,是它的对称轴,(4),应用格式,：如图，在,ABC,中，,AB,AC,，,AD,BC,，,AD,平分,BAC,(或,BD,CD,)；,AB,AC,，,BD,DC,，,AD,BC,(或,AD,平分,BAC,)；,AB,AC,，,AD,平分,BAC,，,BD,DC,(或,AD,BC,),知2讲,例6,如图，在,ABC,中，,AB,AC,，,AD,是,BC,边上的中线，,ABC,的平分线,BG,交,AC,于点,G,，交,AD,于点,E,，,EF,AB,，垂足为,F,.,(1)若,BAD,25，求,C,的度数；,(2)求证：,EF,ED,.,解：,(1),AB,AC,，,AD,是,BC,边上的中线，,BAD,CAD,，,BAC,2,BAD,50.,AB,AC,，,C,ABC,知2讲,证明：,(2),AB,AC,，,AD,是,BC,边上的中线，,AD,BC,，,BDE,90.,EF,AB,，,BFE,90，,BFE,BDE,.,又,BG,平分,ABC,，,FBE,DBE,.,BE,为公共边，,BDE,BFE,，,EF,ED,.,（来自点拨）,总 结,知2讲,（来自点拨）,等腰三角形“三线合一”的性质是证明角相等、线,段相等和垂直关系的既重要又简便的方法,；因为题目的,证明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”,的性质的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应,用要灵活在等腰三角形中，作“三线”中“一线”，,利用“三线合一”是等腰三角形中常用的方法,知2讲,例7,如图所示，,AB,AE,，,BC,DE,，,B,E,，,AM,CD,，,垂足为,M,.求证：,CM,MD,.,导引：,由已知,AM,CD,和结论,CM,MD,，联想到等腰三角形“三,线合一”的性质，由此连接,AC,，,AD,构造等腰三角形,证明：,如图，连接,AC,，,AD,.,在,ABC,和,AED,中，,ABC,AED,(,SAS,),AC,AD,.,又,AM,CD,，,CM,MD,.,总 结,知2讲,对于单一等腰三角形构造“三线合一”的基本图,形，作底边上的高、中线还是顶角平分线，可根据解,题需要作辅助线；对于叠合等腰三角形构造“三线合,一”的基本图形，则需巧作辅助线，下面就如下几种,图形说明巧作辅助线的方法：,总 结,知2讲,（来自点拨）,1如图甲的情形，需作底边上的高；,2如图乙的情形，需作顶角平分线；,3如图丙的情形，需作中线；,4如图丁的情形，需连接,AD,并延长再证其是“三线”即可,1,已知：如图，,AB=AC,，,AB,的垂直,平分线,ED,交,AC,于点,D,，,A,=40.,求,DBC,的度数.,如图，在,ABC,中，,AB,AC,，点,D,是,BC,边的中点，点,E,在,AD,上，那么下列结论不一定正确的是(),A,AD,BC,B,EBC,ECB,C,ABE,ACE,D,AE,BE,知2练,（来自典中点）,2,（来自教材）,3,如图，在,ABC,中，,AB,AC,，,AD,BC,于点,D,，,DE,AB,于点,E,，,DF,AC,于点,F,，下列结论：,BAD,CAD,；,DE,DF,；,BD,CD,；若点,P,在直线,AD,上，则,PB,PC,.其中正确的是(),A B,C D,知2练,（来自典中点）,1.,等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义：,(1)已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，垂,直于底边；,(2)已知等腰三角形顶角的平分线，则它垂直平分底边；,(3)已知等腰三角形底边上的高，则它平分底边，平分顶,角,2.等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相等、,线段相等和线段垂直在遇到等腰三角形的问题时，尝,试作这条辅助线，常常会有意想不到的效果,