第三章线性控制系统的数学模型.ppt

*,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第三章线性控制系统的数学模型,第三章线性控制系统的数学模型第三章线性控制系统的数学模型系统的数学模型系统数学模型的重要性,系统仿真分析必须已知数学模型,系统设计必须已知数学模型,本课程数学模型是基础,系统数学模型的获取,建模方法：从已知的物理规律出发，用数学推导的方式建立起系统的数学模型,辨识方法：由实验数据拟合系统的数学模型3/19/20212,系统的数学模型,系统数学模型的重要性,系统仿真分析必须已知数学模型,系统设计必须已知数学模型,本课程数学模型是基础,系统数学模型的获取,建模方法：从已知的物理规律出发，用数学推导的方式建立起系统的数学模型,辨识方法：由实验数据拟合系统的数学模型,10/19/2026,2,系统数学模型的分类,系统,模型,非线性,线性,连续,离散,混合,单变量,多变量,定常,时变,10/19/2026,3,主要内容,线性连续系统的数学模型与MATLAB表示,线性离散时间系统的数学模型,方框图描述系统的化简,系统模型的相互转换,线性系统的模型降阶,线性系统的模型辨识,本章要点简介,10/19/2026,4,3.1 连续线性系统的数学 模型与MATLAB表示,3.1.1,线性系统的状态方程模型,3.1.2 线性系统的传递函数模型,3.1.3 线性系统的零极点模型,3.1.4 多变量系统的传递函数矩阵模型,10/19/2026,5,3.1.1 线性连续系统数学模型及MATLAB 表示,线性系统的传递函数模型,为阶次，为常数，物理可实现,10/19/2026,6,传递函数的引入,Pierre-Simon Laplace,(1749-1827)，法国数学家,Laplace变换,Laplace变换的一条重要性质：,若,则,10/19/2026,7,传递函数表示,数学方式,MATLAB输入语句,10/19/2026,8,传递函数可以表示成两个多项式的比值，在matlab中，多项式可以用向量表示。,将多项式的系数按s降幂次序排列可以得到一个数值向量，用这个向量就可以表示多项式。,分别表示完分子和分母后，再利用控制系统工具箱函数tf（）就可以用一个变量表示传递函数模型。,10/19/2026,9,传递函数输入举例,例3-1 输入传递函数模型,MATLAB输入语句,在MATLAB环境中建立一个变量 G,10/19/2026,10,显示结果为：,Transfer function:,12 s3+24 s2+12 s+20,-,2 s4+4 s3+6 s2+2 s+2,10/19/2026,11,另外一种传递函数输入方法,例3-2 如何处理如下的传递函数？,定义算子 ，再输入传递函数,10/19/2026,12,Maltab显示为：,Transfer function:,3 s2+9,-,s7+8 s6+30 s5+78 s4+153 s3+198 s2+140 s+40,10/19/2026,13,采用上面第一种方法很容易输入，方法真直观，但如果分子或分母多项式给出的不是完全的展开式，而是若干个因式的乘积，则事先需要将其变换为完全展开式的形式，两个多项式的乘积在matlab中可以用conv（）函数得出：pconv（p1，p2）,其中p1和p2是两个多项式，调用这个函数就能返回多项式乘积p,如果有3个多项式的乘积，就需要嵌套使用此函数。,10/19/2026,14,conv的嵌套使用,p=conv(p1,conv(p2,p3)或者,p=conv(conv(p1,p2），p3),例如上面的例子：,num=3*1 0 3;,den=conv(conv(conv(conv(1 2 1,1 0 5),1 2),1 2),1 2);,G=tf(num,den),10/19/2026,15,MATLAB的传递函数对象,10/19/2026,16,传递函数属性修改,例3-4 延迟传递函数 ，即,若假设复域变量为 ，则,10/19/2026,17,传递函数参数提取,由于使用单元数组，直接用 不行,有两种方法可以提取参数,这样定义的优点：可以直接描述多变量系统,第 i 输入对第 j 输入的传递函数,10/19/2026,18,3.1.2 线性系统的状态方程模型,状态方程模型,状态变量 ，阶次,n,，输入和输出,非线性函数：,一般非线性系统的状态方程描述,10/19/2026,19,线性状态方程,时变模型,线性时不变模型(linear time invariant,LTI),10/19/2026,20,线性时不变模型的MATLAB描述,MATLAB 输入方法,矩阵是 方阵，为 矩阵,为 矩阵，为 矩阵,可以直接处理多变量模型,给出 矩阵即可,注意维数的兼容性,10/19/2026,21,获取状态方程对象参数可以使用ssdata（）函数A,B,C,D=ssdata(G),或者使用G.a命令提取A矩阵。,10/19/2026,22,例3-5,10/19/2026,23,带时间延迟的状态方程,数学模型,MATLAB输入语句,其他延迟属性：ioDelay,10/19/2026,24,3.1.3 线性系统的零极点模型,零极点模型是因式型传递函数模型,零点 、极点 和增益,零极点模型的,MATLAB表示,10/19/2026,25,例3-5 零极点模型,MATLAB输入方法,另一种输入方法,10/19/2026,26,Matlab显示结果：,Zero/pole/gain:,6(s+5)(s2 +4s+8),-,(s+1)(s+2)(s+3)(s+4),注意，在零极点模型显示中，如果有复数零极点存在，则用二阶多项式来表示两个因式，而不直接展成复数的一阶因式。,10/19/2026,27,获得零极点模型之后，可以给出pzmap（）命令在复数平面上表示出该系统的零极点位置，用表示极点位置，用o表示零点位置。,10/19/2026,28,3.1.4 多变量系统传递函数矩阵模型,传递函数矩阵,为第 i 输出对第 j 输入的传递函数,可以先定义子传递函数，再由矩阵定义,10/19/2026,29,例3-7 多变量模型,10/19/2026,30,3.2 线性离散时间系统的数学模型,单变量系统：差分方程取代微分方程,主要内容,离散传递函数,离散状态方程,10/19/2026,31,3.2.1 离散传递函数模型,数学表示（Z变换代替Laplace变换）,MATLAB表示,（采样周期 ）,算子输入方法：,10/19/2026,32,例3-8 离散传递函数，采样周期,MATLAB输入方法,另一种输入方法,10/19/2026,33,显示结果,Transfer function:,6 z2-0.6 z-0.12,-,z4-z3+0.25 z2+0.25 z-0.125,Sampling time:0.1,10/19/2026,34,离散延迟系统与输入,数学模型,延迟为采样周期的整数倍,MATLAB输入方法,10/19/2026,35,H.iodelay=2,Transfer function:,6 z2-0.6 z-0.12,z(-2)*-,z4-z3+0.25 z2+0.25 z-0.125,Sampling time:0.1,10/19/2026,36,set(H,ioDelay,3),H,Transfer function:,6 z2-0.6 z-0.12,z(-3)*-,z4-z3+0.25 z2+0.25 z-0.125,Sampling time:0.1,10/19/2026,37,滤波器型描述方法,滤波器型离散模型,分子、分母除以,记 ，则,10/19/2026,38,MATLAB表示方法,例3-9,10/19/2026,39,H=zpk(z,p,1/120,Ts,0.1),Zero/pole/gain:,0.0083333(z-0.5)(z2 -z+0.5),-,(z+0.5)(z+0.3333)(z+0.25)(z+0.2),Sampling time:0.1,10/19/2026,40,H=zpk(z,p,1/120,Ts,0.1,variable,q),Zero/pole/gain:,0.0083333 q(1-0.5q)(1 -q+0.5q2),-,(1+0.5q)(1+0.3333q)(1+0.25q)(1+0.2q),Sampling time:0.1,10/19/2026,41,3.2.2 离散状态方程模型,数学形式,注意兼容性,MATLAB表示方法,10/19/2026,42,离散延迟系统的状态方程,数学模型,MATLAB表示方法,10/19/2026,43,3.3 方框图描述系统的化简,单环节模型前面已经介绍了实际系统为多个环节互连，如何解决互连问题，获得等效模型？,主要内容,控制系统的典型连接结构,节点移动时的等效变换,复杂系统模型的简化,10/19/2026,44,3.3.1 控制系统的典型连接结构,系统串、并联,串联传递函数,并联传递函数,10/19/2026,45,串、并联状态方程模型,串联系统的状态方程,并联系统的状态方程,10/19/2026,46,串、并联系统的MATLAB求解,若一个模型为传递函数、另一个为状态方程，如何处理？,将二者变换成同样结构再计算,基于MATLAB的计算方法,串联 注意次序：多变量系统,并联,优点，无需实现转换,10/19/2026,47,系统的反馈连接,反馈连接,正反馈,负反馈,10/19/2026,48,状态方程的反馈等效方法,其中,若,10/19/2026,49,反馈连接的MATLAB求解,LTI 模型,符号运算(置于sym目录),10/19/2026,50,例3-10,10/19/2026,51,显示结果,Transfer function:,60 s5+60156 s4+156132 s3+132136 s2+136060 s+60000,-,2 s6+2004 s5+64006 s4+162002 s3+134002 s2+138000 s+60000,10/19/2026,52,例3-11,控制器为对角矩阵,反馈矩阵H为单位矩阵,10/19/2026,53,10/19/2026,54,eye（）函数,EYE(N)is the N-by-N identity matrix.,EYE(M,N)or EYE(M,N)is an M-by-N matrix with 1s on the diagonal and zeros elsewhere.,EYE(SIZE(A)is the same size as A.,10/19/2026,55,Gc=g11,0;0,g22,Transfer function from input 1 to output.,2 s+1,#1:-,s,#2:0,Transfer function from input 2 to output.,#1:0,5 s+2,#2:-,s,10/19/2026,56,GG=feedback(G*Gc,H),Transfer function from input 1 to output.,12 s4+30 s3+24 s2+26 s+10,#1:-,s5+14 s4+33 s3+25 s2+27 s+10,#2:0,Transfer function from input 2 to output.,#1:0,30 s4+72 s3+54 s2+62 s+20,#2:-,s5+32 s4+75 s3+55 s2+63 s+20,10/19/2026,57,3.3.2 节点移动时的等效变换,考虑模型,难点：A点在回路间，移至输出端,10/19/2026,58,节点移动,10/19/2026,59,3.3.3 复杂系统模型的简化,例3-12 原系统可以移动,新支路模型,10/19/2026,60,得出,10/19/2026,61,G=feedback(C2*G1,H1),G=,G2*G4*G3*G1/(1+G4*G3*H3+G3*G2*H2+G2*G4*G3*G1*H1),10/19/2026,62,pretty(G),G2 G4 G3 G1,-,1+G4 G3 H3+G3 G2 H2+G2 G4 G3 G1 H1,PRETTY(S)prints the symbolic expression S,in a format that resembles type-set mathematics,10/19/2026,63,例3-13 电机拖动模型,10/19/2026,64,collect()函数,f=-1/4*x*exp(-2*x)+3/16*exp(-2*x)；,collect(f,exp(-2*x),(-1/4*x+3/16)*exp(-2*x),10/19/2026,65,信号单独输入,得出另一个传递函数,10/19/2026,66,Simplify(),函数,simplify(sin(x)2+cos(x)2),显示结果为,1,10/19/2026,67,最终得出传递函数矩阵,10/19/2026,68,3.4 系统模型的相互转换,前面介绍的各种模型之间的相互等效变换,主要内容,连续模型和离散模型的相互转换,系统传递函数的获取,控制系统的状态方程实现,状态方程的最小实现,传递函数与符号表达式的相互转换,10/19/2026,69,3.4.1 连续模型和离散模型的相互转换,连续状态方程的解析阶,采样周期,选择,10/19/2026,70,这样可以得出离散模型,记,则可以得出离散状态方程模型,MATLAB函数直接求解,10/19/2026,71,还可以采用Tustin变换（双线性变换）,例3-14 双输入模型，,10/19/2026,72,输入模型、变换,10/19/2026,73,模型,10/19/2026,74,例3-15 时间延迟系统的离散化,MATLAB求解,零阶保持器变换,变换结果,10/19/2026,75,Tustin变换,数学表示,其他转换方法,FOH 一阶保持器,matched 单变量系统零极点不变,imp 脉冲响应不变准则,10/19/2026,76,离散模型连续化,对前面的变换求逆,Tustin反变换,MATLAB求解(无需 ),10/19/2026,77,例3-16 对前面的连续状态方程模型离散化，对结果再连续化，则,可以基本上还原连续模型,10/19/2026,78,3.4.2 系统传递函数的获取,已知状态方程,两端Laplace变换,则,10/19/2026,79,因此可以得出传递函数,难点,基于Fadeev-Fadeeva算法能得出更好结果,由零极点模型，直接展开分子分母,用MATLAB统一求解,10/19/2026,80,例3-17 多变量模型，求传递函数矩阵,10/19/2026,81,3.4.3 控制系统的状态方程实现,由传递函数到状态方程的转换,不同状态变量选择，结果不唯一,默认变换方式，采用MATLAB函数,G可以是传递函数、状态方程和零极点模型,适用于有延迟的、离散的或多变量模型,10/19/2026,82,例3-18 连续多变量模型,状态方程获取,10/19/2026,83,得出的状态方程模型,ioDelay矩阵,10/19/2026,84,该模型可以转换回传递函数矩阵,得出的转换结果,10/19/2026,85,3.4.4 状态方程的最小实现,例3-19 观察传递函数模型,未见有何特殊,求取零极点模型,10/19/2026,86,得出结果,相同位置的零极点，可以对消,问题：状态方程如何处理？,MATLAB解决方法,Gm=minreal(G),10/19/2026,87,MSYS=MINREAL(SYS)produces,for a given LTI model SYS,an equivalent model MSYS where all cancelling pole/zero pairs or non minimal state dynamics are eliminated.For state-space models,MINREAL produces a minimal realization MSYS of SYS where all uncontrollable or unobservable modes have been removed.,10/19/2026,88,例3-20 多变量模型,不能直接看出是否最小实现,10/19/2026,89,谢谢！,