苏教版-初三-圆专题复习.doc

无锡特人教育1对1 数学 学科导学案（第 1 次课）
教师: 柏鹤 学生: 年级: 日期: 星期: 时段:
课 题
圆专题复习
教学目标
1：复习并掌握圆的相关知识点；
2：掌握圆有关题型的解答思路和方法。
教学重点
圆的综合题型的解答。
教学难点
掌握圆相关题型的解题思路，能够做到举一反三。
教学内容与过程（一）
一、检查和评讲上次课课后作业

二、简要回顾上次课内容

教学内容与过程（二）
三、本次课知识点梳理
一、圆的概念
集合形式的概念：
1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 点在圆内；
2、点在圆上 点在圆上；
3、点在圆外 点在圆外；

三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；

四、圆与圆的位置关系
外离（图1） 无交点 ；
外切（图2） 有一个交点 ；
相交（图3） 有两个交点 ；
内切（图4） 有一个交点 ；
内含（图5） 无交点 ；

五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（此弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧

六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①；②；
③；④ 弧弧

七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角
∴

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙中，∵是直径 或∵
∴ ∴是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
∴△是直角三角形或
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中，
∵四边形是内接四边形

九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴平分
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙中，∵弦、相交于点，
∴
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙中，∵直径，
∴
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙中，∵是切线，是割线
∴
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙中，∵、是割线 ∴
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：垂直平分。
即：∵⊙、⊙相交于、两点
∴垂直平分
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：中，；
是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。
十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行，：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行，.

十五 三角形外接圆 内切圆
三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。 三角形的外接圆圆心是 三边的垂直平分线的交点。 三角形外接圆圆心叫外心
锐角三角形外心在三角形内部。
　　直角三角形外心在三角形斜边中点上。
　　钝角三角形外心在三角形外。
　　有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心）
　　外接圆圆心到三角形各个顶点的线段长度相等
　　过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心
　　在三角形中，三角形的外心不一定在三角形内部，可能在三角形外部（如钝角三角形）
　　也可能在三角形上（如直角三角形）
过不在同一直线上的三点可作一个圆（且只有一个圆）

与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。
　　三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆，且内切圆圆心定在三角形内部。
　　在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。
　　内切圆的半径为r=2S÷C，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长。

　在直角三角形的内切圆中，有这样两个简便公式：1、两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径。2、两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径。
　　　1、r=(a+b-c)/2（注：r是Rt△内切圆的半径，a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边）
　　　2、r=ab/ (a+b+c)

十六、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：；
（2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积

2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
=
（2）圆柱的体积：
（2）圆锥侧面展开图
（1）=
（2）圆锥的体积：
圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；圆锥的底面半径，母线长，高组成直角三角形，可利用勾股定理求解．

四、 典型例题讲解或例文分析
点与圆的位置关系
1. 已知四边形ABCD是菱形，设点E、F、G、H是各边的中点，试判断点E、F、G、H是否在同一个圆上，为什么？又自AC、BD的交点O向菱形各边作垂线，垂足分别为M、N、P、Q点，问:这四点在同一个圆上吗?为什么？

2. 已知⊙O的直径为16厘米，点E是⊙O内任意一点，（1）作出过点E的最短的弦；（2）若OE=4厘米，则最短弦在长度是多少？

垂径定理
1.如图，在⊙O中，弦AB=2a，点C是弧的中点，CD⊥AB,CD=b,则⊙O的半径R=______.

2. ⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点B作CD∥O1O2 ,分别交两圆于点C、D.求证:CD= 2O1O2

3. 如图7-12，圆管内，原有积水平面宽CD=10厘米，水深GF=1厘米，后水面上升1厘米（即EG=1厘米），问：些时水面宽AB为多少?

圆心角、圆周角
1. 如图，设点P是⊙O的直径AB上的一点，在AB的同侧由点P到圆上作两条线段PQ、PR，若∠APQ=∠BPR.求证：△APQ∽△RPB.

2. 如图，AB是⊙O的直径，D是的中点，CD交AB于点E，（！）求证：AD2=CD•DE; (2)若AC=,BC=,求BE的长。

3. 如图，△ABC的高AD、BE交于点M，延长AD，交△ABC外接圆于点G,求证：D为GM的中点。

圆的内接四边形
1．圆内接四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点P，求证：(1)PB•AC＝PC•BD；
(2)点P到AD的距离与点P到BC的距离之比等于AD:BC.

2.四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB∥BC,对角线AC、BD相交于点E.求证：OE平分∠BEC.

直线和圆的位置关系
1. 如图，AB是⊙O的直径，BP切⊙O于点B，⊙O的弦AC平行于OP。(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)如果切线PC和BA的延长线相交于点D，且DA等于⊙O的半径，求证：.

2.如图，AT切⊙O于点T，CB为⊙O直径，∠BCT=30O,CT=，求BC、AC、S△ABT .

3.AB是⊙O的直径，CD⊥AB,AD、DB是方程x2-5x+4=0的两个根，求CD的长。

圆和圆的位置关系
1.如图，互相外切的两圆⊙O1和⊙O2都与∠MPN的两边PM、PN相切，若∠MPN=
60°，则小圆半径r1和大圆半径r2的比值为______．

2. 如图，⊙O1与⊙O2外切于T点，过点了的直线分别交两圆于点A、B，∠AO1T＝80°，C是⊙O2上任一点，则∠TCB=_____．

3. 如图，⊙O和⊙O1相交于A、B两点，一直线CEDF依次交⊙O于点C、D，交⊙O1于点E、F，则∠EAD+∠CBF＝_____度．

五、课内巩固性练习

1.（2011福建福州）如图,以为圆心的两个同心圆中,大圆的弦切小圆于点,若,则大圆半径与小圆半径之间满足（ ）
A． B． C． D．

2.（2011山东东营）如图，直线与x轴、y分别相交与A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切与点O。若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P′的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D． 5

3.（2011四川广安）如图l圆柱的底面周长为6cm，是底面圆的直径，高= 6cm，点是母线上一点且=．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A．（）cm B．5cm C．cm D．7cm

4.（11湘潭）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径 OA＝10 m，高度CD为_ ____m．

5.（2011四川宜宾）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC=_____．

6.如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是
7.如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标（0，4），M是圆上
一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB为⊙C直径．（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．

C
B
A
O
F
D
E
8.（11南昌）如图，为⊙O的直径，于点，交⊙O于点，于点．
（1）请写出三条与有关的正确结论；
（2）当，时，求圆中阴影部分的面积．

9.（2011广东肇庆）已知：如图，DABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC ＝∠DBA；
（2）求证：是线段AF的中点；
（3）若⊙O 的半径为5，AF ＝ ，求tan∠ABF的值．

·
A
B
C
D
E
O
F
P

六、课内巩固性练习批阅及讲解
教学内容与过程（三）
七、小结本次课内容

八、布置课外或家庭作业（另纸附上，应用题不得超过4道题）

学生对本次课的小结及评价
1、本次课你学到了什么知识

2、你对本次课评价： 特别满意 满意 一般 差 学生签字：
全职教师回访对象： 回访时间：
兼职教师课堂情况反馈（便于学管师回访）：

教师签字：

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