数学实验第八次讲稿.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,上一页,下一页,主 页,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,数学实验第八次讲稿,数学实验第八次讲稿数学实验第八次讲稿,Part I,：一元回归分析,一元线性回归模型,MATLAB,软件实现,一元非线性回归模型,实验内容,引例：,钢材消费量及国民收入的关系,一般的回归模型及任务,实验目的,返 回,2,Part II,：多元回归分析,多元线性回归分析,MATLAB,软件实现,范例：,某物质的化学反应问题,实验内容,引例：,某建筑材料公司的销售量因素分析,多元线性回归模型及任务,回主页,实验目的,2026/10/18,3,为了研究钢材消费量及国民收入之间的关系，在统计年鉴上查得一组历史数据。,年 份,1964,1965,1966,1978,1979,1980,消费,(,吨,),698,872,988,1446,2736,2825,收入,(,亿,),1097,1284,1502,2948,3155,3372,试分析预测若,1981,年到,1985,年我国国民收入以,4.5%,的速度递增，钢材消费量将达到什么样的水平？,引例：钢材消费量及国民收入的关系,2026/10/18,4,钢材消费量,-,试验指标,(,因变量,),Y,；,国民收入,-,自变量,x,；,作拟合曲线图形分析；,建立数据拟合函数,y,=E,（,Y,|,x,）,=,f,(,x,),。,假设,引例：钢材消费量及国民收入的关系,2026/10/18,5,y=a+bx,引例：钢材消费量及国民收入的关系,钢材消费量,y,及国民收入,x,的散点图,2026/10/18,6,回归分析是研究变量间相关关系的一种,统计方法,。,特点：试验指标（因变量）是随机变量。,假设：,1.,线性函数,ax+b,2.,正态性,x,x,0,E(Y|,x,0,),y,0,x,1,E(Y|,x,1,),一元线性回归模型：,引例：钢材消费量及国民收入的关系,返 回,2026/10/18,7,一元及多元,任务：,估计回归模型中的未知参数；,检验模型假设的正确性；,分析影响试验指标,y,的因素，挑选重要因素；,应用,预测与控制；,线性及非线性,一般的回归模型及任务,返 回,2026/10/18,8,模型：,基本概念：,已知数据,(x,i,y,i,)(i=1,2,n),如何利用,MATLAB,软件实现统计计算？,最小二乘估计，样本相关系数，残差向量，,残差平方和，均方平方和。,未知参数有,a,b,2,一元线性回归分析,2026/10/18,9,设观测值为,(,x,i,y,i,),（,i,=1,2,n,),代入模型中，,y,i,=,a,+,bx,i,+,i,最小二乘估计,解出的参数记为,则回归方程：,最小二乘法,:,一元线性回归分析,2026/10/18,10,样本相关系数,作用：主要用于模型检验,1,）,|r|1,2,）,|r|1,，线性相关,3,）,|r|0,，非线性相关,一元线性回归分析,2026/10/18,11,残差向量,残差平方和,均方平方和,由,组成的向量,一元线性回归分析,返 回,2026/10/18,12,MATLAB,软件实现,使用命令,regress,实现一元线性回归模型的计算,b=regress(Y,X),或,b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha),回归系数,a,，,b,以及它们的置信区间,残差向量,e=Y-Y,及它们的置信区间,相关系数,R,2,，,F-,统计量和与,0,对应的概率,p,。,残差及其置信区间可以用,rcoplot(r,rint),画图。,默认值是,0.05,2026/10/18,13,引例求解,输入：,(hg1.m),x=1097 1284 1502 1394 1303 1555 1917 2051 2111,2286 2311 2003 2435 2625 2948 3155 3372;,y=698 872 988 807 738 1025 1316 1539 1561,1765 1762 1960 1902 2013 2446 2736 2825;,X=ones(size(x),x,pause,c,cint,r,rint,stats=regress(y,X,0.05),pause,rcoplot(r,rint),2026/10/18,14,输出：,c=-460.5282(,参数,a,)0.9840(,参数,b,),cint=-691.8478 -229.2085 (,a,的置信区间,),0.8779 1.0900 (b,的置信区间,),r=79.1248 69.1244 -29.3788-104.1112 -83.5709 -44.5286,-109.7219 -18.5724 -55.6100 -23.8029 -51.4019 449.6576,-33.4128 -109.3651 5.8160 92.1364 -32.3827(,残差向量,),rint=,（略）（参见残差分析图）,stats=0.9631(R,2,)391.2713(F)0.0000(P,0,),引例求解,2026/10/18,15,第,12,个数据点异常，可删出,引例求解,2026/10/18,16,预测,x1(1)=3372;(hgy1.m),for i=1:5,x1(i+1)=1.045*x1(i);,%,未来五年国民收入以,4.5%,递增,y1(i+1)=-460.5282+0.9840*x1(i+1);,%,钢材的预测值,end,x1,y1,结果,x1=3372.0 3523.7 3682.3 3848.0 4021.2 4202.1,y1=3006.8 3162.9 3325.9 3496.3 3674.4,引例求解,返 回,2026/10/18,17,如果从数据的散点图上发现,y,及,x,没有直线关系，又如何计算？,例如，试分析年龄及运动（旋转定向）能力,年龄,17 19 21 23 25 27 29,第,1,人,第,2,人,20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35,24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3,一元非线性回归分析,2026/10/18,18,一元非线性回归分析,2026/10/18,19,假设模型,一元多项式回归在,matlab,软件中用命令,polyfit,实现。如前面的例子，具体计算如下：,输入,：,(phg1.m),x1=17:2:29;x=x1,x1;,y=20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35,24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3;,p,S=polyfit(x,y,2);p,注意：,x,，,y,向量的维数要一致。,S,是一个数据结构，用于其它函数的计算。,一元非线性回归分析,2026/10/18,20,计算,y,的拟合值：,输入：,Y,delta=polyconf(p,x,S);Y,结果：,Y=22.5243 26.0582 27.9896 28.3186 27.0450 24.1689 19.6904,22.5243 26.0582 27.9896 28.3186 27.0450 24.1689 19.6904,拟合效果图：,一元非线性回归分析,2026/10/18,21,用,polytool(x,y,2),还可以得到一个交互式画面。,Export,Parameters,Parameters CI,Prediction,Prediction CI,Residuals,All,一元非线性回归分析,2026/10/18,22,在工作空间中，输入,yhat,，回车，得到预测值。,一元非线性回归分析,返 回,2026/10/18,23,某建材公司对某年,20,个地区的建材销售量,Y,(,千方,),、推销开支、实际帐目数、同类商品竞争数和地区销售潜力分别进行了统计。试分析推销开支、实际帐目数、同类商品竞争数和地区销售潜力对建材销售量的影响作用。试建立回归模型，且分析哪些是主要的影响因素。,假设：推销开支,x,1,实际帐目数,x,2,同类商品竞争数,x,3,地区销售潜力,x,4,引例：,某建筑材料公司的销售量因素分析,2026/10/18,24,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,5.5,2.5,8.0,3.0,3.0,2.9,8.0,9.0,4.0,6.5,5.5,5.0,6.0,5.0,3.5,8.0,6.0,4.0,7.5,7.0,31,55,67,50,38,71,30,56,42,73,60,44,50,39,55,70,40,50,62,59,10,8,12,7,8,12,12,5,8,5,11,12,6,10,10,6,11,11,9,9,8,6,9,16,15,17,8,10,4,16,7,12,6,4,4,14,6,8,13,11,79.3,200.1,163.2,200.1,146.0,177.7,30.9,291.9,160.0,339.4,159.6,86.3,237.5,107.2,155.0,201.4,100.2,135.8,223.3,195.0,x,1,x,2,x,3,x,4,y,1,1,1,1,.,.,.,1,1,1,1,1,X=,统计数据,2026/10/18,25,引例：,某建筑材料公司的销售量因素分析,数据能否可视化？即通过散点图去发现,y,及,x,1,x,2,x,4,的函数关系？,由一元回归模型得到启示，我们是否,欲寻找关系：,y,=E(Y|,x,1,x,2,x,3,x,4,),即,y,=,f,(,x,1,x,2,x,3,x,4,),？,2026/10/18,26,模型假设：,1,、因变量,Y,是随机变量，并且它服从正态分布；,2,、,f,(,x,1,x,2,x,3,x,4,),是线性函数,(,非线性,),；,模型：,引例：,某建筑材料公司的销售量因素分析,返 回,2026/10/18,27,多元线性回归模型,任务：,在回归模型中如何估计参数,i,(i=0,1,m),和,2,？,模型的假设,(,线性,),是否正确？,判断每个自变量,x,i,(i=1,m),对,Y,的影响是否显著？,利用回归方程对试验指标,Y,进行预测或控制？,知识简介,多元线性回归模型及任务,返 回,2026/10/18,28,根据,观测数据,(,x,i1,x,i2,x,im,y,i,),，,i=1,2,n,确定回归系数,最小二乘法,任务一：参数估计,多元线性回归分析,2026/10/18,29,矩阵表达形式,y,的,估计值,：,拟合误差,e=y y,称为,残差向量,残差平方和,多元线性回归分析,2026/10/18,30,1,）,F-,统计检验法,任务二：模型检验,多元线性回归分析,提出问题,2,）相关系数,R,检验法,2026/10/18,31,任务三：因素分析,多元线性回归分析,提出问题,检验方法,任务四：应用,返 回,预测、控制,2026/10/18,32,b=regress(Y,X),或,b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha),1,、,regress,语句的功能,回归系数,0,1,m,以及它们的置信区间,残差向量,e=Y-Y,及它们的置信区间,相关系数,R,2,，,F-,统计量和与,F,对应的概率,p,。,MATLAB,软件实现线性回归分析,2026/10/18,33,输入：,(jzhui.m),x1=5.5 2.5 8 3 8 6 4 7.5 7;(20,维）,x2=31 55 67 55 70 40 50 62 59;,x3=10 8 12 11 11 9 9;,x4=8 6 9 16 8 13 11;,y=79.3 200.1 135.8 223.3 195;,X=ones(size(x1),x1,x2,x3,x4;,b,bint,r,rint,stats=regress(y,X),引例求解,MATLAB,软件实现线性回归分析,2026/10/18,34,输出结果：,b=191.9158 -0.7719 3.1725 -19.6811 -0.4501,0,1,2,3,4,bint=103.1071 280.7245,（系数的置信区间）,r=-6.3045 -4.2215 8.4422 23.4625 3.3938,rint=,（略）,stats=0.9034,（,R,2,）,35.0509,（,F,）,0.0000,（,p,）,Q=r*r,2,=Q/(n-2)=537.2092,（近似）,引例求解,MATLAB,软件实现线性回归分析,2026/10/18,35,残差向量分析图,2026/10/18,36,任务三（因素分析）如何实现？,stepwise(X,y,inmodel,alfha),如上例，输入：,X=x,1,x,2,x,3,x,4,;,stepwise(X,y,1,2,3),引例求解,逐步回归,MATLAB,软件实现线性回归分析,2026/10/18,37,模型中均方差历史数据记载表,参变量数据分析表,Stepwise,语句功能介绍,2026/10/18,38,Stepwise,语句功能介绍,2026/10/18,39,经过观察，得到各种情况下的均方差对比：,变量组合,x,1,x,2,x,1,x,3,x,1,x,4,x,2,x,3,x,2,x,4,x,3,x,4,RMSE,53,51.96,61.77,23.96,52.96,44.75,变量,组合,x,1,x,2,x,3,x,1,x,2,x,4,x,1,x,3,x,4,x,2,x,3,x,4,x,1,x,2,x,3,x,4,RMSE,24.65,54.43,45.86,24.64,25.39,MATLAB,软件实现线性回归分析,引例求解,2026/10/18,40,最佳回归方程,思考：如何进行预测？,restool(X,y,model),引例求解,MATLAB,软件实现线性回归分析,2026/10/18,41,MATLAB,软件能否实现,非,线性回归分析？,MATLAB,软件实现线性回归分析,可以！请学习一个范例,返 回,2026/10/18,42,为了研究三种化学元素：氢、,n,戊烷和异构戊烷及生成物的反应速度,Y,(%),之间的关系，经试验测定得到某些数据。试建立非线性回归模型，并进行统计分析。,范例：某物质的化学反应问题,2026/10/18,43,y=b,0,+b,1,x,1,+b,2,x,2,+b,3,x,3,+,(,linear terms,),b,12,x,1,x,2,+b,13,x,1,x,3,+b,23,x,2,x,3,+,(interaction terms,),b,11,x,1,2,+b,22,x,2,2,+b,33,x,3,2,+,(,quadratic terms,),N,(,0,2,),范例：某物质的化学反应问题,假设及建模一,在各因素及指标,(,因变量,),之间的信息,“,一无所知,”,的情况下，假设模型,Y=f,(,x,1,x,2,x,3,),+,中的函数,f,是多项式形式，即,2026/10/18,44,linear:,（缺省）,y,=,0,+,1,x,1,+,m,x,m,purequadratic:,y,=,0,+,1,x,1,+,m,x,m,+,j=1 to m,j,*,x,j,2,interaction:,y,=,0,+,1,x,1,+,m,x,m,+,1jk m,jk,x,j,x,k,quadratic(,完全二次，以上模型之和,),其中,model,有以下四种选择：,范例：某物质的化学反应问题,rstool(X,y,model,alpha),（,二次多项式回归分析的语句）,MATLAB,软件实现,2026/10/18,45,load reaction,（调出数据）,Whos,（查看数据名称及大小）,Name Size Bytes Class,beta 5x1 40 double array,model 1x6 12 char array,rate 13x1 104 double array,reactants 13x3 312 double array,xn 3x10 60 char array,yn 1x13 26 char array,三个自变量,因变量,Y,范例：某物质的化学反应问题,2026/10/18,46,X=reactants;,y=rate;,rstool(X,y,quadratic),Export,Parameters,RMSE,Residuals,All,Linear,Pure Quadratic,Interactions,Full Quadratic,User Specified,范例：某物质的化学反应问题,2026/10/18,47,在工作空间可以分别给出,参数估计值、残差平方和、残差向量,。,范例：某物质的化学反应问题,2026/10/18,48,假定由实际问题背景分析知经验公式为：,MATLAB,软件的,非线性回归分析功能介绍,nlintool(X,y,model,beta),以,M-,文件形式建立模型,模型中未知参数向量,范例：某物质的化学反应问题,假设及建模二,2026/10/18,49,一般非线性回归模型建立及步骤,建立,M-,函数文件,(hougen.m);,执行,(hgy3.m),nlinfit(X,y,hougen,beta),nlintool(X,y,hougen,beta,0.01),要辩识的参数,范例：某物质的化学反应问题,返 回,2026/10/18,50,实验内容,1,、确定企业年设备能力及年劳动生产率的关系,某市电子工业公司有,14,个所属企业，各企业的年设备能力及年劳动生产率统计数据如下表。试分析企业年设备能力与年劳动生产率的关系。若该公司计划新建一个设备能力为,9.2,千瓦,/,人的企业，估计劳动生产率将为多少？,2026/10/18,51,企业,设备能力,(,千瓦,/,人,劳动生产率,企业,设备能力,劳动生产率,1,2.8,6.7,8,4.8,9.8,2,2.8,6.9,9,4.9,10.6,3,3.0,7.2,10,5.2,10.7,4,2.9,7.3,11,5.4,11.1,5,3.4,8.4,12,5.5,11.8,6,3.9,8.8,13,6.2,12.1,7,4.0,9.1,14,7.0,12.4,实验内容,2026/10/18,52,一矿脉有,13,个相邻样本点，人为地设定一个原点，现测得各样本点及原点的距离,x,，及该样本点处某种金属含量,y,的一组数据如下：,2,、测定某矿脉的金属含量,x,y,2 3 4 5 7 8 10,106.42 109.2 109.58 109.5 110 109.93 110.49,x,y,11 14 15 15 18 19,110.59 110.6 110.9 110.76 111 111.2,试建立合适的回归模型。（首先画散点图）,实验内容,返 回,2026/10/18,53,3,、某公司出口换汇成本分析,对经营同一类产品出口业务的公司进行抽样调查,被调查的,13,家公司,其出口换汇成本及商品流转费用率资料如下表。试分析两个变量之间的关系,并估计某家公司商品流转费用率是,6.5%,的出口换汇成本。,实 验 内 容,2026/10/18,54,公司,出口换汇成本,人民币元,/,美元,商品流转费,用率,(%),公司,出口换汇成本,人民币元,/,美元,商品流转费,用率,(%),1,2,3,4,5,6,7,1.40,1.20,1.00,1.90,1.30,2.40,1.40,4.20,5.30,7.10,3.70,6.20,3.50,4.80,8,9,10,11,12,13,1.60,2.00,1.00,1.60,1.80,1.40,5.50,4.10,5.00,4.00,3.40,6.90,实 验 内 容,结 束,返 回,2026/10/18,55,汇报结束,谢谢大家,!,请各位批评指正,