竟赛数学整数整除性讲解.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,*,竟赛数学整数整除性讲解,竟赛数学整数整除性讲解竟赛数学整数整除性讲解,整数的整除性,2,2,预备知识,整除的定义,：,对于两个整数a、,b,（,b,0），若存在一个整数,c,使得 成立，则称,b,整除a，或a被,b,整除，记作d|a。否则，称,b,不整除,a,，记作,b,a。,3,预备知识,性质一,设,a,、,b,、,c,是整数,a,|a；,若,a,|,b,，,b,|,c,，则,a,|,c,；,若,a,|,b,，,a,|,c,，则对任意的整数m、,n,有,a,|,b,m,+cn,（这一性质还可以推广到更多项的和）；,若b|a，则b|(-a)，且对任意的非零整数m有bm|am；,若a|b，b|a，则|a|=|b|；,性质二,若,（a，b）=1,，且,a,|,b,c,，则,a,|c；,若（a，b）=1，且,a,|c、,b,|c，则,ab,|c；,若,a,|,b,c，而,a,为素数，则,a,|,b,，或,a,|c,4,预备知识,性质三,设,m,、,n,、是整数,若等式 中，除某一项外，其余各项都能被,c,整除，,则这一项也能被,c,整除。,例如：若,2,|,2a+4b-3c,，则,2|3c,，即,2|c,5,04,数学归纳法,02,利用连续整数之积的性质,Lorem ipsum,05,反证法,Lorem ipsum,03,利用整数的奇偶性,Lorem ipsum,01,利用,数的,整除性,特征,例,1,、例,2,、例,3,整除性问题的证明方法,Lorem ipsum,6,例题讲解,例,1,：如果,u,和,v,是整数，能被,9,整除，那么，,u,和,v,都能被,3,整除。,7,例题讲解,例,1,：如果,u,和,v,是整数，能被,9,整除，那么，,u,和,v,都能被,3,整除。,证明：,3,是素数,，即,从而 ，故,3|u,或者,3|v,当,3|u,时，结合,3|,（,u-v,），则,3|v.,问题得证。,性质三,性质二（,3,）,性质三,8,例题讲解,例,2,：,1987,可以在,b,进位制中写成三位数 ，如果,请确定所有可能的,x,、,y,、,z,和,b,（加拿大，,1987,）,解析：书本,42,页例,13,分析：,1987,用,b,进位制表示成三位数 ，即 同时知道 ，将,1987,表示成,b,进制，如果求出,b,的值，那么,x,、,y,、,z,的值可直接求出。,9,例题讲解,例,3,：一个八位数,19abcd83,能被,1983,整除求这个八位数。,解：设这个八位数为,A,，,则：,A=,19abcd83=19000083+100,=19839581+960+100,=,19839581+10,（,96+10,）,因为,1983|A,，（,1983,，,10,）,=1,，所以,1983|,（,96+10,）,即：,96+10=1983k,（,kZ,）,10=1983k-96,等式左边个位上是,0,，所以,k,的个位上应该是,2,（,*,）,又因为,1983k-96,100000,，所以,k,50.47,（,*,）,综合（,*,）和（,*,）可知,k,能取,2,、,12,、,22,、,32,、,42,，相对应的,的值可以为,0387,、,2370,、,4353,、,6336,、,8319,，故所求八位数,可取：,19038783,、,19237083,、,19455383,、,19633683,、,19831983,10,04,数学归纳法,Lorem ipsum,02,利用连续整数之积的性质,例,4,、例,5,05,反证法,Lorem ipsum,03,利用整数的奇偶性,Lorem ipsum,01,利用数的整除性特征,例,1,、例,2,、例,3,整除性问题的证明方法,11,预备知识,任意两个连续整数之积必定是一个奇数及一个偶数之积，因此一定可被2整除。,任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被23=6整除。,这个性质可以推广到任意个连续整数之积。,12,例题讲解,例,4,：设,n,是正整数，求证 可被,30,整除,证明：,因为 是五个连续整数，故这五个整数中一定有,2,3,5,的倍数,又因为,2,3,5,互素，所以,30|,，,同理可得,6|,，即,30|,因此,30|,13,例题讲解,例,5,已知,a,，,b,，,c,是正整数，若,6|a+b+c,，则,证明：因为,由于,3,个连续的数既能被,2,整除，又能被,3,整除，所以,故,14,04,数学归纳法,Lorem ipsum,02,利用连续整数之积的性质,例,4,、例,5,05,反证法,Lorem ipsum,03,利用整数的奇偶性,例,6,、例,7,01,利用数的整除性特征,例,1,、例,2,、例,3,整除性问题的证明方法,15,例题讲解,例,6,：,n,个整数,a,1,、,a,2,、,a,3,、,a,4,、,.a,n,其积等于,n,，其和等于,0,，试证,4|n,证明：假设,n,为奇数，由 ，,知,a,1,、,a,2,、,a,3,、,a,4,、,.a,n,全为奇数,则 是奇数，及 矛盾，故,2|n,假设,4,n,，那么,a,1,、,a,2,、,a,3,、,a,4,、,.a,n,中只有一个偶数，不,妨设,a,1,是偶数，,a,2,、,a,3,、,a,4,、,.a,n,是奇数，则,是奇数,即 及 矛盾,综上所述,4|n,16,例题讲解,例,7,：设,a,、,b,、,c,是三个互不相等的正整数，求证,a,3,b-ab,3,，,b,3,c-bc,3,，,c,3,a-ca,3,三个数中至少有一个数能被,10,整除,（,40,页，例,9,）,17,例题讲解,例,7,：设,a,、,b,、,c,是三个互不相等的正整数，求证,a,3,b-ab,3,，,b,3,c-bc,3,，,c,3,a-ca,3,三个数中至少有一个数能被,10,整除,18,04,数学归纳法,例,8,02,利用连续整数之积的性质,例,4,、例,5,05,反证法,Lorem ipsum,03,利用整数的奇偶性,例,6,、例,7,01,利用数的整除性特征,例,1,、例,2,、例,3,整除性问题的证明方法,19,例题讲解,例,8,：设,n,是正整数，求证：,512|,20,例题讲解,例,8,：设,n,是正整数，求证：,512|,21,例题解析,例,8,：设,n,是正整数，求证：,512|,22,04,数学归纳法,例,8,02,利用连续整数之积的性质,例,4,、例,5,05,反证法,例,9,、例,10,03,利用整数的奇偶性,例,6,、例,7,01,利用数的整除性特征,例,1,、例,2,、例,3,整除性问题的证明方法,23,例题讲解,例,9,：证明对每个整数,x,，,x,2,+5x+16,不能被,169,整除,证明：,x,2,+5x+16=,（,x-4,）,2,+13x,假设,169|,x,2,+5x+16,，则,13|,（,x-4,）,2,因为,13,是素数，所以,13|,（,x-4,），从而,169|,（,x-4,）,2,又因为,169|x,2,+5x+16,，,所以,169|13x,，即,13|x,，这及,13|,（,x-4,）矛盾,因此,x,2,+5x+16,不能被,169,整除,24,其它方法,构造法,A,递推法,B,逐步调整法,C,.,D,25,THANKS,26,谢谢,