高等数学函数的单调性和凹凸性模板.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等数学函数的单调性和凹凸性模板,高等数学函数的单调性和凹凸性模板高等数学函数的单调性和凹凸性模板一、函数单调性的判别法 二、曲线的凹凸与拐点 主要内容：,一、函数单调性的判别法,二、曲线的凹凸与拐点,主要内容：,一、函数单调性的判定法,o,o,a,b,a,b,从导数的几何意义考察函数的单调性：,定理1,严格单调,(2),区间内个别点导数为零,不影响区间的严格单调性.,例如,注意:,(1)定理条件中的闭区间换成一般区间，定理的结论仍然成立；,例1.,解,注意:,函数的单调性是一个区间上的性质,要用,一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,.,导数在这一区间上的符号来判定,而不能用,令,得,把 分成两个区间,例2.,解:,单调区间的分界点除驻点外,也可能是导数不存在的点.,说明:,把函数的定义域区间分成若干个区间，,总结求单调区间的步骤,1写出函数的定义域，并求出函数的导数,2求出导函数的零点、和导数不存在的点(不可导点),3以导数等于零的点、不可导点为分点，,并确定导函数在各个区间内的符号，,从而确定函数在每个区间内的单调性。,解:,令,得,故,的,单调增,区间为,的,单调减,区间为,练习,解,5/21,例4,证,注,利用导数符号与单调性之间的关系可证明一些不等式。,练习.,证明,时,成立不等式,证:,令,从而,因此,且,二、曲线的凹凸与拐点,图形上任意弧段位于所张弦的上方。,图形上任意弧段位于所张弦的下方。,问题,:,如何用准确的数学语言描述曲线的弯曲方向?,定义1,设函数,在区间 I 上连续,(1),若恒有,则称,图形是,凹的,;,(2)若恒有,则称,图形是,凸的,.,18,曲线凹凸的判定,定理2,定理2.(凹凸判定法),(1)在,I,内,则 在,I,内图形是凹的;,(2)在,I,内,则 在,I,内图形是凸的.,证:,设函数,在区间,I,上有二阶导数,只证(2),由定义只须证：,只须证：,只须证：,记作,只须证：,定理2.(凹凸判定法),(1)在,I,内,则 在,I,内图形是凹的;,(2)在,I,内,则 在,I,内图形是凸的.,证:,设函数,在区间,I,上有二阶导数,只证(2),由定义只须证：,只须证：,分别在区间,上应用拉格朗日中值定理,得,这说明 在,I,内单调递减.,21,例,5,判断曲线,的凹凸性.,解,上是凸的.,22,例,6,解,注意到,定义2,若连续曲线 在其上一点,的两侧凹凸性相反，则称此点为曲线 的,拐点.,x,y,o,y,=,f,(,x,),注：,拐点是凹弧与凸弧的分界点,证,注意:,例如,例如,y,x,o,y,x,o,1写出函数的定义域，并求出函数的导数及二阶导数,2求出二阶导函数的零点、和不存在的点,3检查这些点左右两侧符号，从而判定曲线的凹凸性,注意,判断曲线的凹凸性和拐点的步骤：,例7.,求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1)求,2),求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3)列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸,点,(0,1),及,均为拐点.,凹,凹,凸,例8,讨论 的凹凸性及拐点.,解：,x,y,o,1,x,0,0,不存在,y,凸,拐点,凹,非拐点,凹,曲线的,凹凸性,反映的是,不等式,关系：,(1)若曲线的图形是,凹,的（即 ），则有,(2)若曲线的图形是,凸,的（即 ），则有,注：,利用凹凸性也可以证明一些不等式。,例9,解,31,例10,2.曲线凹凸与拐点的判别,+,拐点,连续曲线上凹凸弧的分界点,小结,1.可导函数单调性判别,在,I,上单调递增,在,I,上单调递减,思考题,思考题解答,不能断定.,例,但,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内，都不单调递增,Thank You,世界触手可及,携手共进，齐创精品工程,