[自然科学]向量的内积与向量组的正交变换.ppt

单击此处编辑母版标题样式,定义5.,5,内积,一、向量内积的定义及性质,引例,1.,doc,第三节 实对称矩阵的特征值和特征向量,说明,:,1.,维向量的内积是,3,维向量数量积,的推广，但是没有,3,维向量直观的几何意义,内积的运算性质,定义5.,6,令,长度,范数,向量的长度具有下述性质：,二、向量的长度及性质,向量的内积满足：,上式称为施瓦茨不等式。,(,在,中向量,的长度就是对应点到原点的距离,),单位向量：,长度为,1,的向量称为单位向量，对于,中的任,一非零,向量,向量单位化：,向量用向量的长度去除，就得到一个单位,向量。,这一,不等式称为柯西布涅夫斯基不等式，它说明,中的任意两个向量的内积与它们长度之间的关系。,解:,单位向量,夹角,若,一非零,向量组中的向量两两正交，即：,则称该向量组为正交向量组,三、正交向量组的概念及求法,正交的概念,定义5.,7:,正交向量组的概念,定义5.,8:,（,一）正交向量组的概念,证明,:,（1,）,正交化,，取,，,（二）向量组正交化方法,引例,2.,doc,（2,）,单位化,(,规范化,),，取,上述正交化方法亦可这样表述：,取：,例,:,用施密特正交化方法，将向量组,正交规范化,.,解:,先,正交化,，,取,施密特正交化过程,再,单位化,，,得规范正交向量组如下,例,解：,再把,它们单位化，取,几何解释,例：,解：,把,基础解系正交化，即合所求亦即取,证明,定义5.,9:,四、正交矩阵,定理5.,9:,为正交矩阵的充要条件是 的列向量都,是单位向量且两两正交,（按,列分,块）,推论,：若,A、B,是正交矩阵，,则（,1）,det,A,=1,或-1,：,（,2）,A,T,（,A,-1,）,也是正交矩阵；,（,3）,AB,也是正交矩阵；,（,4）,A,*,也是正交矩阵。,证明,（,1）,A,是正交矩阵，,（2）,或：,（3）,（4）,例：,判别下列矩阵是否为正交阵,解：,所以它不是正交矩阵,考察矩阵的第一列和第二列，,由于,所以它是正交矩阵,由于,例：,解,1,将一组向量规范正交化的方法：,先用施密特正交化方法将其正交化，然后再将,其单位化,2,为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：,求一单位向量，使它与,正交,思考题,思考题解答,五、实对称矩阵的特征值和特征向量,说明,：本节所提到的对称矩阵，除非特别说,明，均指,实对称矩阵,定理5.,11:,实,对称矩阵对应于不同特征值的,特征向量是正交的。,定理5.,10:,对称矩阵的特征值为实数,.,(,证明从略,),于是,它们的重数依次为,如果,n,阶实对称矩阵,A,有,m,个不同的特征值,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化,为对角矩阵，其具体步骤,为：,利用正交矩阵将对称矩阵对角化的,方法,将特征向量正交化,;,3.,将特征向量单位化,.,4.,2.,1.,解：,例7,：,对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，,使 为对角阵,.,(1),第一步 求 的特征值,解之得基础解系,解之得基础解系,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,于是得正交阵,1.,对称矩阵的性质：,(1),特征值为实数；,(2),属于不同特征值的特征向量正交；,(3),特征值的重数和与之对应的线性无关的,特征向量的个数相等；,(4),必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，,且对角矩阵对角元素即为特征值,2.,利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1),求特征值；,(2),找特征向量；,(3),将特征向,量正交化；,(4),最后单位化,思考题,思考题解答,