九年级概率知识点总结及题型汇总.pdf

概率知识点总结及题型汇总 一、确定事件：包括必然事件和不可能事件 1、在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件。必然事件是指一定能发生的事件，或者说发生的可能性是 100%；如：从一包红球中，随便取出一个球，一定是红球。2、在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件。不可能事件是指一定不能发生的事件，或者说发生的可能性是 0，如：太阳从西边出来。这是不可能事件。3、必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0 二、随机事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同一个随机事件发生的可能性的大小用概率来表示。三、例题：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是随机事件，哪些是不可能事件，哪些是确定事件？一个玻璃杯从一座高楼的第 10 层楼落到水泥地面上会摔破；明天太阳从西方升起；掷一枚硬币，正面朝上；某人买彩票，连续两次中奖；今天天气不好，飞机会晚些到达解：必然事件是；随机事件是；不可能事件是 确定事件是三、概率1、一般地，对于一个随机事件 A，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为 P(A)（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率为 P(A)=mn（1）一般地，所有情况的总概率之和为 1。（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近 1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近 0。（5）一个事件的概率取值：0P（A）1当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为 1，即 P（必然事件）1 不可能事件的概率为 0，即 P（不可能事件）0 随机事件的概率：如果 A 为随机事件，则 0P（A）1（6）可能性与概率的关系事件发生的可能性越大，它的概率越接近于 1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近 03、求概率的步骤：(1)列举出一次试验中的所有结果(n 个)；(2)找出其中事件 A 发生的结果(m 个)；(3)运用公式求事件 A 的概率：P(A)=mn5、在求概率时，一定要是发生的可能性是相等的，即等可能性事件等可能性事件的两种特征：（1）出现的结果有限多个;（2）各结果发生的可能性相等；例 1：图 1 指针在转动过程中，转到各区域的可能性相等，图 3 中的第一个图，指针在转动过程中，转到各区域的可能性不相等，由上图可知，在求概率时，一定是出现的可能性相等，反映到图上来说，一定是等分的。例 2、下列事件哪些是等可能性事件？哪些不是？（1）抛掷一枚图钉，钉尖朝上或钉帽朝上或横卧。不是（2）某运动员射击一次中靶心或不中靶心。不是（3）从分别写有 1，3，5，7 中的一个数的四张卡片中任抽一张结果是 1，或 3 或 5或 7。是6、求概率的通用方法：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫列举法 列举法包括枚举法、列表法、树状图法（1）枚举法（列举法）：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。（3）列树形图法：当一个实验要涉及 3 个或更多的因素（例如从 3 个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。四、频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 会稳定在某个常数 p 附mn近，那么，这个常数 p 就叫作事件 A 的概率，记为 P（A）=P。五、概率公式中 m、n 之间的数量关系，P（A）的取值范围。在概率公式 P(A)=中 m、n 取何值，m、n 之间的数量关系，P（A）的取值范围。mn0 mn,m、n 为自然数0 1,0P(A)1.mn当 m=n 时,A 为必然事件，概率 P(A)=1，当 m=0 时,A 为不可能事件，概率 P(A)=0.0P(A)1六、几何概率1、如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。（1）几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.2)每个基本事件出现的可能性相等.（2）在几何概型中,事件 A 的概率的计算公式如下:七、例题汇总（一）确定三事件确定三事件 例 1 下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是不确定事件？哪些是确定事件？，分析其发生概率的大小（1）抛掷一枚均匀的骰子，6 点朝上；（2）367 人中有 2 人的出生日期相同；（3）1+32；（4）太阳从西边升起 解析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可（1）抛掷一枚均匀的骰子，1，2，3，4，5，6 点都有可能朝上，故 6 点不一定朝上；（2）一年有 365（或 366）天，故 367 人中必然有 2 人的出生日期相同；（3）1+3 肯定大于 2；（4）太阳不可能从西边升起由以上分析知：（1）是不确定事件，（2）（3）是必然事件，（4）是不可能事件 （2）（3）（4）是确定事件发生概率的大小判断，首先需要理解必然事件、不可能事件、不确定事件的意义必然事件是指一定会发生的事件，发生的概率是 1；不可能事件是指不可能发生的事件，发生的概率是 0；不确定事件是指可能发生也可能不发生的事件，发生的概率介于 0 和 1 之间 例 2、下列事件属于必然事件的是（）A.打开电视，正在播放新闻B.我们班的同学将会有人成为航天员 C.实数 a0，则 2a0D.新疆的冬天不下雪 解析：A 是随机事件，因为可能是播新闻也可能是其它电视节目；B 为随机事件，一个班有几十个学生当然有可能成为航天员；D 是不可能事件，因为新疆气温低，每年都会下雪故选 C 例 3、（福建龙岩）下列事件：在足球赛中，弱队战胜强队；抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；任取两个正整数，其和大于 1；长分别为 3、5、9 厘米的三条线段能围成一个三角形其中确定事件的个数是（）A1 B2 C3 D4 B 解析：是确定事件 （二）概率意义的理解（二）概率意义的理解 例例 1、某商场举办购物有奖活动，在商场购满价值 50 元的商品可抽奖一次，丽丽在商场购物共花费 120 元，按规定抽了两张奖券，结果其中一张中了奖，能不能说商场的抽奖活动中奖率为 50%？为什么？（面积或体积）面积或体积事 事事 事事 事事 事事 事事 事事 事事 事事 事事 事事 事事 事事 事事 事事 事)(事 事事 事事 事事 事A A事 事事 事事 事事 事事 事P P(A A)解析：解析：因为中奖是不确定事件，而计算中奖率应该是以中奖的奖券数除以奖券的总数，但这些数据在本题中没有给出，所以不能计算出这次抽奖活动的中奖率，所以不能说商场的抽奖活动中奖率为 50%.点评点评：概率是在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定常数的附近摆动，显示一定的稳定性，它是大量试验的结论随机事件每次发生的结果是不可以预见的，但每次发生的概率是不变的例 2、下列说法正确的是 （）A.某市“明天降雨的概率是 75”，表示明天有 75的时间会降雨B.随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面一定朝上C.在一次抽奖活动中，“中奖的概率是”表示抽奖 l00 次就一定会中奖1100D.在平面内，平行四边形的两条对角线一定相交解析：明天降雨的概率是 75是说明明天有 75%的可能性会降雨，而不是说明天有 75%的时间在下雨；抛一枚硬币正面朝上的概率是 0.5，说的是在做大量的抛一枚硬币的试验中，有一半的可能性出现正面朝上，而随机抛一格硬币落地后正面不一定朝上；抽奖活动中，中奖的概率为，指的是每抽奖一次都有的可能性中奖；故 A、B、C 都错，因而选 D.11001100（三）利用简单枚举法求概率例例 1 某小商店开展购物摸奖活动，声明：购物时每消费 2 元可获得一次摸奖机会，每次摸奖时，购物者从标有数字 1，2，3，4，5 的 5 个小球（小球之间只有号码不同，其他均相同）中摸出一球，若号码是 2 就中奖，奖品为一张精美图片（1）摸奖一次得到一张精美图片的概率是多少？（2）一次，小聪购买了 10 元钱的物品，前 4 次摸奖都没有摸中，他想：“第 5 次摸奖我一定能摸中”，你同意他的想法吗？说说你的想法解析：解析：（1）每次摸奖时，有 5 种情况，只有摸到号码是 2 的球才中奖，于是得到一张精美图片的概率是 P=；15（2）不同意，因为小聪第 5 次得到一张精美图片的概率仍是，所以他第 5 次不一定中15奖点评点评：此题考查概率的求法：如果一个试验有 n 种等可能的结果，事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）=，解题时注意对概率意义的理解.mn例例 2、随意地抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么这粒豆子停在黑色方格中的概率是 解析解析：1、这粒豆子落在每一个方格中的可能性是一样的，因此这粒豆子停在方格中的可能性共有 12 种，黑色方格的可能性有四种，所以黑色方格中的概率等于311242、黑色方格中的概率等于黑色方格的面积与所有方格的面积比设每个方格的面积是 1，则 P（这粒豆子停在黑色方格）=31124点评点评：概率的大小与面积大小有关.事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成的图形面积例 3、掷两枚硬币，求下列事件的概率（1）两枚硬币正面全部朝上；（2）两枚硬币反面全部朝上（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。解：用枚举法（列举法）列出可能的结果是：正正、正反、反正、反反。所有结果共有 4种。并且这四个结果出现的可能性相等。用列表法：解:其中一枚硬币为 A,另一枚硬币为 B,则所有可能结果如表所示:正反正(正,正)(正,反)反(反,正)(反,反)（1）所有的结果中，满足两枚硬币全部正面朝上（记为事件 A）的结果只有一个，即“正正”所以 P（A）=1/4（2）所有的结果中，满足两枚硬币全部反面朝上（记为事件 B）的结果只有一个，即“反反”所以 P（B）=1/4（3）所有的结果中，满足一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上（记为事件 C）的结果共有 2 个，即“正反”“反正”所以 P（C）=2/4=1/2 例 4、一口袋中装有四根长度分别为 1cm，3cm，4cm 和 5cm 的细木棒，小明手中有一根长度为 3cm 的细木棒，现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起，回答下列问题：（1）求这三根细木棒能构成三角形的概率；（2）求这三根细木棒能构成直角三角形的概率；（3）求这三根细木棒能构成等腰三角形的概率解析：从四根木棒中任选两根，共有以下六种情况：（1，3）、（1，4）、（1，5）、（3，4）、（3，5）、（4，5），其中与 3cm 长的线段构成三角形的有（1，3，3）、（3，3，4）、（3，3，5）、（3，4，5）四种；构成直角三角形的有（3，4，5）一种；构成等腰三角形的有（1，3，3）、（3，3，4）、（3，3，5）三种，所以有：（1）P（构成三角形）=；（2）P（构成直角三角形）=；426316（3）P（构成等腰三角形）=3612（四）（四）列表法求概率列表法求概率当试验涉及两个因素当试验涉及两个因素(例如两个转盘例如两个转盘)并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有的结果，通常采用所有的结果，通常采用“列表法列表法”。例 1、如图,袋中装有两个完全相同的球,分别标有数字“1”和“2”.小明设计了一个游戏:游戏者每次从袋中随机摸出一个球,并自由转动图中的转盘(转盘被分成相等的三个扇形).游戏规则是:如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为 2,那么游戏者获胜.求游戏者获胜的概率.解解:每次游戏时每次游戏时,所有可能出现的结果如下所有可能出现的结果如下:1231（1，1）（1,2）（1,3）2（2,1）（2,2）（2,3）总共有总共有 6 种结果种结果,每种结果出现的可能性相同每种结果出现的可能性相同,而所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为而所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2 的结果只有一种的结果只有一种:(1,1),因此游戏者获胜的概率为因此游戏者获胜的概率为 1/6.例例 2、如图，甲转盘的三个等分区域分别写有数字、如图，甲转盘的三个等分区域分别写有数字 1、2、3，乙转盘的四个等分区域分别，乙转盘的四个等分区域分别123写有数字写有数字 4、5、6、7。现分别转动两个转盘，求指针所指数字之和为偶数的概率。现分别转动两个转盘，求指针所指数字之和为偶数的概率。解：列表解：列表45671（1,4）（1,5）（1,6）（1,7）2（2 2,4）（2 2,5）（2 2,6）（2 2,7）3（3 3,4）（3 3,5）（3 3,6）（3 3,7）共有共有 12 种不同结果，每种结果出现的可能性相同，其中数字和为偶数的有种不同结果，每种结果出现的可能性相同，其中数字和为偶数的有【6 】种种P（数字和为偶数）（数字和为偶数）=6/12=1/2例例 3、例、同时掷两个质地均匀的骰子、例、同时掷两个质地均匀的骰子,计算下列事件的概率计算下列事件的概率:(1)两个骰子的点数相同两个骰子的点数相同(2)两个骰子点数之和是两个骰子点数之和是 9(3)至少有一个骰子的点数为至少有一个骰子的点数为 2分析：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，分析：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法。为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法。解解:两枚骰子分别记为第两枚骰子分别记为第 1 枚和第枚和第 2 枚枚.列出所有可能的结果：列出所有可能的结果：1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)由表可看出，同时投掷两个骰子，可能出现的结果有由表可看出，同时投掷两个骰子，可能出现的结果有 36 种，它们出现的可能性相等。种，它们出现的可能性相等。（1）满足两个骰子点数相同（记为事件）满足两个骰子点数相同（记为事件 A）的结果有）的结果有 6 种，种，P(A)=6/36=1/6(2)满足两个骰子点数和为满足两个骰子点数和为 9（记为事件（记为事件 B）的结果有）的结果有 4 种，种，P(B)=4/36=1/9(3)满足至少有一个骰子的点数为满足至少有一个骰子的点数为 2（记为事件（记为事件 C）的结果有）的结果有 11 种，种，P(C)=11/36甲乙1234567 思考题：如果把刚刚这个例题中的思考题：如果把刚刚这个例题中的“同时掷两个骰子同时掷两个骰子”改为改为“把一个骰子掷两次把一个骰子掷两次”,所得所得的结果有变化吗的结果有变化吗?没有变化没有变化 （五）树形图法求概率（五）树形图法求概率 当一个实验要涉及 3 个或更多的因素（例如从 3 个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。1、现有一项有一项“抖空竹抖空竹”的表演已知有塑料、木质两种空竹，甲、乙、丙三名的表演已知有塑料、木质两种空竹，甲、乙、丙三名学生各自随机选用其中的一种空竹空竹求甲、乙、丙三名学生恰好选择同一种空竹的空竹的概率解：甲、乙、丙三名学生恰好选择同一种空竹为事件空竹为事件塑料A 木质BM 方法方法 1 1：方法方法 2 2：2、甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、形状相同的卡片若干，甲盒中装有 2 张卡片，分别写有字母 A 和 B；乙盒中装有 3 张卡片，分别写有字母 C、D 和 E；丙盒中装有 2 张卡片，分别写有字母 H 和 I；现要从 3 个盒中各随机取出一张卡片求（1）取出的 3 张卡片中恰好有 1 个，2 个，3 个写有元音字母的概率各是多少？（2）取出的 3 张卡片上全是辅音字母的概率是多少？解：根据题意，我们可以画出如下“树形图”：由树形图可以得到，所有可能出现的结果有 12 个，这些结果出现的可能性相等（1）只有一个元音字母的结果有 5 个，所以；125一一一一P 有两个元音字母的结果有 4 个，所以；31124一一一一PAAABABBBAABABBAAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB.MP4182 MP4182AB甲盒甲盒CDE乙盒乙盒HI丙盒丙盒甲甲乙乙丙丙ACHIDHIEHIBCHIDHIEHI全部为元音字母的结果有 1 个，所以；61122一一一一P （2）全是辅音字母的结果有 2 个，所以61122一一一一P3、小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：图 1 是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形。游戏者同时转动两个转盘，如果转盘 A 转出了红色，转盘 B 转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色。（1）利用树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果。（2）游戏者获胜的概率是多少？解析：（1）所有可能出现的结果可用表 1 或图 2 表示。表 1BA黄蓝绿红（红，黄）（红，蓝）（红，绿）白（白，黄）（白，蓝）（白，绿）（2）所有可能出现的结果共有 6 种，配成紫色的结果只有 1 种，故游戏获胜的概率为。61这道题为两步试验的随机事件发生的概率计算，采用的方法是树状图法和列表法。接下来仍然以“配紫色”为主要情景进行游戏：，让同学们进一步经历用树状图法和列表法解决概率问题的过程。用图 3 所示的转盘进行“配紫色”游戏。小颖制作了图 4，并据此求出游戏者获胜的概率为。21小亮则先把左边转盘的红色区域等分成 2 份，分别记作“红色 1”“红色 2”，然后制作了表 2，据此求出游戏者获胜的概率也是。21红色蓝色红色 1（红 1，红）（红 1，蓝）红色 2（红 2，红）（红 2，蓝）蓝色（蓝，红）（蓝，蓝）你认为谁做得对？说说你的理由。解析：因为左边的转盘中红色部分和蓝色部分的面积不同，因而指针落在这两个区域的可能性不同，故小颖的做法不正确，而小亮的方法则是解决这一类问题的一种常用方法。4、小明与父母从广州乘火车回北京，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是多少？解解：为了方便起见，我们不妨设三个坐位号为 1，2，3。可以看出坐在 2号位上，则为中间位置。画出树状图如图 4 或图 5 或图 6。从图中可以看出，不论小明第几个坐，所有的可能能是 6 种，而小明坐 2 号位置的情况有 2 种（记为事件 A），所以小明恰好坐在父母中间的概率是P（A）=（六）概率与方程（六）概率与方程开始父亲母亲12 321 331 2图 5小明 3 2 3 1 2 1开始母亲父亲12 321 331 2图 6小明 3 2 3 1 2 12163 1、（2011 广西防城港 23，8 分）一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白两种颜色的围棋，其中白色棋子 3 个（分别用白 A、白 B、白 C 表示），若从中任意摸出一个棋子，是白色棋子的概率为（1）求纸盒中黑色棋子的个数；43（2）第一次任意摸出一个棋子（不放回），第二次再摸出一个棋子，请用树状图或列表的方法，求两次摸到相同颜色棋子的概率解答：解答：（1）331 黑色棋子有 1 个43（2）(一一 C一(一一 B一(C一 一一(B一 一一(一一 A一(C一 B一(C一 A一(B一 C一(B一 A一(A一 一一(A一 C一(A一 B一一 一一 一 一一一一一一 A一 B一 C一 C一 B一 A一共 12 种情况，有 6 种情况两次摸到相同颜色棋子，所以概率为21另外，本题还可以用树状图解答如下：一 一 一 一 C一一 一 一 一 B一一 一 C一 一 一一 一 C一 一 A一一 一 一 一 A一一 一 C一 一 B一一 一 B一 一 一一 一 B一 一 C一一 一 B一 一 A一一 一 A一 一 一一 一 A一 一 C一一 一 A一 一 B一一 一 一一 一 一 一一 一 一 一一 一一 C一 B一一 B一一 C一一 A一 A一 A一 B一一 C一 C一 B一 A因为由上面树状图可知：共 12 种情况，有 6 种情况两次摸到相同颜色棋子，所以概率为21 2、湘潭是我家，爱护靠大家”自我市开展整治“六乱”行动以来，我市学生更加自觉遵守交通规则某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为（）A B C D 解：遇到绿灯的概率为 1-1/3-1/9=5/9【点评】所有情况的概率之和为 1，用 1 减去其它情况的概率就是遇到绿灯的概率。3、（2014?武威模拟）袋子里有 10 个红球和若干个蓝球，小明从袋子里有放回地任意摸球，共摸 100 次，其中摸到红球次数是 25 次，则袋子里蓝球大约有（）A.20 B.30 C.40 D.50【解析】共摸 100 次，其中摸到红球次数是 25 次，摸到红球的概率为=，袋子里有 10 个红球和若干个蓝球，设篮球有 x 个，则=，解得：x=30，故选B 4、（、（2010 铁岭）铁岭）将红、黄、蓝三种除颜色不同外，其余都相同的球，放在不透明的纸箱里，其中红球 4 个，蓝球 3 个，黄球若干个.若每次只摸一球(摸出后放回)，摸出红球的概率是，则黄球有_个.52 解析解析：设黄球有 x 个，则摸出红球的概率为，解得 x352344x 5、（、（2010 湖南衡阳）湖南衡阳）在不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外都相同，其中红色卡片 2 张，黄色卡片 1 张，现从中任意抽出一张是红色卡片的概率为.21 试求箱子里蓝色卡片的张数.第一次随机抽取一张卡片(不放回)，第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表格的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率.分析分析:（1）设箱子里蓝色卡片的张数为 x 张，由,则，解关于 x 的方程即可求出21(红色）Px12221箱子里蓝色卡片的张数.（2）要注意题目中的条件，第一次抽取后不放回.解解：（1）设箱子里有 x 张蓝色卡片，则有，解得：x=1.21122x （2）1红2红黄蓝2红1红黄蓝黄蓝1红2红蓝1红2红黄第一次抽卡片：第二次抽卡片：从树状图图可知，一共有 12 种结果，两次抽到的都是红色的有两种（两次抽到都是红色卡片）61122 6、（、（2010 湖北随州）湖北随州）甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母 p、q 分别表示两人各投掷一次的点数.（1）求满足关于 x 的方程有实数解的概率.02qpxx（2）求（1）中方程有两个相同实数解的概率.分析分析:通过列表或画树状图，可以求出 p、q 的各种可能的取值；方程有实数02qpxx解的条件是判别式0；方程有两个相同实数解的条件是判别式qp4202qpxx0.qp42解解:通过列表或画树状图可得，两人投掷骰子后 p、q 的取值共有 36 种等可能情况，其中满足0 的有、qp4212qp、13qp14qp15qp16qp23qp24qp25qp26qp34qp35qp36qp、以上 19 种情况，方程44qp45qp46qp55qp56qp65qp66qp有实数解的概率为；其中满足0 的有、以上 2 种情况，方02qpxx3619qp4212qp44qp程有两个相同实数解的概率为.02qpxx181362 7、（2010 茂名）已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共 100 个从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是 0.2、0.3（1）试求出纸箱中蓝色球的个数；（2）假设向纸箱中再放进红色球个，这时从纸箱中任意取出一个球是红色球的概率为 0.5，试求的xx值 解：(1)由已知得纸箱中蓝色球的个数为：（个）50)3.02.01(100(2)方法一：根据题意得：，解得：（个）5.010020 xx60 x方法二：由已知得红色球 20 个、黄色球 30 个，蓝色球 50 个，为使任意取出一个球是红色球的概率为0.5，所以纸箱中红色球的个数等于黄色球与蓝色球个数之和，得：x+20=30+50，解得：（个）60 x（七）几何概率1、在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示，转盘被平均分成 16 份），并规定：顾客每购买 100 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色 区域，那么顾客就可以分别获得 50元、30 元、20 元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物，如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券 10 元。（1）求每转动一次转盘所获 50 元购物券的概率（2）求每转动一次转盘所获 30 元购物券的概率（3）求每转动一次转盘所获 20 元购物券的概率（4）求每转动一次转盘所获购物券的概率（5）求每转动一次转盘不获购物券的概率（6）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；（7）如果你在该商场消费 125 元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由。解：(1)每转动一次转盘所获 50 元购物券的概率为：1/16（2）每转动一次转盘所获 30 元购物券的概率为：2/16=1/8（3）每转动一次转盘所获 20 元购物券的概率为：4/16=1/4（4）每转动一次转盘所获购物券的概率：1/16+2/16+4/16=7/16（5）每转动一次转盘不获购物券的概率：1-7/16=9/16(或者是空白区域除以 16）（6）50+30+20=11.875（元）；（7）11.875 元10 元，选择转转盘。2、某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图 9 所示），并规定：顾客每购买 100元的商品，可转动两次转盘，当转盘停止后，看指针指向的数获奖方法是：指针两次都指向 8 时，顾客可以获得 100 元购物券；指针两次中有一次指向 8 时，顾客可以获得 50 元购物券；指针两次都不指向8，且所指两数之和又大于 8 时，顾客可以获得所指两数之和与 8 的差的 10 倍的购物券（如，获 40 元购物券）；其余情况无奖（1）试用树状图或列表的方法，给出两次转动转盘指针所有可能指向的结果；（2）试求顾客可获得 100 元购物券的概率；（3）试求顾客无奖的概率解：（1）列表得：24682（2，2）（2，4）（2，6）（2，8）4（4，2）（4，4）（4，6）（4，8）6（6，2）（6，4）（6，6）（6，8）8（8，2）（8，4）（8，6）（8，8）（2）因为两次转动转盘指针所有可能的结果共有 16 种，其中两次指针指向 8 的情况有一种，所以所求概率为 1/16（3）因为两次转动转盘指针所有可能的结果共有 16 种，其中无奖的情况有 6 种，所以所求概率为 6/16=3/83、公共汽车在 05 分钟内随机地到达车站，求汽车在 13 分钟之间到达的概率。分析：将 05 分钟这段时间看作是一段长度为 5 个单位长度的线段，则 13 分钟是这一线段中的 2 个单位长度。解：设“汽车在 13 分钟之间到达”为事件 A，则 P(A)=(3-1)/5=2/5所以“汽车在 13 分钟之间到达”的概率为 2/54、取一根长为 3 米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于 1 米的概率有多大?解：记“剪得两段绳子长都不小于 1m”为事件 A，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件 A 发生。由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一，所以事件 A 发生的概率 P（A）=1/3。5、在等腰直角三角形 ABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M，求 AM 小于 AC 的概率。分析：点 M 随机地落在线段 AB 上，故线段 AB 为区域 D。当点 M 位于图中的线段 AC上时，AMAC，故线段 AC即为区域 d。解：在 AB 上截取 AC=AC，于是P（AMAC）=P（AMAC）=AC/AB=AC/AB=2/2则 AM 小于 AC 的概率为2/26、取一个边长为 2a 的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.解解:记记“豆子落入圆内豆子落入圆内”为事件为事件 A,则则P(A)=圆的面积圆的面积/正方形面积正方形面积=a2/4a2=/47、在边长为、在边长为 a 的正方形的正方形 ABCD 内随机取一点内随机取一点 P，求：（，求：（1）APB 90的概的概率（率（2）APB90的概率解：如图，以正方形的边 AB 为直径作圆，根据直径所对的圆周角为直角，则有当点 P 在圆周上时,APB=90，而点 P 在圆内时,APB90，当点 P 在圆外时,APB90设 AB=a,则正方形的面积为 a所以，APB90的概率 p=(*(a/2)/2)a=/8APB90的概率为 1-/88、一海豚在水池中自由游弋，水池为长 30m，宽 20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸小于2m 的概率解：设事件 A“海豚嘴尖离岸边小于 2m”（见阴影部分）P（A）（3020-2616）3020=0.319、射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为 122cm，靶心直径为 12.2cm，运动员在70m 外射假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中靶心的概率有多大？P(A)=（1/412.22）（1/41222）=0.0110、某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10 分钟的概率.解：设 A=等待的时间不多于 10 分钟.我们所关心的事件 A 恰好是打开收音机的时刻位于50,60时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得P(A)=10/60=1/6 （八）（八）设计公平的游戏规则设计公平的游戏规则例例 1 有一个小正方体，正方体的每个面分别标有 1，2，3，4，5，6 这六个数字现在有甲、乙两位同学做游戏，游戏规则是：任意掷出正方体后，如果朝上的数字是 6，甲是胜利者；如果朝上的数字不是 6，乙是胜利者你认为这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？为什么？如果不公平，你打算怎样修改才能使游戏规则对甲、乙双方公平？解析：解析：看游戏是否公平，主要看双方是否具有均等的获胜机会，如果机会是均等的，那就公平，否则，则不公平；可以改变已知条件，使游戏对双方获得的机会是均等的就可以了30m20m2 m（1）这个游戏不公平因为正方体的每个面分别标有 1，2，3，4，5，6 这六个数字，其中数字 6 只有 1 个，也就是甲胜利的概率是；不是 6 的数字有 5 个，也就是说乙胜利的概率是16，双方的胜利的机会不是均等的，所以说这个游戏不公平.56（2）可以把游戏规则改为：任意掷出正方体后，如果朝上的数字是奇数（1，3，5），甲是胜利者；如果朝上的数字是偶数（2，4，6），乙是胜利者，按这样的游戏规则就公平了点评点评：本题考查游戏公平性的判断，判断游戏规则是否公平，就要计算每个参与者取胜的概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平.（九）概率的实际应用（九）概率的实际应用例例 1 某同学午觉醒来发现钟表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间不超过 15 分钟的概率是（）A.B.C.D.21314151解析：解析：电台每小时报时一次时间，此人打开收音机时处于两次报时之间例如在 13：00至 14：00 之间，而且取各点的可能性一样要等待的时间不超过 15 分钟，只有当他打开收音机的时间处于 13：45 至 14：00 之间才有可能，因此相应的概率应是本题选 C41点评点评：对于一个随机事件来说，它发生可能性大小的度量是由它们自身决定的，并且是客观存在的，就如同一块土地有面积一样.概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件自身的一个属性误区点拨误区点拨一、基本概念的理解有误一、基本概念的理解有误例例 1 有下列说法：随机事件 A 发生的概率是频率的稳定值；任意事件 A 发生的概率P（A）满足 0P（A）1；若事件 A 发生的概率为 0.000 001，则事件 A 是不可能事件其中正确的有（）A0 个B1 个C2 个D3 个错解错解：选 D.剖析剖析：本题致错原因是不理解一些基本概念.频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率随机事件 A 发生的概率是频率的稳定值，正确；由于必然事件发生的概率为 1，不可能事件发生的概率为 0，随机事件发生的概率大于 0 小于 1，所以任意事件 A 发生的概率 P（A）满足 0P（A）1，错误；若事件 A 发生的概率为 0.000 001，则事件 A 发生的可能性很小，但也有可能发生，错误.正解：正解：选 B.二、错误理解概率二、错误理解概率例例 2 某同学掷一枚硬币，结果是一连 9 次都掷出正面朝上，请问他第 10 次掷出硬币时出现正面朝上的概率为（）A小于 B大于 C D不能确定121212错解错解：选 B.剖析剖析：无论哪一次抛掷硬币，都有 2 种情况，即正面、反面，与第几次抛掷硬币无关，故第 10 次掷出硬币时出现正面朝上的概率为 12正解：正解：选 C三、求概率时没有注意等可能性三、求概率时没有注意等可能性例例 3 如图，把一个圆形转盘按 1234 的比例分成 A，B，C，D 四个扇形区域，自由转动转盘，求转盘停止后落在 B 区域的概率错解错解：.14剖析剖析：错解中没有注意各部分所占的比例，也就是说落到每一部分不是等可能性的，解题时首先确定在图中 B 区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向 B 区域的概率正解正解：由于该圆形转盘按 1234 的比例分成 A，B，C，D 四个扇形区域，于是圆被等分成 10 份，其中 B 区域占 2 份，所以落在 B 区域的概率=21015跟踪训练跟踪训练1.下列事件中，属于不确定事件的是（）A通常水加热到 100 时沸腾B测量聊城某天的最低气温，结果为-150 C一个袋中装有 5 个黑球，从中摸出一个是黑球D篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中2.绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：每批粒数 n100300400600100020003000发芽的粒数m9628238257094819122850发芽的频率mn0.9600.9400.9550.9500.9480.9560.950则绿豆发芽的概率估计值是（）A0.96 B0.95 C0.94 D0.903.不透明的袋子中装有 4 个红球、3 个黄球和 5 个蓝球，每个球除颜色不同外其他都相同，从中任意摸出一个球，则摸出 球的可能性最大4.一只自由飞行的小鸟，将随意地落在如图所示方格地面上（每个小方格都是边长相等的正方形），则小鸟落在阴影方格地面上的概率为 .5.指出下列事件分别是属于随机事件、必然事件、不可能