人教版九年级一元二次方程知识点总结及基础题型.pdf

0 一元二次方程一元二次方程知识点一：一元二次方程的定义知识点一：一元二次方程的定义等号两边都是整式整式，只含有一个未知数（一元一元），并且未知数的最高次数是（二次二次）的方程2叫做一元二次方程，一般形式是),0(02为常数cbaacbxax类型：000000002222acbxaxacaxabxaxaax判断一元二次方程的步骤例 1：1.下列方程时一元二次方程的是 ；2032 xx04322 xyx412xx02x0332xx x21=y（x+2）（x+1）=x2 6x2=5 +3x+y=0；x+y+1=0；2x213122xx0512xx；3y22y=1；2x25xy+3y2=0；22+3=32+5=02+410=0+2=32(3)=22+1；1+2=622+1=122+(+)+1=023 3+4=0（）2+=0 02关于 x 的方程 mx2+3x=x2+4 是一元二次方程，则 m 应满足条件是_3关于 x 的一元二次方程 ax23x+2=0 中，a 的取值范围是_4当 m=_时，方程（m21）x2mx+5=0 不是一元二次方程5若关于 x 的方程（k1）x24x5=0 是一元二次方程，则 k 的取值范围是_1.把方程化成一般形式),0(02为常数cbaacbxax2.最高次数=23.最高次项的系数01例 2：当 时，方程为一元二次方程m072)1(1xxmm6若是关于 x 的一元二次方程，则 a=_7若关于 x 的方程（m1）mx3=0 是一元二次方程，则 m=_8当 k=_时，（k1）（2k1）x3=0 是关于 x 的一元二次方程9方程（m+2）x|m|+3mx+1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m=_10关于 x 的方程（m2）x|m|mx+1=0 是一元二次方程，则 m=_知识点二：一元二次方程的一般形式知识点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次),0(02为常数cbaacbxax2axa项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项bxbc；指出二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号0a一元二次方程化为一般形式时，若没出现一次项，并不是没有，而是bx0b例 3：把方程（1）（2）（3）1231xx(2)=423(+8)2=4+(21)2（4）化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项23+12=121一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是_2.一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是 142 xx3.一元二次方程3x=4 的一般形式是 ，一次项系数为 2x。4一元二次方程 3+2-5=0 的二次项系数、一次项系数和常数项依次为_2xx25.把一元二次方程 2（-1）=（-3）+4 化成一般式之后，其二次项系数与一次项xxx分别是 _6方程 2=3（-2）化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是2xx_7.一元二次方程 2-b=1 的常数项为_2xx8 下面的一元二次方程中，常数项为 5 的方程是（）A5-3+1=0 B3+5+1=0 C3-+5=0 D3-=5 2xx2xx2xx2xx9 一元二次方程-3+5x=7 的二次项系数是_2x10若关于 x 的一元二次方程+5+m2-1=0的常数项为 0，则 m 等于_2xx11.关于 x 的一元二次方程 x2+（2a-1）x+5-a=ax+1 的一次项系数为 4，则常数项_A.1 B.-1 C.0 D.5知识点三：一元二次方程的解知识点三：一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根代入法检验一个数是否是方程的根代入方程的根，可以求方程中的未知字母系数或字母常数的值1：下列哪些数是方程的根0122 xx ，4321012342：关于的一元二次方程的一个根是，则=x01122axxa0a3.关于 的一元二次方程 有一个根是，则 的值是()(3)2+29=00 A.3B.3C.3或3D.04：已知方程有一个根是，则的值为 02abxxa0aba5：如果是方程的一个根，那么常数 是多少？求出这个方程的其他根202cxc6.若一元二次方程（）有一根为，则，满足的关系式是 2+=0 01 37.如果 是方程 的解，则 的值是 =22+2=08.已知关于 的一元二次方程 的一个根是，则 223+4=01=9.已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值为 =12+=02+2+2 10.若关于 的一元二次方程 的解是，则 的值是()2+5=0(0)=12013 A.2018B.2008C.2014D.2012 11.如果 是一元二次方程 的一个根，那么常数 是()22=12.一元二次方程 a+bx+c=0（a0）有一个根为 1，则 a+b+c=。2x知识点四：根据实际问题列一元二次方程知识点四：根据实际问题列一元二次方程根据下列问题，列方程，并化成一般式例 1：有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四角切去一个同样的正方形，然后将四cm100cm50周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为，那23600cm么铁皮各角应切去多大的正方形例 2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？74（1）个完全相同的正方形的面积之和是，求正方形的边长4254（2）一个矩形的长比宽多，面积是，求矩形的长2100（3）把长为 的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求1较短一段的长（4）一个圆的面积是，求半径2（5）一个直角三角形的两条直角边相差，面积是，求较长的直角边的长cm329cm（6）有一根长的铁丝，怎样用它围成一个面积为的矩形？m1206.0m（7）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？101.1.一元二次方程的解法一元二次方程的解法（1 1）直接开平方法：）直接开平方法：5形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者2()(0)xab bxab，。xab xab 注意：若 b0，方程无解4、方程=225 的根是 。2x5、解方程025x2 081)2x(42(5)(x+1)2=0 (6)2(x1)2=0 (7)(2x+1)2=0 (8)(2x1)2=1（9）(2x+1)2=3 （10）(x+1)2144=0 213x21=0 =0 27252x6 50)6(2x0232x（1）2x224=0 （2）4)1(2x（3）2(x2)2=50 （4）24)23(2x（1 1）配方法配方法:用配方法解一元二次方程的一般步骤20(0)axbxca二次项系数化为 1：方程两边都除以二次项系数；移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形2()(0)xmn n式；用直接开平方法解变形后的方程。注意：当时，方程无解0n 5、（24x+）=（x ）2。2x、x2+6x+=（x+）2；7、x25x+=（x ）2；、x2+x+=（x+）2；、x29x+=（x ）26、用配方法解方程x73x22 04732 xx（1）3x2-5x=2 （2）x2+8x=9（3）x2+12x-15=0 （4）x2-x-4=0411、.2、0662 yyxx42328 3、4、9642 xx0542 xx 5、6、01322 xx07232 xx （2 2）因式分解法：）因式分解法：一般步骤如下：将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为 0；将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。7、方程 3 5 x=0 的根是 。2x8、因式分解法解方程02x3x2 y27y60；（1）；（2）；42)2(2xx0)3()3(42xxx9（3）；（4）。0611102xx22)1(4)2(9xx（5）；（6）；02 xx03522 xx（7）；（8）；01072 xx01892 xx（10）.071162xx10(2)t(2t1)3(2t1)；(3)(2x1)(x1)1（2）；（3）；0)32(3)32(22xx0223)222(2xx（4）.066)2332(2xy)21()1(2252xxxx（2 2）公式法：公式法：一元二次方程 根的判别式：20(0)axbxca24bac 11方程有两个不相等的实根:（）的图像与0 242bbacxa 240bac()f x轴有两个交点x方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点0()f xx 方程无实根的图像与轴没有交点0()f xx9、关于 x 的一元二次方程 m2x+1=0 有两个相等实数根，则 m=。2x11、不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)04x3x22；(2)y249y162；(3)0 x7)1x(5212、用公式法解方程1、2、0822 xx22314yy 3、4、yy3213201522 xx 5、6、1842xx02322xx1213、用适当方法解方程（1）x+2x+3=0 （2）x+6x5=022(3)x 4x+3=0 (4)x 2x1=022(5)2x+3x+1=0 (6)3x+2x1=022(7)5x 3x+2=0 (8)7x 4x3=02213(9)-x-x+12=0 (10)x 6x+9=022考点四、根的判别式acb42根的判别式的作用：根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：典型例题：例例 1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 。x0122xkx例例 2、关于 x 的一元二次方程有实数根，则 m 的取值范围是()0212mmxxmA.B.C.D.10 且mm0m1m1m例例 3、已知关于 x 的方程0222kxkx(1)求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根；针对练习：1、当 k 时，关于 x 的二次三项式是完全平方式。92 kxx3、已知方程有两个不相等的实数根，则 m 的值是 .022 mxmx144、为何值时，方程k0122422kxxkx（1）有两个相等的实数解，并求此解；（2）有两个不相等的实数解；（3）没有实数解.2.2.韦达定理（根与系数关系）韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式 ax2+bx+c0 之后，设它的两个根是和，则和与方1x2x1x2x程的系数 a，b，c 之间有如下关系：+；1x2xba1x2xca9、已知,是方程 2+3x 4=0 的两个根，那么+=,1x2x2x1x2x.=。1x2x10、已知方程06kxx52的一个根是 2，求另一根及 k 的值11、利用根与系数的关系，求一元二次方程01x3x22两根的(1)平方和；(2)倒数和12、已知方程0mx4x22的两根平方和是 34，求 m 的值1513、求一个一元二次方程，使它的两个根是 2、1014、已知两个数的和等于 8，积等于 9，求这两个数若是方程的两个根，试求下列各式的值：12,x x2220070 xx(1)；(2)；(3)；(4)2212xx1211xx12(5)(5)xx12|xx1设 x1，x2是方程 2x26x30 的两根，则 x12x22的值为_2已知 x1，x2是方程 2x27x40 的两根，则 x1x2 ，x1x2 ，（x1x2）2 3已知方程 2x23x+k=0 的两根之差为 2，则 k=;12164若方程 x2+(a22)x3=0 的两根是 1 和3，则 a=;5若关于 x 的方程 x2+2(m1)x+4m2=0 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么 m 的值为 ;6 设 x1,x2是方程 2x26x+3=0 的两个根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22 (2)+1x11x27已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x1x14.4.一元二次方程的应用一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。“解”就是求出说列方程的解；“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。类型一：比赛问题1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛 45 场比赛，共有几个队参加比赛。172.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛 90 场比赛，共有几个队参加比赛。3.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了 182 件，这个小组共有多少名同学？4.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，这个小组共有多少人？类型二：增长率变化前数量变化前数量（1x）n变化后数量变化后数量1.青山村种的水稻 2001 年平均每公顷产 7200 公斤，2003 年平均每公顷产 8450 公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。182.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的 90 元降到了 40 元，求平均每次降价率是。3.某种商品，原价 50 元，受金融危机影响，1 月份降价 10，从 2 月份开始涨价，3 月份的售价为 64.8 元，求 2、3 月份价格的平均增长率。3.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？4.为了绿化校园，某中学在 2007 年植树 400 棵，计划到 2009 年底使这三年的植树总数达到 1324 棵，求该校植树平均每年增长的百分数。类型三：定价问题商品销售问题商品销售问题售价售价进价进价=利润利润 单件利润单件利润销售量销售量=总利润总利润 单价单价销售量销售量=销售额销售额1.某商店购进一种商品，进价 30 元试销中发现这种商品每天的销售量 P(件)与每件的销售价 X(元)满足关系：P=100-2X 销售量 P，若商店每天销售这种商品要获得 200 元的利19润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为只，且每日产出的产品全部售出，已知生产只熊猫的成本为（元），售价每只为（元），且、与 x 的关系式分别为 R=500+30X，P=1702X。(1)当日产量为多少时每日获得的利润为 1750 元？3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克。现该商品要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？4.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出件，每件盈利元。为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件。要想平均每天在销售这种童装上盈利 1200 元，那么每件童装应降价多少元？205.西瓜经营户以元千克的价格购进一批小型西瓜，以 3 元千克的价格出售，每天可售出 200 千克。为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小型西瓜每降价 0.1元/千克，每天可多售出 40 千克。另外，每天的房租等固定成本共 24 元。该经营户要想每天盈利 200 元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？6.益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价 a元，则可卖出（35010a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过 20%，商店计划要盈利 400 元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？7.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为 260 元时，月销售量为 45 吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降 10 元时，月销售量就会增加 7.5 吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元。（1）当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为 9000 元。21类型四：几何问题判断清楚要设什么是关键判断清楚要设什么是关键1.一个直角三角形的两条直角边的和是 14cm,面积是 24cm2，两条直角边的长分别是多少？2.一个直角三角形的两条直角边相差 5，面积是 72，斜边的长是多少？3.一个菱形两条对角线长的和是 10，面积是 122，菱形的周长是多少？（结果保留小数点后一位）224.为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多 14 米，面积是 3200 平方米则操场的长为多少米，宽为多少米。5.若把一个正方形的一边增加 2cm，另一边增加 1cm，得到的矩形面积的 2 倍比正方形的面积多 11cm2，则原正方形的边长为多少 cm.6.如图，在长为 10cm，宽为 8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的 80，所截去的小正方形的边长是多少。7.张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 1 米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为 15 立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多 2 米，现已购买这种铁皮每平方米需 20 元钱，问张大叔购买这张铁皮共花了是多少元钱238.如图，在宽为 20m，长为 30m，的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余分作为耕地为 551。则道路的宽为是多少米。一元二次方程试题一元二次方程试题一、选择题一、选择题1、一元二次方程的根的情况为（）2210 xx 有两个相等的实数根有两个不相等的实数根只有一个实数根没有实数根2、若关于 z 的一元二次方程没有实数根，则实数 m 的取值范围是（）02.2mxx24 Am-1 Cml Dmq00pq 0C且 D且0p 00p q 07、若关于 x 的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.22430 xkxk12,x x1212xxx xA则 k 的值为（）（A）1 或（B）1（C）（D）不存在34348、下列关于 x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）（A）x240（B）4x24x10（C）x2x30（D）x22x109、某商品原价 200 元，连续两次降价 a后售价为 148 元，下列所列方程正确的是（）A：200(1+a%)2=148 B：200(1a%)2=148 C：200(12a%)=148 D：200(1a2%)=14810、下列方程中有实数根的是（）（A）x22x30（B）x210（C）x23x10（D）111xxx11、已知关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是()22xmxA m1 B m2 Cm 0 Dm012、如果 2 是一元二次方程 x2c 的一个根，那么常数 c 是（）。A、2 B、2 C、4 D、4二、填空题二、填空题1、已知一元二次方程的两根为、，则 01322 xx1x2x21xx2、方程的解为 。412x3、阅读材料：设一元二次方程的两根为，则两根与方程系数之间有如20axbxc1x2x25下关系：，根据该材料填空：12bxxa 12cx xaA已知，是方程的两实数根，则的值为_1x2x2630 xx2112xxxx4、关于 x 的一元二次方程 x2bxc0 的两个实数根分别为 1 和 2，则b_；c_5、方程的解是 220 xx6、已知方程有两个相等的实数根，则230 xxkk 7、方程 x2+2x=0 的解为 8、已知方程在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于 1 小于 2，则a的0332xax取值范围是 9、已知 x 是一元二次方程 x23x10 的实数根，那么代数式的值235(2)362xxxxx为10、已知是关于的方程的一个根，则_1x x2220 xaxaa 11、若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 x220 xxkk12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：_。13、已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 25240 xxc三、解答题三、解答题1、解方程：x233(x1)2410 xx 3、已知 x1 是一元二次方程的一个解，且，求的值.2400axbxab2222abab264、已知关于 x 的一元二次方程 x24xm10。(1)请你为 m 选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；(2)设、是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求 22 的值。5、据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006 年的利用率只有 30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使 2008 年的利用率提高到 60%，求每年的增长率。(取1.41)26、黄金周长假推动了旅游经济的发展下图是根据国家旅游局提供的近年来历次黄金周旅游收入变化图27(1)根据图中提供的信息请你写出两条结论；(2)根据图中数据，求 2002 年至 2004 年的“十一”黄金周全国旅游收入平均每年增长的百分率(精确到 01)7、已知 x1，x2 是关于 x 的方程（x2）（xm）=（p2）（pm）的两个实数根（1）求 x1，x2 的值；（2）若 x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数 m，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值