第六章期权定价理论.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2026/10/15,1,第六章 期权定价理论,2026/10/15,2,一、期权价格的确定,（一）期权价格的构成,.,概念,是指买方期权为获取远期选择权而支付给卖方期权的代价，或是卖方期权因让渡远期选择权而向买方期权收取的报酬。,.,构成,期权价格内在价值时间价值,如图,3-32,。,2026/10/15,3,内在价值,有时也称为,”,货币性,“,（,moneyness,），是指期权的买方马上执行合约时其可能获得的现金流与零之间的最大值。,2026/10/15,4,看涨期权：,看跌期权：,时间价值,是期权价格中超过内在价值的那部分价格，是指在期权,有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。,通常，期权合约的剩余有效时间越长，其时间价值也就越大。,（其中,P,为期权的时间价值）,2026/10/15,5,显然，标的资产价格的波动性越高，期权的时间价值越大。,此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影响，以无收益看涨,期权为例，当 时，期权的时间价值最大，当,的绝对值增大时，期权的时间价值是递减的。它们的关系见下图。,2026/10/15,6,图,3-32,无收益资产看涨期权的时间价值与内在价值的关系,2026/10/15,7,二、期权价格的影响因素,期权价格的影响因素有六个，他们通过影响期权的内在,价值和时间价值来影响期权的价格。,（一）标的资产的市场价格与期权协议价格,由于看涨期权在执行时，其收益等于标的资产当时,的价格与协议价格之差，因此，标的资产的价格越高，协议,价格越低，看涨期权的价格就越高；对看跌期权面而言，其,收益等于协议价格与标的资产当时的价格之差，标的资产的,价格越低，协议价格越高，看跌期权的价格就越高。,2026/10/15,8,（二）期权的有效期,对于美式期权而言，期限越长获利机会就越多，因此期权的价格会越高。,对于欧式期权，由于其只能在期末执行，有效期长的期权不一定包含有效期短的期权的所有执行机会，如标的资产在期限长的有效期内有红利支付（在知短的期限内没有），那么期限长的期权的价格就会低于期限短的期权。这就使欧式期权的有效期与期权的价格之间的关系显得较为复杂。,如果剔除了标的资产支付大量收益这一特殊情况，由于有效期长，标的资产的风险就越大，空头的亏损风险就大，因此有效期长，其期权的价格就越高。,2026/10/15,9,（三）标的资产价格的波动率,（四）无风险利率,（五）标的资产的现金收益,标的资产分红付息等将减少标的资产的价格，而协议价格并未进行调整，因此在期权的有效期内标的资产产生现金收益将使看涨期权的价格下降，并使看跌期权价格上涨。,2026/10/15,10,三、期权价格的上、下限,1,、无套利定价法,套利就是在某些金融资产的交易过程中，交易者可以在不需,要期初投资支出的条件下期末获取无风险报酬。如果定量描述的话，就,是指：一个投资组合，如果在投资的时刻不需要支出，即：,而存在一个时刻,t,，使得：,且,2026/10/15,11,定理,1,若市场在时段,0,，,T,内是无,套利机会的，,则对于两个,投资组合,和,，如果,且,那么，对于任意的,，必有,证明：反证法。,（略）,2026/10/15,12,推论,若市场在时段,0,，,T,内是无,套利机会的，,则对于两个,投资组合,和,，如果其到期时组合的价值相等，则其任意,时刻的价值均相等。,2026/10/15,13,2,、期权价格的上、下限,基本假设：,1,、市场不存在套利机会；,2,、证券交易不付交易费用（市场无摩擦）；,3,、无风险利率,r,是常数（复利）,定理,对于有效期内无收益标的资产的欧式期权，,以下的估计式成立,2026/10/15,14,证明,：在,t,时刻，构造两个投资组合：,因此,由定理,1,知：,2026/10/15,15,那么,又由于,至此我们证得了期权的下界。,再构造一组合,通过同样的分析，我们有,所以,。看涨期权的上下界证毕。,（看跌期权的上下界的证明由学生自己完成）,2026/10/15,16,定理,4,对于有效期内有已知收益标的资产的欧式期权，以,下的估计式成立（考虑复利率）：,其中,D,是期权有效期内资产收益的现值。,2026/10/15,17,四、期权价格曲线的形状（以无收益资产的情况为例）,2026/10/15,18,五、欧式看涨、看跌期权的平价公式,定理,4,看涨,看跌平价公式（无收益资产）：,定理,5,看涨,看跌平价公式（有确定现金收益资产，收益,的现值为,D,）：,2026/10/15,19,六、期权定价方法,（一）二叉树方法,1,、一个例子,假定原生资产,股票在时刻的价格为,40,元，一个月后，有两,种可能性：上扬到,45,元或下跌到,35,元。那么在时刻购买一张一,个月到期，敲定价格为,40,元的平价看涨期权，问应该支付多少期权,金？（假定一年期的存款利率为,12%,）。,2026/10/15,20,根据期权到期时的收益,由题设，在到期日，期权的价值亦有两种可能性：若股票价格上,扬，期权的收益为,；若股票价格下跌，则,，即期权一文不值。,基本思想：无套利定价法,在开始时刻，构造一个投资组合,2026/10/15,21,在到期日，该组合的价值也有两种可能性：,若股票价格上扬，,若股票价格下跌，,即在到期日，该组合具有确定的值,（元）,另外构造一个投资组合,那么在到期日（即一个月后），该组合的收益也等于,（元）,2026/10/15,22,因此有,，由无套利假设，知：,即,由此得：,这表明投资者为了购买这张期权，在开始时刻应该支付期权金,2.695,元,2026/10/15,23,2,、一期模型,关于风险资产（股票、外汇等）的价格变化规律的研究，从最,简单的模型,单时段,双状态,模型开始。以此为基础，我们讨论,如何利用无套利原理，求出它的衍生物,期权的价格。,单时段（,one period,）：是指交易只在时刻的初始时刻以及终止,时刻进行。,双状态（,two state,）：是指风险资产的价格在未来时刻只有两,种可能性：,2026/10/15,24,我们的问题是,：假如在开始时刻，风险资产的价格为,S,，预期在,T,时，它的价格可能是：,（,）,现投资者在购买一张到期日为,T,，敲定价格为,X,的看涨期权，如果在,0，,T,时段无风险利率为,r(,实际利率,),，那么该看涨期权的价格为多少？,我们的思想是,：构造无风险的投资组合。试想卖出几份看涨期,权，出售方必然面临风险，为了回避这个风险，出售方要采取适,当的策略对风险进行控制，即买进股票与它对冲，使得组合为无,风险的。记这个份额为 ，这就是,对冲的思想。,2026/10/15,25,构成投资组合 ：,购买一份股票，卖掉 份看涨期权，使得该组合无风险的,方法：利用,对冲技巧,假定 存在，使得 是无风险的，即在 时刻，的价值,是确定的，即无风险的。,既然 是无风险的，那么 的投资,增长率为无风险利率,(,不计复利,),，即,2026/10/15,26,由此得：,（,3.1),由于在到期时刻股票价格有两种可能性，所以在组合的价值也有,两种可能性，但由于构造的是无风险组合，那么我们有,（,3.2,）,由（,3.1,）和（,3.2,），我们知：,2026/10/15,27,注意：,由无套利假设知：,由此定义新的概率测度,Q,：,易知：,2026/10/15,28,从而期权价格可以改写为,通常也将测度,Q,称为风险中性测度，上式告诉我们，看涨期权的价,格也可以解释为在风险中性概率条件下，其价格等于期权到期价值,的期望值的折现值。,3,、期权定价的二期模型（略）,2026/10/15,29,（二）,B,S,期权定价公式,1,、基本假设,1,）股票价格满足随机微分方程：,其中,是股票的期望收益率，,是股票价格的波动率。,2,）股票市场允许卖空；,2026/10/15,30,3,）没有交易费用或税收；,4,）所有证券都是无限可分的；,5,）证券在有效期内没有红利支付；,6,）不存在无风险套利机会；,7,）交易是连续进行的；,8,）无风险利率是常数。,2026/10/15,31,2,、,B,S,微分方程,构造组合：,选取适当的,，使得在,时段内，,是无风险的。,利用无套利理论和,ITO,引理，即可得到著名的,B,S,微分方程,2026/10/15,32,3,、,B,S,期权定价公式,1973,年，,Black,和,Scholes,成功求解了他们的微分方程，从而,获得了看涨期权的定价公式。,定理（,B,S,公式）欧式看涨期权的价格为,其中,2026/10/15,33,根据欧式看涨看跌的平价公式，对于无收益资产的看跌期,权，其定价公式为：,2026/10/15,34,例,已知,A,公司股票的价格 服从几何布朗运动，即满足随机方程：,解；由,B,S,定价公式,其中,公司股票现在的市价是,$92,，到期期限为,50,天、执行价格为,$95,的该公司股票欧式看涨期权的价格是多少？（无风险利率为,7.12%,）,查表可知：,因此,所以该欧式看涨期权的价格为,（因为,（美元）,（美元）,2026/10/15,37,（三）有收益资产的期权定价公式,当标的资产已知收益的现值为,I,时，我们只要用（,S,I,）代,替式中的,S,，即可求得有固定收益证券欧式看涨期权和看跌权的,定价公式。,当标的资产的收益为按连续复利计算的固定收益率,q,时，我,们只要将,代替,S,就可求得支付连续复利收益率证券的,看涨和看跌期权的定价公式。,2026/10/15,38,例,假设当前英镑的即期利率为,1.5000,美元,/,英镑，美国的无风险,连续复利率为,7%,，英镑的无风险连续复利率为,10%,，英镑汇率遵循几,何布朗运动，其波动率为,10%,，求,6,个月期协议价格为,1.50,美元,/,英镑,的英镑欧式看涨期权的价格。,解；由于英镑会产生无风险收益，且该收益是连续的复利率,10%,，所以,其中,2026/10/15,39,查表知：,N,（,d1,）,=0.4298,，,N,（,d2,）,=0.4023,，我们有,（美分）,