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第六章定积分的应用
内容概要
名称
主要内容
定积分的元素法
定积分的元素法是一种简单记忆定积分（）三步骤的方法：
1、将记为
2、将写为
平面图形的面积
直角坐标系
X-型
Y-型
极坐标系
体积
旋转体体积
已知平行截面面积的立体体积
绕x轴旋转：
已知垂直于x轴的平面截立体所得截面面积为,立体又被夹于和两平面间，则：
已知垂直于y轴的平面截立体所得截面面积为,立体又被夹于和两平面间，则：
绕y轴旋转：
绕y轴旋转：
平面曲线的弧长
直角坐标
参数方程
极坐标
：，
；
：
：，；
；
物理应用：1、变力沿直线作功 2、水压力 3、引力
课后习题全解
习题6-2
★ 1．求由曲线与直线所围图形的面积。
知识点：平面图形的面积
思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可
解： 见图6-2-1
0
1
图6-2-1
∵所围区域D表达为X-型：， （或D表达为Y-型：）
∴
（）
★ 2．求在区间[0，/2]上，曲线与直线、所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可
解：见图6-2-2
0
图6-2-2
1
∵所围区域D表达为X-型：， （或D表达为Y-型：）
∴
（ ）
★★3．求由曲线与所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做
解：见图6-2-3
0
4
图6-2-3
∵两条曲线的交点：，
∴所围区域D表达为Y-型：，
∴
（由于图形关于X轴对称，所以也可以解为：
）
★★4．求由曲线、、及直线所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：所围图形关于Y轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单
解：见图6-2-4
0
1
图6-2-4
1
2
∵第一象限所围区域表达为Y-型：，
∴
（若用X-型做，则第一象限内所围区域，其中：，
：；∴）
★★5．求由曲线与直线及所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做
解：见图6-2-5
0
1
图6-2-5
2
1
∵两条曲线和的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和分别交于
、
∴所围区域表达为X-型：，
∴
★★★6．抛物线分圆的面积为两部分，求这两部分的面积
知识点：平面图形面积
思路：所围图形关于X轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单
解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为，剩余面积为
0
图6-2-6
0
2
∵两条曲线、的交于（舍去的解），
∴所围区域表达为Y-型：；又图形关于x轴对称，
∴
（其中）
∴
★★★7．求由曲线、与直线所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做
解：见图6-2-7
0
1
图6-2-7
1
∵两条曲线和的交点为（0，1），又这两条线和分别交于
和
∴所围区域表达为X-型：，
∴
★★★8．求由曲线与直线及所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做
解：见图6-2-8
0
1
图6-2-8
∵在的定义域范围内所围区域：，
∴
★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y轴，且向下弯；（2）它与x轴所围图形面积最小
知识点：平面图形面积和求最值
思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量
解：由于抛物线的对称轴平行于y轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为，（由于下弯，所以），将（1，2）代入，得到，因此
该抛物线和X轴的交点为和，
∴所围区域：
∴
得到唯一极值点：，
∴所求抛物线为：
★★★★10．求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积
知识点：切线方程和平面图形面积
思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型
解：，∴在任一点处的切线方程为
而过（0，0）的切线方程就为：，即
所求图形区域为,见图6-2-10
0
图6-2-10
X-型下的：，：
∴
★★★11．求由曲线所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：作图可知该曲线是半径为、圆心（）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为，
也可选择极坐标求面积的方法做。
解：∵作图6-1-11
0
图6-1-11
知所求图形区域：
∴
★★★12．求三叶玫瑰线的面积
知识点：平面图形面积
图6-2-12
0
思路： 三叶玫瑰由三瓣面积相等的叶片组成
图6-2-12中所画是三叶玫瑰中的一叶，
而一叶图形又关于对称，
因此选择其中一叶的一半区域求其面积
解：∵：
∴
★★★13．求由曲线所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：作图可知该曲线围成的图形关于极轴对称，因此选择其中一半区域求其面积
图6-2-13
0
解：∵：
∴★★★14．求对数螺线及射线所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：作图可知该曲线围成的图形是由，从到一段曲线及射线所围，由此可确定、的范围
图6-2-14
0
解：∵所围区域：
∴
★★★★15．求由曲线及所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分，而又关于极轴对称，设在（0，）内的曲线和极轴围成的半个为区域
图6-2-15
0
3/2
解：两条曲线、交于处，
因此分割区域，其中：，：
★★★16．求由曲线及所围图形的面积
知识点：平面图形面积
图6-2-16
0
思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分，而又关于射线对称，设两条曲线在（0，）围成的半个为区域
解：两条曲线、交于及
因此分割区域，其中：，：
（和书后答案不同）
★★★17．求由摆线，及x轴所围图形的面积
0
图6-2-17
知识点：平面图形面积
思路：在直角坐标系下作图可知所围图形的、变化范围，先求出直角坐标系下积分表达式，再将积分变量代换成
解：∵所围区域：，
（为摆线）
∴，
作代换，
则
习题6-3
1． 求下列平面图形分别绕x轴、y轴旋转产生的立体体积：
★(1)．曲线与直线、、所围成的图形；
0
1
图6-3-1-1
4
知识点：旋转体体积
思路：作出平面图形（或求出该平面区域的、范围），
代入相应的公式。
解：平面图形D：，见图6-3-1-1
绕x轴旋转产生的立体体积： ；
绕y轴旋转产生的立体体积：(和书上答案不同)
★★(2)．在区间上，曲线与直线、所围成的图形；
0
图6-3-1-2
1
解：平面图形D：，见图6-3-1-2，
绕x轴旋转产生的立体体积：
；
绕y轴旋转产生的立体体积：
方法一：
方法二：可看作由（矩形，）绕y轴旋转而成的体积，减去由（，）绕y轴旋转而成的立体体积所得
∴
★(3)．曲线与直线、所围成的图形。
解：平面图形D：，绕x轴旋转产生的立体体积： ；
绕y轴旋转产生的立体体积：
（绕y轴旋转产生的立体体积如同（2）也有两种计算法）
★★2．求由曲线、所围成的图形绕y轴旋转一周所产生的旋转体体积。
知识点：旋转体体积
思路：该平面图形绕y轴旋转而成体积可看作：绕y轴旋转而成的体积，减去
：绕y轴旋转而成的立体体积所得，见图6-3-2
0
1
图6-3-2
1
解：
★★3．求由曲线（）与x轴围成的平面图形绕y轴旋转一周所产生的旋转体体积。
知识点：旋转体体积
思路：作出平面图形（或求出该平面区域的、范围），代入相应的公式
解：平面图形D：，绕y轴旋转产生的立体体积：
（绕y轴旋转产生的立体体积如同1（2）也有两种计算法）
★★★4．求由曲线，，，（）所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积。
0
图6-3-4
知识点：旋转体体积
思路：作出平面图形（或求出该平面区域的、范围），代入相应的公式
解：平面图形D：，见图6-3-4，
绕x轴旋转产生的立体体积：
★★★5．求摆线，的一拱与所围图形绕直线轴旋转而成的旋转体体积。
知识点：旋转体体积
图6-3-5
0
思路：若设所围区域为，则该平面图形绕旋转而成体积可看作矩形区域：绕旋转而成的体积，减去区域：绕旋转而成的立体体积所得，（其中，表示摆线的函数式，见图6-3-5
解：，作代换，则
★★★★6．求绕（）旋转而成的旋转体体积。
知识点：旋转体体积
0
图6-3-6
线段
思路：由图形的对称性可知所求体积，其中是由（）部分，绕旋转而成的旋转体体积，又根据元素法，是由图形中的线段（）绕旋转一周所得的圆柱面叠加而成，见图6-3-6
解：
★★★★7．由心形线和射线及所围图形绕极轴旋转而成的旋转体体积。
知识点：旋转体体积
思路：极坐标中的此平面图形绕极轴旋转相当于直角坐标系下的该图形绕x轴旋转
图6-3-7
0
8
解：平面区域：（），见图6-3-7
∵心形线的直角坐标表示：
（），根据直角坐标下的体积计算及，得：
★★★8．计算底面是半径为的圆，而垂直于底面上的一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积。
知识点：已知平行截面面积的立体体积
思路：首先以固定直径为x轴确立圆方程：，再求垂直于x轴的截面面积，然后代入公式。见图6-3-8
图6-3-8
解：以固定直径为x轴圆心为坐标原点，则圆方程为：，
在圆内，垂直于x轴的截面面积，
∴
★★9．求曲线与直线，及所围成的图形分别绕ox轴、oy轴旋转一周所产生的旋转体体积。
知识点：旋转体体积
思路：作出平面图形（或求出该平面区域的、范围），代入相应的公式
解：平面图形D：，绕x轴旋转产生的立体体积： ；
绕y轴旋转产生的立体体积：
（绕y轴旋转产生的立体体积如同1（2）也有两种计算法）
★★★★10．设直线与直线，，及所围成的梯形面积等于，试求、，使这个梯形绕x轴旋转所得旋转体体积最小（，）。
知识点：旋转体体积，以及最值问题
思路：作出平面图形（或求出该平面区域的、范围），进而求出以为变量的旋转体体积，再求最小值。
解：梯形区域： ，，
0 1
∴
∵由条件，∴
，得，
习题6-4
★★1．用定积分表示双曲线上从点（1，1）到点（2，1/2）之间的一段弧长。
思路：曲线表达为（或）代入相应公式计算弧长
解：，∴
★★2．计算曲线上相应于的一段弧的弧长。
思路：曲线表达为（或）代入相应公式计算弧长
解：，∴
★★3．计算曲线上相应于的一段弧的弧长。
解：，
∴
★★4．计算曲线（）的弧长。
解：，
∴
★★★5．计算抛物线（）从顶点到其上点的弧长。
思路：抛物线表达为（或），代入相应公式计算弧长
解：，
∴
（或通过公式计算）
★★★★6．证明曲线的一个周期（）的弧长等于椭圆的周长。
思路：分别求出的弧长及椭圆的周长，求椭圆周长时采用参数式求解
解： 的弧长
椭圆方程表达为：，；代入公式得弧长
∴
★★★7．求对数螺线相应于自至的一段弧的弧长。
思路：曲线是极坐标的表达式，因此代入公式
解：
★★★8．求曲线相应于自至的一段弧的弧长。
思路：曲线是极坐标的表达式，因此代入公式
解：
（其中
）
★★★9求曲线，相应于自至的一段弧的弧长。
思路：曲线是参数表达式，因此代入公式
解：
习题6-5
★1．设一质点距原点米时，受牛顿力的作用，问质点在作用下，从移动到
，力所做的功有多大？
知识点：微元法在物理上的应用
思路：当变力沿直线作功，质点从至段所作功的微元。
解：∵
∴
★★2．某物体作直线运动，速度为，求该物体自运动开始到末所经过的路程，并求物体在前内的平均速度。
知识点：微元法在物理上的应用
思路：变速直线运动物体在至时间段内所经过路程的微元。
解：∵
∴ （）；
（）
★★★3．直径为20cm，高为80cm的圆柱体内充满压强为的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？
知识点：微元法在物理上的应用
思路：设为压强、体积为，根据物理学原理，当温度不变时压强和体积成反比，因此当圆柱体的高为时，。
解：∵压力=压强面积，∴当圆柱体的高为时压力，
功的微元
∴
★★★4．半径为的半球形水池充满了水，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？
知识点：微元法在物理上的应用
思路：设半球形水池的方程为（），见图6-5-4，则将至薄片体积的水吸出，克服重力所作的功为，（是水的比重，可取1）
0
图6-5-4
解：∵ ，
∴
★★★5．设有一半径为，长度为圆柱体平放在深度为的水池中（圆柱体的侧面与水面相切），设圆柱体的比重为，现将圆柱体从水中移出水面，问需要作多少功？
知识点：微元法在物理上的应用
思路：设圆柱体的方程为，见图6-5-5，则将至段薄圆台为底高为的柱体移出水面，浮力减重力所作的功为
，
另外，因要求整个柱体出水，因此该部分还需在空中移动距离，该部分的功
0
图6-5-5
解：∵，
∴
★★6．有一闸门，它的形状和尺寸如下图所示，水面超过门顶2m，求闸门上所受的水压力。
知识点：微元法在物理上的应用
思路：由物理知识可知，水深处的压强为，（为水的比重）以门顶中心为原点向下建立x轴，见图6-5-6，则在至段门条上所受的水压力为
2
3
2
图6-5-6
0
解：∵，
∴
★★★7．洒水车的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如上图所示，当水箱装满水时计算水箱的一个端面所受的压力。
知识点：微元法在物理上的应用
思路：设椭圆方程为，见图6-5-7，则在至的一条端面上所受的水压力为
2
4
1.5
图6-5-7
解：∵，
∴
★★★8．以等腰梯形闸门与铅直平面倾斜角置于水中，其闸门顶部位于水面处，上下底宽分别为100m和10m，高为70m，求此闸门一侧面所受到的水的静压力。
知识点：微元法在物理上的应用
思路：以上底中心为坐标原点，垂直向下建立x轴，等腰梯形腰的方程则为：，见图6-5-8，因此在 至的闸门条带上，所受的静压力为
100m
70m
10m
0
图6-5-8
解：∵，
∴（kg）
★★★★9．设一旋转抛物面内盛有高为cm的液体，把另一同轴旋转抛物面浸沉在它里面，深达cm，问液面上升多少？
知识点：旋转体体积
思路：设两个旋转抛物面、的方程分别为由yoz面上曲线和绕z轴旋转而成，见图6-5-9，可通过排开液体的体积和液面上升后增加的体积相等，计算液面上升的数值
H
图6-5-9
解：高为的旋转面所占的体积，
液面从上升至两个旋转抛物面所夹的体积：
，由可得：
，∴液面上升的高度为。
★★★★10．设有长度为、线密度为的均匀细直棒，在于棒的一端垂直距离为单位处有一质量为的质点M，试求该细棒对质点M的引力。
知识点：微元法在物理上的应用
思路：以棒的一端为坐标原点，棒置于x轴正向上，建立平面直角坐标，见图6-5-10，质点M位于（0，）处，则 至段的细棒对质点M的引力为：
，
0
图6-5-10
解：∵，
∴
★★★★11．长为的杆质量均匀分布，其总质量为，在其中垂线上高为处有一质量为的质点，求它们之间引力的大小。
知识点：微元法在物理上的应用
思路：以棒的中点为坐标原点，棒置于x轴的（）上，中垂线为y轴，建立平面直角坐标，见图6-5-11，质点M位于（0，）处，则 至段的细棒对质点M的引力为：
，
0
图6-5-11
解：∵，
∴
总习题六
★★★1．求由曲线与纵轴所围图形面积。
思路：曲线关于x轴对称，又曲线的一条分支是关于的减函数，见图6-1可知用y型或用对称性求图形面积较为简单。
图6-1
解：曲线表达为，它和y轴的交点：（）
∴
★★★2．求介于直线之间、由曲线和所围成的平面图形的面积。
解：
★★★3．直线将椭圆分成两块，设小块面积为，大块面积为，求的值。
思路：由于和的交点为及，，因此面积较小的一部分用y型做较简单，见图6-3
图6-3
1
3/2
3/2
3/2
解：较小部分区域表达为：：
则，
，∴
★★★4．求椭圆和公共部分的面积。
思路：由图形的对称性可得所求面积是和及所围在第一象限内区域面积的8倍，见图6-4
图6-4
解： ：
∴
★★★5．求由曲线所围图形面积。
思路：图形为星形线，所以由图形的对称性可得所求面积是第一象限内区域面积的4倍
解： ：，（设是星形线函数）
∴
★★★6．圆被心形线分割成两部分，求这两部分的面积
思路：设分割成的右边图形为，由图形的对称性可得所求面积是极轴上半部分面积的2倍，见图6-6
图6-6
0
1
解： 和相交于，
∴由、两部分组成，：，：，
∴，左边部分的面积
★★★★7．设，问取何值，右图中阴影部分的面积与之和最小？最大？
0
图6-7
解：，，
，得，
比较，
∴
★★★8．由曲线与轴围成的区域，被曲线分为面积为相等的两部分，求的值，见图6-8
0
1
图6-8
1
解：两曲线，交于：（），
∴
由，计算可得
★★★9．求星形线所围图形绕x轴旋转而成的旋转体体积。
知识点：旋转体体积
思路：由于星形线关于x、y轴都对称，因此所求旋转体体积是第一象限内星形线及坐标轴围成的图形绕x轴旋转一周形成的旋转体积的两倍
解：根据旋转体积的公式：，利用星形线的参数方程
进行变量代换，
可得
★★★10．求由圆绕x轴旋转而成的环体体积。
思路：可以对照绕y轴旋转的旋转体体积求法，见图6-10
0
5
1
图6-10
解：该体积是曲线及x轴所围图形绕x轴旋转一周所得体积的两倍
∴
★★★11．证明：由平面图形绕y轴旋转而成的旋转体体积为
知识点：元素法的应用
证明：由平面图形绕y轴旋转而成的旋转体体积，可看作绕y轴旋转所得的侧面积在范围内叠加而成，
∴。
★★★12．曲线和x轴围成一平面图形，计算此平面图形绕y轴旋转而成的旋转体体积。
思路：用绕y轴旋转的旋转体体积求法
解：平面图形为：曲线，（）和x轴围成
∴
★★★★13．设抛物线过原点，当时，，又已知该抛物线与直线及x轴所围图形的面积为，求，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小。
解：因为抛物线过原点，所以，又当时，，所以该抛物线与直线及x轴所围图形的面积，得，
又此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积，
将代入可得，，
得到：，因为只有一个驻点，∴可得满足所给条件的。
★★★★14．在由椭圆域绕y轴旋转而成的椭球体上，以y轴为中心轴打一个圆孔，使剩下部分的体积恰好等于椭球体体积的一半，求圆孔的直径。
知识点：旋转体体积
思路：打一个以y轴为中心轴的圆孔后，剩下的椭圆部分的体积是由xoy坐标面上，如图所示的平面图形绕y轴旋转而成立体体积的两倍，见图6-14
图6-14
解：设圆孔的半径为则在xoy面上曲线和的交点（），
平面图形由减部分组成，：；
： ，
∴，由条件，
可得：
★★★15．求由柱体与相贯部分的体积。
思路：由立体图形的对称性可知所求体积为第一象限内体积的8倍，用垂直于x轴的平行截面截，可得截面面积，以此计算体积，见图6-15
0
图6-15
解：垂直于x轴的平行截面截，得截面为长：；宽：的长方形。
∴，
16． 将曲线绕x轴旋转得一旋转体
★★(1)．求此旋转体体积
解：∵函数的定义域：，
∴
★★★(2)．记此旋转体介于与之间的体积为，问为何值时有。
解：∵，要使，
只要
★★★17．将抛物线在横坐标0与之间的弧段和以及x轴所围图形绕x轴旋转，问为何值时，所得旋转体体积等于弦（为抛物线与的交点）绕x轴旋转所得锥体体积。
思路：抛物线经过原点，并且开口向上，如图6-17
0
图6-17
解：，经（0，0）和（）的弦方程为： ，
★★★★18．计算半立方抛物线被抛物线截得的一段弧的长度。
知识点：求平面弧长
思路：作简图确定弧段的范围，代入公式，见图6-18
1
0
图6-18
解：和的交点为：
将代入方程可知是方程的根，∴分解因式可得
，∴方程只有一解
交点：（），由图形关于x轴对称∴，∵
两边对x求导：
∴
★★★19．证明双纽线的全长可表示为。
证明：根据双扭线的对称性，，其中是双扭线在第一象限内的一段弧长，
∴用极坐标的弧长公式可得：
★★★20．在摆线上，求分摆线第一拱成1：3的点的坐标。
知识点：平面曲线的弧长
解：摆线第一拱的的范围：（），设在处分摆线成1：3，则根据弧长参数公式，可得：
∵，
∴
★★★★21．求曲线，该曲线上两点（0，1）及之间的弧长为。
解：由条件：曲线上两点（0，1）及之间的弧长，
等式两边对x求导：，根据第十二章的微分方程求解得到：
∵经过（0，0），∴代入求得
★★★22．设有一半径为的平面圆板，其密度为，为圆板上的点到圆板中心的距离，求该圆板的质量。
知识点：元素法在物理上的应用
思路：由于任一点的密度只和该点到圆板中心的距离有关，设平面圆板的方程为，则在圆环
至上的每一处都近似有。
解：至的圆环质量微元：，
★★23．一物体按规律作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由移至时，克服媒质所做的功。
知识点：元素法在物理上的应用
解：
∴
★★★★24．用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力和铁钉进入木板的深度成正比，铁钉在第一次捶击时将铁钉击入1cm，若每次捶击所作的功相等，问第n次捶击时又将铁钉击入多少？
知识点：元素法在物理上的应用
解：设木板对铁钉的阻力为；铁钉进入木板的深度为，则，
则由每次捶击所作的功相等的条件可得，
∵，∴设，则由
∴由归纳法得证：（cm）
25．以每秒的流量往半径为的半球形水池内注水。
★★★(1)．求在池中水深时水面上升的速度
知识点：相关变化率
解：设当时间时，池中水深，半球形水池可看作xoy面上曲线绕y轴旋转一周而成，则由时间时注入水量等于水深为的球冠体积可得：
，该等式两边对求导
★★★(2)．若再将满池水全部抽出，至少需作功多少？
知识点：元素法在物理上的应用
解：重设xoy面上的方程：，则将球形水池中至体积的水抽出水面做功
（其中是水的密度，是重力加速度）
★★★26．以等腰梯形闸门，梯形的上下底分别为50m和30m，高为20m，若闸门顶部高出水面4m，求闸门一侧所受的水的静压力。
知识点：微元法在物理上的应用
思路：以上底中心为坐标原点，垂直向下建立x轴，见图6-26，等腰梯形腰的方程则为：，因此在 至的闸门条带上，所受的静压力为
50m
20m
30m
0
图6-26
4m
解：∵，
∴（kg）
★★★27．设有一半径为，中心角为的圆弧形细棒，其线密度为常数，在圆心处有一质量为的质点M，试求该细棒对质点M的引力。
知识点：微元法在物理上的应用
解：设弧棒的方程为极坐标系下：，见图6-27，
图6-27
0
则 至段的细棒对质点M在x轴（也为极轴）正向上的的引力为：
∵，
∴根据弧棒关于x轴的对称性可知
★★★★28．设有半径为面密度为的均匀圆板，质量为的质点位于通过圆板中心且垂直于圆板的直线上，，求圆板对质点的引力。
知识点：微元法在物理上的应用
解：设半径为面密度为的均匀圆板区域为：，见图6-28，
图6-28
对于和所夹环带区域，由于对称性，只有在垂直于圆板的方向才有引力：
∵
课外习题
★★★★1．求曲线以及轴所围成图形的面积
思路：可以根据第四章的判断函数单调性和作图等知识求出曲线的单调区间或画出曲线的图形，再确定的变化范围，见图6-（1）
图6-（1）
解：由曲线方程可知：，
且∵ ，
∴当时有：单调降，
又两曲线的交点为：，舍去的解可得在
范围内的交点是，，而是一个单调增函数，
∴该图形区域可表达为：，
∴所求
★★★★2．求曲线所围成图形的面积
思路：该曲线的参数式为，它是伯努利双纽线（见书后附录Ⅱ），可用对称性求该图形的面积
解：所求面积，是该曲线在第一象限内围成的区域面积，
所占区域可表达为：，∴
★★★★3．设，试求曲线与轴所包围的面积
思路：首先需要确定的大致图形，然后才能确定的变化范围
解：驻点（舍）得唯一驻点
当时，单调增，当时，单调降，又；，
∴，舍去，得和轴所围图形在内，
∴所求面积
★★★★4．如图6-（4），在曲线上面作一个台阶曲线，台阶的宽度为1，试求图中无穷多个阴影部分的面积之和
0
1
图6-（4）
1
2
3
解：台阶曲线可表示为：，设第个阴影部分的面积为，
，
所求（等比级数）
★★★★5．设是区间[0，1]上的任一非负连续函数。（1）试证存在，使得在区间上以为高的矩形面积，等于在区间上以为高的曲边梯形的面积。（2）又设在区间内可导，且，证明（1）中的是唯一的
证（1）：即要证存在，使得
设函数，∴在[0，1]上用罗尔定理可得：
，使得
（2）设，∵
∴单调降，∴（1）中的是唯一的
★★★★6．（1）对曲线，试在横坐标和之间找一点，使在这点两边有阴影部分的面积相等（如图6-（6）） （2）在（1）中设曲线，记。其余的如（1）所述，试求并计算
0
图6-（6）
解（1）：要使处两边有阴影部分的面积相等，即要：
（2）若，则
（等价无穷小代换）
★★★★7．证明：将极坐标下的面积：绕极轴旋转所成的体积是
证明：用微元法，取小片面积，见图6-（7）
图6-（7）
0
该面积绕极轴旋转所成的体积近似于面积：绕极轴旋转所成的体积，先求区域绕极轴旋转所成的体积：
则，得到体积微元
∴
★★★★8．设曲线方程为，当时，对应曲线上的点为。求过点的切线与轴、直线所围成的图形绕轴旋转所得立体体积
解：显然，点的坐标为（1，0），则过的切线：，当时，，所以该切线与轴、直线所围成的图形在范围内，∴所求立体体积
★★★★9．有一立体的底是半径为的圆，以一组垂直于底面的平行平面截这立体所得的截面为为抛物线拱形，每次截得的拱形高都不变，求此立体的体积
解：设底圆的方程为，过作垂直于x轴的平面，截得的截面边界为关于z轴对称的抛物线，所以方程设为，
又拱形高为，且过，∴，截面面积
过的截面面积为，
所求体积为
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