八年级下平行四边形期末复习.doc

<p>八年级下册期末复习---平行四边形
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;姓名 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 成绩 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
一、学习目标 &nbsp; &nbsp; 复习平行四边形、特殊平行四边形、梯形的性质与判定，能利用它们进行计算或证明.
二、学习重难点 &nbsp; &nbsp;重点：性质与判定的运用；难点：证明过程的书写。
三、本章知识结构图

1．平行四边形是特殊的 &nbsp; &nbsp; &nbsp;；特殊的平行四边形包括 &nbsp; &nbsp; &nbsp;、 &nbsp; &nbsp; &nbsp;、 &nbsp; &nbsp; &nbsp; 。
2．梯形 &nbsp; &nbsp; &nbsp; （是否）特殊平行四边形， &nbsp; &nbsp; &nbsp; （是否）特殊四边形。
3．特殊的梯形包括 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 梯形和 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;梯形。
4、本章学过的四边形中，属于轴对称图形的有 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ；属于中心对称图形的有 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 。
O
A
B
C
D
四、复习过程 &nbsp; &nbsp; &nbsp;（一）知识要点1：平行四边形的性质与判定
1.平行四边形的性质：
（1）从边看：对边 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ，对边 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;；
（2）从角看：对角 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ，邻角 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;；
（3）从对角线看：对角线互相 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ；
（4）从对称性看：平行四边形是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 图形。
2、平行四边形的判定：
（1）判定1：两组对边分别 &nbsp; &nbsp; &nbsp; 的四边形是平行四边形。（定义）
（2）判定2：两组对边分别 &nbsp; &nbsp; &nbsp; 的四边形是平行四边形。
（3）判定3：一组对边 &nbsp; &nbsp; &nbsp; 且 &nbsp; &nbsp; &nbsp; 的四边形是平行四边形。
（4）判定4：两组对角分别 &nbsp; &nbsp; &nbsp; 的四边形是平行四边形。
（5）判定5：对角线互相 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;的四边形是平行四边形。
【基础练习】
1.已知□ABCD中，∠B=70°，则∠A=____，∠C=____，∠D=____．
2.已知O是ABCD的对角线的交点，AC=38 mm，BD=24 mm,AD=14 mm，那么△BOC的周长等于__ &nbsp; __.
3.如图1，ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若AC=8，BD=6，则边AB长的取值范围是（ &nbsp; &nbsp;）.
A.1＜AB＜7 &nbsp; B.2＜AB＜14 &nbsp; C.6＜AB＜8 &nbsp; D.3＜AB＜4
4.不能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ &nbsp; ）
A.AB=CD,AD=BC &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;B.ABCD &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
C.AB=CD,AD∥BC &nbsp; &nbsp;D.AB∥CD,AD∥BC
5.在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，ABCD
的周长为40，则ABCD的面积是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（ &nbsp; &nbsp;）
A、36 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;B、48 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
C、 40 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D、24
【典型例题】
O
A
B
C
D
例1、若平行四边形ABCD的周长是20cm,△AOD的周长比△ABO的周长大6cm.求AB,AD的长.

例2、 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G。（1）求证：AF=GB；
（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形,并说明理由．

&nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;

【课堂练习】：
1、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，
(1)求证：FD=FC &nbsp; (2)若AC=6cm，试求四边形AEDF的周长。

B
E
F
C
A
D
2、已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，（1）试判断BE、CF的关系；（2）若E、F是平行四边形ABCD对角线AC延长线上的两点，上述结论还成立吗？说明理由

3、如图，四边形ABCD为平行四边形，M,N分别从D到从B到C运动，速度相同，E,F分别从A到B，从C到D运动，速度相同，它们之间用绳子连紧。（1）没有出发时，这两条绳子有何关系？
（2）若同时出发，这两条绳子还有（1）中的结论吗？为什么？

（二）知识要点2：特殊平行四边形的性质与判定
1．矩形：
（1）性质：具有平行四边形的所有性质。另外具有：
四个角都是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;，对角线互相平分而且 &nbsp; &nbsp; &nbsp; ，也是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 图形。
（2）判定：
从角出发：有 &nbsp; 个角是直角的平行四边形或有 &nbsp; &nbsp;个角是直角的四边形。
从对角线出发：对角线 &nbsp; &nbsp; &nbsp; 的平行四边形或对角线 &nbsp; &nbsp; &nbsp; 且互相 &nbsp; &nbsp; &nbsp; 的四边形。
2．菱形：
（1）性质：具有平行四边形的所有性质。另外具有：
四条边都 &nbsp; &nbsp; &nbsp;，对角线互相 &nbsp; &nbsp; 且 &nbsp; &nbsp; 每一组对角，也是 &nbsp; &nbsp; &nbsp;图形。
（2）判定：
从边出发：一组 &nbsp; &nbsp; &nbsp;边相等的平行四边形或有 &nbsp; &nbsp; 条边相等的四边形。
从对角线出发：对角线互相 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 的平行四边形或对角线互相 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;且 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;的四边形。
3．正方形：
（1）性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质
（2）判定方法步骤：
O
A
D
B
C
证明
证明
证明
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;矩形
四边形 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;平行四边形 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;正方形
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;菱形
【基础练习】
1、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=120，AC=12cm，则AB的长__ &nbsp; &nbsp; &nbsp; __
2、菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是_____.
3、若菱形的周长为16 cm，一个内角为60°，则菱形的面积为______cm2。
4、两直角边分别为12和16的直角三角形,斜边上的中线的长是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 。
5、下列条件中，能判定四边形是菱形的是（ &nbsp; &nbsp;）．
A.两组对边分别相等 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;B.两条对角线互相平分且相等
C.两条对角线相等且互相垂直 &nbsp; &nbsp;D.两条对角线互相垂直平分
A
B
C
D
E

6、在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，增加一个条件 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;可以判定四边形是矩形；增加一个条件 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;可以判定四边形是菱形。
7、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，能判定它是正方形的是（　　）.
A.AO＝OC，OB＝OD　 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;B.AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
C.AO＝OC，OB＝OD，AC⊥BD　 &nbsp;D.AO＝OC＝OB＝OD
8、如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE为等边三角形，则∠DCE= &nbsp; &nbsp; °.
【典型例题】
B
D
C
P
E
A
例3：如图，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，E，D为垂足．求证：四边形AEBD是矩形．

例4：正方形ABCD中，点E、F为对角线BD上两点，DE=BF。试解答：
（1）四边形AECF是什么四边形？ 为什么？
（2）若EF=4cm，DE=BF=2cm，求四边形AECF的周长。
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;

例5：如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF. AE与BF相等吗？为什么？ AE与BF是否垂直？说明你的理由。

【课堂练习】
1、如图，矩形ABCD中(AD＞2)，以BE为折痕将△ABE向上翻折，点A正好落在DC的A′点，若AE=2，∠ABE=30°，则BC=_________.
2.如图2，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为____．
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;F &nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp;1 题图 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;2题图 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
3、如右上图，正方形中，∠，交对角线于点，那么∠等于 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;. &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
4.在△ABC中，AD⊥BC于D，E、F分别是AB、AC的中点，连结DE、DF，当△ABC满足条件_________时，四边形AEDF是菱形(填写一个你认为恰当的条件即可).
5、如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，试说明四边形AFCE是菱形.

G
C
B
E
D
A
F
6、如图，分别以△ABC的边AB，AC为一边向外画正方形AEDB和正方形ACFG，连接CE，BG.试判断CE、BG的关系.

（三）知识要点3：等腰梯形
1．性质：
从边看：两腰 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;，两底 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;；
从角看：同一底上的两底角 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;；上、下底所夹的邻角 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;；
从对角线看：对角线 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ；
A
C
D
E
F
B
从对称性看：等腰梯形是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 图形。
2．判定：
方法1：两条腰 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;的梯形是等腰梯形；
方法2：两条对角线 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;的梯形是等腰梯形；
方法3：同一底上的两个底角 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;的梯形是等腰梯形。
3．三角形、梯形的中位线：
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，则EF= &nbsp; &nbsp; &nbsp; ，EF &nbsp; &nbsp;AD且EF &nbsp; &nbsp;BC。
如图，在ΔABC中，D、E分别是AB、AC边中点，则ED &nbsp; &nbsp;BC且ED= &nbsp; &nbsp;BC
4.常见的梯形辅助线作法：

平移腰 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 作高 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 平移对角线 &nbsp; &nbsp;延长两腰 &nbsp; 等积变形
解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．
5、中点四边形
（1）顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形一定是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。
（2）顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形一定是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。
（3）顺次连结矩形各边中点所得的四边形一定是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。
（4）顺次连结菱形各边中点所得的四边形一定是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。
（5）顺次连结正方形各边中点所得的四边形一定是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。
（6）顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形一定是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。
（7）平行四边形各内角平分线所围成的四边形是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。
（8）矩形各内角平分线所围成的四边形是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。
【基础练习】
1、已知直角梯形一条腰的长为5 cm，它与下底成30°的角，则该梯形另一腰的长为_________ cm.
2、已知在梯形ABCD中，AD//BC，∠A：∠B：∠C=4∶1∶2，则
∠D=__________。
3、等腰梯形的底角为60°，它的两底分别是15cm,29cm.则腰长是_____cm。
4、已知等腰梯形的腰长为5cm，上、下底的长分别为6cm和12cm，则它的面积为 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;．
5、已知等腰梯形的上底是10cm，下底是18cm，高是3cm，则等腰梯形的周长为 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;cm。
6、等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= &nbsp; &nbsp; &nbsp; 。
A
B
C
D
O
7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，设AC，BD交于O点，则图中
面积相等的三角形有（ &nbsp; &nbsp; ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

【典型例题】
例6：如图，等腰梯形ABCD中，AB=2CD，AC平分∠DAB，AB＝，试求：（1）求梯形的各角。（2）求梯形的面积。

A
B
C
D
E
F
G
例7：已知：在梯形ABCD中，AD//BC，E为BC中点，EF⊥AB，EG⊥CD，EF=EG。求证：梯形ABCD为等腰梯形。

【课堂练习】
B
A
D
C
1、如果直角梯形的上底为5㎝，高为4㎝，下底与一腰的夹角为45°，那么该梯形的面积为 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;㎝2。
2、如图，在直角梯形中，底AD=6 cm，BC=11 cm ，腰CD=12 &nbsp; &nbsp;
cm，则这个直角梯形的周长为______cm。
3、若梯形的上底边长为，中位线长为，则此梯形的下底长为（ &nbsp; &nbsp; &nbsp;） &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
A． &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B． &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C． &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．
4、如果梯形中位线长20，它被一条对角线分成两段的差为5，那么两底的长分别为（ &nbsp; &nbsp; &nbsp;）
A．15，30 &nbsp; &nbsp; &nbsp;B．25，15 &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．30，20 &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．以上都不对

5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．求CD的长．

&nbsp;

6、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠D＝120o,对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长20，求AC。
A
D
B
C

7、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，延长CB到E，使EB=AD，连接AE。求证：AE=CA。

8、在梯形ABCD中，AD//BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE，BE交DC于E点求证：AB=AD+BC
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;

9、在等腰三角形ABCD中，AD//CB，AB=CD，（1）若BD平分∠ABC，交梯形中位线EF于G，EG=5cm，GF=9cm，求梯形ABCD的周长
（2）若AC⊥BD，且梯形的高为10cm，求梯形中位线EF的长

10、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点。（1）求证：△ABM≌△DCM
（2）四边形MENF是什么图形？请证明你的结论。

（3）若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系？并请说明理由。

（四）动点问题
【基础练习】
1、如图，已知矩形ABCD，点R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在BC上从B向C移动而R不动时，下列结论成立的是（ &nbsp; ）
&nbsp; &nbsp; A.线段EF的长逐渐增大。
&nbsp; &nbsp; B.线段EF的长逐渐减小。
&nbsp; &nbsp; C.线段EF的长不变。
&nbsp; &nbsp; D.线段EF的长不能确定。
2、如图，正方形ABCD的对角线长为10㎝，M是AB边上一个动点，且ME⊥AC于E，MF⊥BD于F，则ME+MF的值是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。
3、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC边上一个动点，则DN+MN的最小值是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;。
【典型例题】
A
E
N
B
C
F
M
O
例1、如图，O为△ABC的边AC上一动点,过点O的直线MN∥BC，设MN分别交∠ACB的内、外角平分线于点E、F。（1）求证：OE=OF&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
（2）当点O在何处时，四边形AECF是矩形？
（3）请在ABC中添加条件，使四边形AECF变为正方形，并说明你的理由。

&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
例2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为矩形？
（2）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？
（4）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？

【巩固练习】
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t(秒).
（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形．
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？</p>