平行四边形相关知识梳理与常考题型上课讲义.doc

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平行四边形相关知识梳理与常考题型总结
知识梳理
1．平行四边形的定义：（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）表示：平行四边形用符号“□”来表示。
2．平行四边形性质： （1）边：两组对边分别平行且相等；
（2）角：对角相等、邻角互补；
A
B
C
D
O
（3）对角线：对角线互相平分。
3．平行四边形的判别方法：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②对角线互相平分的四边形是平行四边形
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
④两组对边分别相等的四边形是平行四边形
⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形
4、三角形中位线——构造平行四边形
(1) 定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
(2)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．
三角形中位线定理的作用：①位置关系：可以证明两条直线平行．
②数量关系：可以证明线段的倍分关系．

经典题型
1、已知如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形

2、分别以△ABC的三边为边向同一侧作等边△ABD、△BCE、△ACF，连接DE、EF. 求证：四边形AFED是平行四边形.

3、已知如图，在四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点.

求证：

4、已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且。
（1）说明是等腰三角形。
（2）的哪两边之和等于平行四边形ABCD的周长，为什么？

5.(黄冈市中考题)如图所示，平行四边形ABCD中，G、H是对角线BD上两点，且DG＝BH，DF＝BE.
求证：四边形EHFG是平行四边形.

6 已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２ＢＣ，Ｅ，Ｆ在直线ＢＣ上，且ＢＥ＝ＢC＝ＣＦ．求证：ＡＦ⊥ＤＥ．
D
E
F
A
B
C

7.(江西省中考题)已知：如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥BD，垂足分别为E、F，G、H分别是AD、BC的中点，GH交BD于点O.
求证：GH与EF互相平分.

8.(河南省中考题)已知：如图，平行四边形ABCD中，对角线AC的平行线MN分别交DA、DC延长线于点M、N，交AB、BC于点P、Q.
求证：MQ＝NP.

能力提高
1.已知：如图，平行四边形ABCD中，AB＝2BC，E为AB中点，DF⊥BC，垂足F.
求证：∠AED＝∠EFB.

2.如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB,M为AD的中点，CE⊥AB，垂足为E，求证：∠DME=3∠AEM.

作业
1.如下图所示，ABCD是平行四边形，以AD、BC为边在形外作等边三角形ADE和CBF，连结BD、EF，且它们相交于O，求证：EO=FO，DO=BO.

2.如图所示，∠EDA是平行四边形ABCD的外角，DF平分∠EDA与BA延长线交于F，FD延长线与BC延长线交于G.求证：BF=BG.

3.如图所示，平行四边形ABCD中，作AF⊥BC于F，交BD于E，若DE=2AB.求证：∠ABD=2∠EBC.

取 G 为 DE 中点，连接 AG.
在RT△ADE中，AG为斜边上的中线。
∴DE/2 = AG = EG = DG = AB
∴∠ABE = ∠AGE ，∠ADE=∠GAD
∴∠ABE = ∠AGE = ∠ADE+∠GAD=2∠ADE = 2∠CBD

证明： ∵ABCD平行四边形 AF⊥BC
∴∠EAD=90°
取DE中点M， 则AM=MD=ED（直角三角形斜边上中线等于斜边一半）
∵DE=2AB
∴AB=AM=MD
∠ADM=∠DAM
∠ABD=∠AMB
∵∠AMB=∠ADM+∠DAM=2∠ADM
∴∠ABD=2∠ADM
∵∠ADM=∠DBC
∴∠ABD=2∠DBC

4.如图所示，平行四边形ABCD中，以BC、CD为边向内作等边三角形BCE和CDF.求证：△AEF为等边三角形.

5.如图所示，在△ABC中，BD平分∠B，DE∥BC交AB于E，EF∥AC交BC于F，求证：BE=FC

6.如图所示，平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是CD中点，分别延长BA和DC到G、H，使AG=CH，连结GF、EH，求证：GF∥EH

7.如图所示，平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，AF与BE相交于G，CE与DF相交于H.求证：EF与GH互相平分

（1）在△ABC和△DBE中
AB=AD
∠ABC=∠EBC-∠EAB，∠DBE=∠DBA-∠EBA
因为∠EBC=∠DBE=60°
所以∠ABC=∠DBE
BC=BE
因此△ABC≌△DBE，DE=AC。
△ACF是等边三角形，所以AF=AC=DE
在△ABC和△FEC中
AC=FC
∠ACB=∠ECB-∠ECA
∠FCE=∠FCA-∠ECA
因为∠ECB=∠FCA=60°
所以∠ACB=∠FCE
BC=EC
因此△ABC≌△FEC，EF=AB
因为△ABD是等边三角形，所以AD=AB=EF
四边形ADFE两组对边分别相等，是平行四边形

仅供学习与参考