第2章-变形几何理论.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,09 十月 2026,第2章 变形几何理论,2.1 点的应变状态,2.2 应变与位移关系方程,2.3 应变增量,2.4 应变速度张量,2.5 主应变图与变形程度表示,2.1 点的应变状态,基本概念,应变张量,点的应变状态,主应变、应变不变量、体积应变,球应变张量与偏差应变张量,八面体应变,应变分量与位移分量微分关系,1.基本概念,物体变形时，各点位置的改变量称作,位移,。,2.1 点的应变状态,位移类别：,刚性位移,，如,平移,、,转动,变形位移,：变形体内不同点的位移分量不同,物体变形时，单元体将发生,正应变(线应变),:线元尺寸长度上的变化,r,r,1,=r+r,r,X,r,X,X轴分量的线应变,X,Y,r,y,r,y,y轴分量的线应变,相对应变,线元伸长时为正缩短为负,2.小应变,切应变,:线元方位上的改变,x,y,/2-,XY,XY,r,r,r,y,角度减小取正号，增大时取负号。,工程剪应变,x,y,/2-,XY,YX,XY=,YX=,XY,/2,剪应变(理论剪应变),角标意义？,在实际变形中,，线元PA及PC的偏转角度不一定相同，,现设其实际的偏转角度为 和,x,y,XY,YX,首先，来看一个极小的单元体经小变形后变成了一个偏斜的平行六面体。,3.质点的应变状态,可以设想为单元体先平移，再进行正应变和剪应变,r,X,r,X,r,y,r,y,r,z,r,z,等九个分量可构成一个张量，叫做,相对位移张量,在一般情况下，,即,（非对称张量）。,将它分解：,后一项是反对称张量，,表示刚体转动，叫做刚体转动张量,；,前一项是对称张量，表示纯变形,，应变张量一般用,表示,，即：,便于记忆，下标可以理解为：,第一个下标表示通过P点单元体的棱边（线元）的方向，第二个下标表示该线元的变形方向。,应变张量,正应变或线应变 伸长为正，缩短为负；,剪应变或切应变 夹角减小为正，增大为负。,思考,物体变形单元体发生哪些位移？,工程剪应变、理论剪应变区别？,应变张量下标意义？与应力张量下标意义有何不同？,3-3 位移分量和小变形几何方程,物体内任意一点的位移矢量为,u,，在三个坐标轴方向的位移分量,u,、,v,、,w,。,上式即可定义一物体内的位移场。,位移分量的偏导数就是相对位移张量,的分量，也即,可知：,()剪应变(理论剪应变),得到小应变分量和位移分量的关系：,简记为：,小应变分量也是坐标的连续函数，它可以确定物体中的应变张量场。,上式叫做小应变几何方程,，坐标的连续函数，确定应变张量场。,如物体中的位移场为已知，则可由几何方程求得小应变分量,。,3-4 变形连续方程或协调方程,。,什么叫变形连续方程或协调方程。,六个应变分量有,（取决于三个位移分量对x、y、z的偏导）有,一定的关系,，,才能保证物体中的所有单元体在变形之后仍然可以连续地组合起来。,上式表示了在每个坐标平面内应变分量的关系。,同理得：,表示了,不同平面中应变分量之间的关系。,1.物理意义：表示各应变分量之间的相互关系,“,连续协调,”,即变形体在变形过程中不开裂，不堆积；,2.应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内 三个切应变分量如果确 定，则正应变分量也就可以确定；,3.,如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量自然满足协调方程,；若是按其它方法求得的应变分量，则必须校验其是否满足连续性条件。,思考,变形协调方程的物理意义是什么？,如何判断应变场是否存在？,例 设,其中a，b为常数，试问上述应变场在什么情况下成立？,解：,当时，,a=-2b,，上式成立，应变场成立。,3-5 塑性变形时的体积不变条件,设单元体初始边长为dx、dy、dz，则变形前的体积为,变形后的体积为,当塑性变形时，变形物体变形前后的体积保持不变，即,3-6 主应变、应变张量的不变量，主剪应变和最大剪应变,通过一点，存在三个相互垂直的应变主方向（主轴），在主方向上的线元没有角度偏转，只有正应变。,如果取正应变主轴为坐标轴，则应变张量就简化为：,主应变图,应变张量的特征方程：,应变张量的第一不变量：,应变张量的第二不变量：,应变张量的第三不变量：,在与应变主方向成45角的方向上，存在三对各面相互垂直的线元,。它们的剪应变有极值。叫做,主剪应变,。,如,塑性力学图,变形体内一点的,主应力图与主应变图结合构成变形力学图,。它形象地反映了该点主应力、主应变有无和方向。主应力图有9种可能，主应变有3种可能，二者组合，则有27种可能的变形力学图。,但单拉、单压应力状态只可能分别对应一种变形图，所以实际变形力学图应该只有23种组合方式。,讨论：,球应变张量与偏差应变张量,平均线应变,球应变张量,应变偏张量,应变偏张量表示形状变化，球应变张量表示体积变化，塑性变形时，体积不变,，,即,应变偏张量即是应变张量,3-7 应变偏张量和球张量，八面体应变和等效应变,例.试求平面应变情况下的应变分量的不变量及主应变表达式。,解:,八面体应变,在正八面体的平面的法线方向线元的应变称为,八面体应变,八面体线应变,八面体切应变,等效应变,单向拉伸时，主应变为,1,及,例题,设物体中任意一点的位移分量,u1010,-3,+0.110,-3,xy+0.0510,-3,z;,v=510,-3,-0.0510,-3,x+0.110,-3,yz,w=1010,-3,-0.110,-3,xyz，,求点A（1，1，1）与B（0.5，1，0）的应变分量、应变球张量，主应变不变量，八面体应变，等效应变。,解：,将A(1,1,1)代入上式：,对于点A：,3-8应变增量和应变速率张量,一、全量应变和应变增量的基本概念,前面所讨论的应变是反映单元体在,某一变形过程终了,时的变形大小，称作,全量应变,。,其度量基准是用变形以前的原始尺寸,。而,增量应变,则是指变形过程中,某一极短阶段,的无限小应变，,其度量基准不是原始尺寸，而是用变形过程中某一瞬间的尺寸。,弹性变形是线性可逆的,，应变状态与应力状态同步，与加载过程无关。,而塑性变形是非线性不可逆的,。加载时产生新的塑性变形，卸载时已产生的塑性变形不随应力而变。,因此塑性变形是历次变形的叠加结果，并不一定是单值地对应于应力状态,，或者说与应力状态不同步，,因此全量应变在塑性变形中的应用受到很大限制,。,经物体在变形过程中某瞬时的形状尺寸为原始状态，在此基础上发生的无限小应变就是,应变增量,。,在描述整个变形过程时，引入时间参数,速度场,二、应变增量,（位移增量的分量）,应变增量与位移增量之间的关系，也即几何方程。,应当指出：塑性变形过程中某瞬时的应变增量,是当时具体变形条件下,的无限小应变，描写的是瞬时情况和过程；而当时的全量应变 则是,该瞬时以前的变形积累的结果，只能描写变形的起始近似结果。,应变增量和小应变张量一样，具有三个主方向，三个主应变增量,三个不变量，三对主剪应变增量、偏张量、球,张量、等效应变增量等。,三、,应变速率张量,一点的应变速率也是二阶对称张量,应变速率表示单位时间的应变，即变形速度。,区别：,思考,塑性变形的应力应变关系为何要用增量理论？,应变增量与全量应变的区别？,一、平面应变状态,变形物体在某一方向不产生变形，称为平面变形，其应力状态称为平面应变状态下的应力状态。,平面应变的应力状态特点,1）不产生变形的方向为主方向，与该方向垂直的平面上没有切应力；,2）在该方向有阻止变形的正应力；,3）有应力分量沿该轴均匀分布，即与该轴无关。,3-9平面变形问题和轴对称问题,1）,变形体内所有质点在与某一方向垂直的平面上没有应变作用，所有质点都是两向应力状态，设该方向为z轴。,则,z,xz,yz,0，,只有,x,、,y,、,xy,三个应力分量。,x,=-,y,2）,各应力分量与z轴无关，整个物体的应变分布可以在xy坐标平面上表示出来。,以应力主轴为坐标轴时,，则,+,若已知应力状态,，可用,判别塑性变形的类型：如,0对应于广义拉伸变形；,=0对应于广义剪切变形；,0对应于广义压缩变形。,轴对称状态的几何方程,通过轴线子午面平面,应力应变分析的相似性与差异性,相似性：张量表示、张量分析、张量关系相似,概念：应力,研究面元ds 上力的集度,应变,研究线元dl 的变化情况,内部关系：应力应力平衡微分方程,应变应变连续（协调）方程,弹性变形：相容方程,塑性变形：体积不变条件,差异性：,等效关系,：,等效应力,弹性变形和塑性变形表达式相同,等效应变,弹性变形和塑性变形表达式不相同,对于弹性变形：,（,泊松比,(材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向正应变的绝对值的比值),）,对于塑性变形：,应力理论,变形几何理论,全应力、正应力、剪应力,全应变、正应变、剪应变,应力张量、球应力张量、偏应力张量,应变张量、球应变张量、偏应变张量,主平面、主应力、应力不变量、,应力偏张量不变量,主平面、主应变、应变不变量,主剪平面、主剪应力和最大剪应力,主剪平面、主剪应变和最大剪应变,八面体应力与等效应力,八面体应变与等效应变,应变分量与位移分量关系,应力平衡方程,几何方程、变形连续方程,应力增量,位移增量，应变增量，应变速率,应力摩尔圆,应变摩尔圆,平面应力状态,平面应变状态,总 结,例题,1已知平面应变状态下，变形体某点的位移函数为 ，试求该点的应变分量 ，并求出主应变,的大小。,解,2 设,其中a，b为常数，试问上述应变场在什么情况下成立？,解：,当时，,a=-2b,，上式成立，应变场成立。,