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1.6 三角函数模型的简单应用

教材分析
本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.
课时分配
本节内容用2课时的时间完成，本教案为第2课时，主要通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法，体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程并体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
教学目标
重点: 精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质．
难点：分析、整理、利用信息，
从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的
知识来解决问题．
知识点：通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法．
能力点：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、
分析问题、数形结合、抽象概括等能力.
教育点：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受
数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的
钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神.
考试点：将实际问题抽象为三角函数模型问题.
拓展点：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精
神和实践能力.
教具准备 多媒体课件和三角板
课堂模式 学案导学
一、 引入新课（情景展示，多媒体显示）
1．情景展示，新课导入
经过前面的学习，大家知道，在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象，而要定量地去刻画这些现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型.这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用.
在山海关孟姜女庙有一副对联：“海水朝，朝朝朝，朝朝朝落；浮云长，长长长，长长长消.”其中描绘了海潮涨落，浮云长消的自然景象，显示了自然界变幻多姿的景色，这其中对海潮的描述也是感性的.今天我们将从数学的视角理性地研究有关潮水涨落的一些实际问题.
2．问题提出，探究解决
情景设置：若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去 ，你作为船长，你希望知道关于该港口的一些什么情况？
问题探究1：阅读课本P62：例4给出某港口在某年某个季节每天的时间与水深的关系表，思考并回答：①你能够从表格中的数据中得到一些什么信息？
②水的深度变化有什么特点吗？
③为了更直观明了地观察出水的深度变化规律，我们可以怎么做？
具体操作是：
④若用平滑的曲线将所描各点连起来，所得图象形状跟我们前面所学过哪个函数类型非常相似？并尝试求出该函数模型.
⑤有了这个模型，我们要制定一张一天24内整时刻的水深表，就是件非常容易的事情了.如何计算在4时的水深？在任一时刻的水深怎么计算？
问题探究2：针对课本P62：例4（2）问，思考：
①货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？
②怎样用数学语言描述这一条件呢？
③在[0，24]的范围内，该怎么求解？
④你能说清楚解的实际意义吗？
问题探究3：货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，货船的安全深度不再向开始那样一直是一个常数，现在它也是一个关于时间的变量，而实际水深也一直在变化，这样一来当两者都在改变的时候，我们又改如何选择进出港时间呢？针对课本P62：例4（3）问，思考：
①“必须停止卸货”，是在货船即将面临什么危险的时候？
②反过来，“货船安全”需要满足的条件是
用数学式子表示为
③对于上式，如何求解呢？
④尝试说说解的实际意义.
二、典例剖析
研究典型例题，总结解题规律
例4根据相关数据进行三角函数拟合
【背景材料】 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻
0:00
3:00
6:00
9:00
12:00
15:00
18:00
21:00
24:00
水深（米）
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
思考1：观察表格中的数据，每天水深的变化具有什么规律性？

思考2：设想水深y是时间x的函数，作出表中的数据对应的散点图，你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些数据？

思考3: 用一条光滑曲线连结这些点，得到一个函数图象，该图象对应的函数解析式可以是哪种形式？

思考4：用函数 来刻画水深和时间之间的对应关系，如何确定解析式中的参数值？

思考5：这个港口的水深与时间的关系可用函数

________________________________________近似描述，你能根据这个函数模型，求出各整点时水深的近似值吗？（精确到0.001）

时刻
0:00
1:00
2:00
3:00
4:00
5:00
6:00
7:00
8:00
水深（米）

时刻
9:00
10:00
11:00
12:00
13:00
14:00
15:00
16:00
17:00
水深（米）

时刻
18:00
19:00
20:00
21:00
22:00
23:00

水深（米）

思考6：一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？

思考7：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

思考8：右图中，

设点有人认为，由于P点是两个图象的交点，说明在时，货船的安全水深正好与港口水深相等，因此在这时停止卸货将船驶向较深水域就可以了，你认为对吗
[设计意图]使学生体将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
练习1：如图所示，是一个缆车示意图，缆车半径为4.8m,圆上最低点与地面的距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB,设B点与地面距离是h.
(1) 求h与间的函数关系；
(2) 设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，
求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次
到达最高点时用的最少的时间是多少?

2.已知某帆船中心比赛场馆内的海面上每天海浪高y（米）可看作是时间t(,单位：时)的函数，记作，经长期观测，的曲线可近似的看成是曲线，下表示某日各时的浪高数据：
T(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
2
1.5
0.99
1.5
2
1.5
0.99
1.5
2
求能近似的表示表中数据间对应关系的函数解析式.
[设计意图] 培养学生发散思维的能力及良好的解题习惯,巩固所学知识．
例2、：一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置
的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是.
（1）求小球摆动的周期和频率；
（2）已知g=980cm/s2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l应当是多少？
[设计意图] 让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.
三、课堂小结
（1）三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，其解答流程大致是：审读题意，设角建立三角函数，分析三角函数性质解决实际问题. 其中根据实际问题的背景材料，建立三角函数关系，是解决问题的关键.
（2）在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活的运用三角函数的图象和性质进行解答.
（3）根据三角函数图象建立函数解析式，就是要抓住图象的数字特征确定相关的参数值，同时要注意函数的定义域.
（4）对于现实世界中具有周期现象的实际问题，可以利用三角函数模型描述其变化规律.先根据相关数据作出散点图，再进行函数拟合，就可获得具体的函数模型，有了这个函数模型就可以解决相应的实际问题.
四、布置作业
1．阅读教材
2.书面作业
必做题：已知某帆船中心比赛场馆内的海面上每天海浪高y（米）可看作是时间t(,单位：时)的函数，记作，经长期观测，的曲线可近似的看成是曲线，下表示某日各时的浪高数据：
T(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
2
1.5
0.99
1.5
2
1.5
0.99
1.5
2
求能近似的表示表中数据间对应关系的函数解析式.
选做题：
一、选择题
1. 初速度v0，发射角为，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式为（ ）
A. B. C. D.
2. 当两人提重为的书包时，夹角为，用力为，则为____时，最小（ ）
A． B. C. D.
3.某人向正东方向走x千米后向右转，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为 （ ）
A． B. C. D.
二、填空题
4. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为，从甲楼顶望乙楼顶俯角为，则甲、乙两楼的高度分别为_______
5.一树干被台风吹断折成角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_____.
三、解答题
6、有一长为的斜坡，它的倾斜角为，现在要倾斜角改为，则坡底要伸长多少?
[设计意图]设计作业1、2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯，书面作业的布置，是为了让学生能够巩固课堂上所学的知识和方法，培养学生用整体的观点看问题，起到承上启下的作用．
七、教后反思
1.本教案的亮点是例题及变式训练的编排，既注重了与本堂课内容的联系，又在不知不觉中提高了难度， 提
高了学生的解题能力．
2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在根据实际问题的背景材料，建立三
角函数关系，解决实际问题上下功夫.
3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊
断与分析.
八、板书设计
本节课的板书主要采取了提纲式、对称型，以讲写结合、主辅相随、语言准确、内容完整为原则，将复习内容及新课引入、概念写在黑板左侧，整齐、准确，将例题、习题及解答过程写在黑板右侧，随意中不失规范.

1．6三角函数模型的简单应用

(1)复习三角函数相关知识

(2)引入新课

例1

例2

练习

作业

通过个人自学、单位集中学、听宣讲等多种方式，认真学习了省、南充、阆中市委领导讲话精神，明确了相关要求，深入领会“三大活动”精神实质和丰富内涵，积极投身当前“大学习、大讨论、大调研”活动，深有体会。7