向量中的中点转化与极化恒等式.doc

极化恒等式
【一.式子结构分析】
1. ，同理可以有：.
两个式子相加可得：,这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，也等于邻边的平方和的两倍，由此可得三角形的中线长公式：（必修五课本20页）.
2. ，同理可以有：.
两个式子相减可得：,这个叫极化恒等式，2017年全国甲卷理科选择最后一题考查了.
3. 很多时候我们也会遇到这样的式子，一般，类似于平方差公式，实质上同2差不多

【二、极化恒等式】
和数学上很多经典的公式定理一样，极化恒等式也并没有那么神秘，甚至说是很基本.
回忆必修四105页例2
，同理可以有：.
两个式子相加可得：,这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，也等于邻边的平方和的两倍，由此可得三角形的中线长公式：（必修五课本20页）.
两个式子相减可得：,这个叫极化恒等式，2017年全国甲卷理科选择最后一题考查了.

极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，即.

在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即，他揭示了三角形的中线与边长的关系.
下面通过几道题目，来分析极化恒等式的妙用.
4. 在中，M是BC的中点，，则________.
解析：
事实上，类似的问题时有看到，只是很多时候用其他的方法取代了“极化恒等式”，或在无意中使用“极化恒等式”.
在中，D是BC的中点，，则________.
解析： .
5. 在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为_______.
解析：设MN的中点为D，则

类题：△ABC中，AC⊥BC，AB＝3，AC＝1，D为BC的中点，F为线段AD上任意一点，求的最大值.
解析：，
因，故当时，取最大值.
6. （2017年高考全国卷Ⅱ理12）
已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是
A. B. C. D.
解法分析
思路一：建系，将向量运算坐标化
解法1：如图1，建立平面直角坐标系，，，，设，
则，，所以
，
当且仅当，，即为的中点时取等号，则所求最小值为，选B.

图1
思路二：取BC中点M，将转化为，则，怎么求的最小值呢？
如图2，设AM的中点为N，则
，
当且仅当，即P与N重合（P为AM的中点）时取等号，故的最小值为，所求最小值为，选B.
注：（1）转化时用到了极化恒等式，其一般形式为；（2）也可这样转化：
.

图2
类题：已知动点是腰长为2的等腰直角三角形（为直角）的三边上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：取AB中点D，CD中点E，则

7. ***如图，在凸四边形中，，是的中点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．

解析：
.
8. ***（2013年浙江高考理）中是边上一定点，满足，且对于边上任取的一点，恒有，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
解析： C
B
A
H

法1：【将式子转化为与某一个变量有关系的式子，即函数式.由已知条件，当时，函数式子取最大值】
设，作，则.
则
由题意，当且仅当时，上式 有最小值.
此时，也为的中点，故.
C

B
A
x
P
y
法2：由题意，设||=4，则||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，∙=||||=( −(a+1))||，∙=−||||=−a，于是∙≥∙恒成立，相当于(−(a+1))||≥−a恒成立，整理得||2−(a+1)||+a≥0恒成立，只需∆=(a+1)2−4a=(a−1)2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC
法3：如图建系，设，
，
当且仅当时，上式取最小值，此时，故.
法4：以AB中点为坐标原点建系也可，同法2.
法5: 极化恒等式
如图，取线段BC的中点M，则，
要使得的值最小，只需取最小值.因为P是线段AB上动点，所以只有当时，取得最小值，且点P与点必须重合，M是线段BC的中点，只有AC=BC时才能成立.

9. ***（2012年安徽卷）若平面向量满足，则的最小值是_________.
解析：.
所以.
10. 设是半径为1的圆上一动点，若该圆的弦，则的取值范围是　_____　.
答案：
变式（经典好题）：已知圆半径为1，圆上的弦长为1，P为圆上的动点，的最大值是（　　）
A. B. C. D.
解：法1：全部与圆心联系起来，基本定义
设中点为D，
，
∵，∴的范围为.

法2：建立坐标系，需要用到辅助角公式
以O点为原点，OA为x轴建立平面直角坐标系，则，
（也可设点）
设，则

∵，∴，
故的范围为.
法3：建立坐标系，设点，，

法4：转化为求三角形的面积的最大值，使用余弦定理和基本不等式
，
根据余弦定理和基本不等式，
法5：转化为求三角形的面积的最大值，使用余弦定理和基本不等式
求的最大值也即求三角形的面积的最大值，也即求点 P到AB距离的最大值
法6：与三角形中点联系起来
设中点为D， 则

易知，的范围是，故的范围为.

11. ***（2011年浙江卷）已知直线AB与抛物线交于点，点M为AB的中点，C为抛物线上一个动点，若满足，则下列一定成立的是（ ）
A. B.，其中是抛物线过的切线
C. D.
答案　D
解析　如图所示，极化恒等式
·＝(－)·(－)
＝2－(＋)·＋·＝2－2，
当直线AB一定时，当且仅当||取得最小值时，使得·取最小值，
只有当CM⊥l时，||取得最小值，故选D.
【注】本题实质上就是求抛物线上一点到其内一点距离的最小值
下面用两种方法来证明，
法1：几何分析法，只需证明CM不与l垂直时，有比CM还要短的.
这一招太聪明了，如果直接证明CM最短很不好证.
设过点的切线为,此时不与垂直，作，
交抛物线于点.
则.
法2：求导运算

时，上式有最小值？？？？
【注】此处如何整理出
CM⊥CA时，，整理得，两条件相同.
12. 已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点C满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
解析：由得，点在上，
易得当且仅当为中点时，有最小值.
变式：已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点C满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
解析：设，所以，
点在上，
易得当且仅当为中点时，有最小值.
【三. 三角形向量中线公式和中点转化】
13. ***点O是的三边中垂线的交点，a，b，c是角A，B，C的对边，已知，则的范围是____________．
解析：O是的外心，设中点为，则
.
因为，所以，所以，又，所以.
所以的范围是（0，2）.
14. 已知圆，点是直线上的动点，若在圆上总存在两个不同的点，使，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】法1：如图，∵；∴与互相垂直平分，
∴圆心到直线的距离；∴①；
又；∴，
代入①得：；解得；
∴的取值范围是．故选：A．

法2：OP=2时，是临界状态，求出即可.
15. ***在中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：类似于平方差公式，表示成向量的平方，可以转化运算
,,，故是等腰，选C.
16. （1）已知圆直径，点为圆心，为半径上不同于A、B的任意一点，若P为半径上的动点，的最小值是_________.
解：.
（2）已知圆半径为1，圆上的弦长为1，P为圆上的动点，的最大值是（　　）
A. B. C. D.
解： 设中点为D， 则

易知，的范围是，故的范围为.
17. （1）已知直角梯形ABCD，AD∥BC，，AD=2，BC=1，P是腰AB上的动点，则的最小值为_____.
法1：建系，设
法2：取中点，，易得P是AB的中点时取最小.
（2）已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】B.

法2：因，所以为直径，为中点，，当时，最大，为7.
18. ***如图，在梯形中，，，，，
，分别是，的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰有8
个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
答案：D
【解析】法1：以CD中点为坐标原点，CD所在直线为x轴建立直角坐标系，
则，
当P在CD边上时，设，则，对应值都有两个；
当P在AB边上时，设，则，对应值都有两个；
当P在BC边上时，设，则，
当时，每一个都有两个与之对应；
根据对称性，当P在AD边上时，同P在BC边上时.
综上，若有8个不同的点，使得成立，
则实数的取值范围是，选D.
法2：（巧取中点转化，极化恒等式）
取EF中点H，取AB中点M，取CD中点N，
则，
当P在AB边上时，，根据对称性，对应值都有两个；
当P在CD边上时，，根据对称性，对应值都有两个；
当P在AD边上时，PH的最小值即H到AD的距离，由等积法，
又，当时，，对应值都有两个；
根据对称性，当P在AD边上时，同P在BC边上时.
综上，若有8个不同的点，使得成立，
则实数的取值范围是，选D.
19. 如图，在同一平面内，点P位于两平行直线l1，l2同侧，且P到l1，l2的距离分别为1,3.点M，N分别在l1，l2上，|＋|＝8，则·的最大值为(　　)
A．15 B．12 C．10 D．9
答案　A
解析：取MN中点O，则，

20. ***已知的面积为2，E,F是AB，AC的中点，P为直线EF上任意一点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
解析：法1：巧取中点转化法，极化恒等式
取中点，设底边BC的高为，则，

.
法2：建立平面直角坐标系(如图所示)，

【四、极化恒等式在立体几何中的应用】
21. 正方体的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时，的最大值为_________.
解析：设球心为O，易得球的半径，，
易得的最大值为，于是的最大值为2.
22. 点P是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是_________.
解析：设AC的中点为M，
23.
24.