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本章整合,第三章 数系的扩充与复数的引入,专题,1,专题,2,专题,3,专题,4,专题,1,复数运算中的常用技巧,复数的加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除,复数的加减法是对应实、虚部相加减,而乘法类比多项式的乘法,除法类比根式的分子分母有理化,注意,i,2,=-,1,.,在进行复数的运算时,要灵活利用,i,的性质,或适当变形创造条件,从而转化为关于,i,的计算问题,并注意以下结论的灵活应用,:,(1)i,的乘方,:i,4,k,=,1,i,4,k+,1,=,i,i,4,k+,2,=-,1,i,4,k+,3,=-,i(,k,Z,);,(2)(1,i),2,=,2i;,专题,1,专题,2,专题,3,专题,4,(5),作复数的除法运算时,技巧为,.,利用此结论可使一些特殊的计算过程简单化,.,专题,1,专题,2,专题,3,专题,4,应用,计算,:,专题,1,专题,2,专题,3,专题,4,专题,1,专题,2,专题,3,专题,4,专题,2,代入法、转化与化归思想,在复数中,代入法、转化与化归思想就是将复数问题化归为实数问题,或将其转化为平面直角坐标系下的轨迹问题,可降低解题难度,简化解题过程,.,反过来,有时将实数问题、几何问题、三角问题化归为复数问题,也可使问题迎刃而解,.,应用,已,知 是纯虚数,求,z,在复平面内对应的点的轨迹,.,专题,1,专题,2,专题,3,专题,4,解,:,设,z=,x+y,i(,x,y,R,),专题,1,专题,2,专题,3,专题,4,专题,3,数形结合的思想,由于复数的多种表示形式都有确定的几何意义,对于复数问题,如能剖析问题中的几何背景,将抽象的数学语言和直观的图形结合起来,就能借助几何图形,活跃解题思路,使解题过程简化,.,(1),复数的几何意义包括三个方面,:,复数的表示,(,点和向量,),、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义,.,复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法,即通过几何图形来研究代数问题,.,(2),任何一个复数,z=,a+b,i(,a,b,R,),与复平面内一点,Z,(,a,b,),对应,而任一点,Z,(,a,b,),又可以与以原点为起点,点,Z,(,a,b,),为终点的向,量,专题,1,专题,2,专题,3,专题,4,(3),复数的加法、减法的几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则,.,由减法的几何意义知,|z-z,1,|,表示复平面上两点,Z,Z,1,间的距离,.,(4),复数形式的基本轨迹,.,当,|z-z,1,|=r,时,表示复数,z,对应的点的轨迹是以,z,1,对应的点为圆心,半径为,r,的圆,;,单位圆为,|z|=,1,.,当,|z-z,1,|=|z-z,2,|,时,表示以复数,z,1,z,2,的对应点为端点的线段的垂直平分线,.,专题,1,专题,2,专题,3,专题,4,应用,复数,z,满足,|,z+,i,|+|z-,i,|=,2,求,|z+,1,+,i,|,的最值,.,提示,:,利用复数的几何意义对条件和所求结论分别给出几何解释,借助于几何意义求出最值,.,解,:,|,z+,i,|+|z-,i,|=,2,表示复数,z,的对应点,Z,与点,A,(0,-,1),B,(0,1),的距离之和为,2,而,|AB|=,2,所以条件表示以,A,B,为端点的线段,而,|z+,1,+,i,|=|z-,(,-,1,-,i),|,表示点,Z,到点,C,(,-,1,-,1),的距离,因而,问题的几何意义是求线段,AB,上的点到,C,点的距离的最大值与最小值,如图,易见,专题,1,专题,2,专题,3,专题,4,专题,4,共轭复数与模的关系,共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念,在解决有关的复数问题时,除了用共轭复数的定义与模的计算公式解题外,也常用,应用,已知,z,1,与,z,2,是非零复数,且,|z,1,+z,2,|=|z,1,-z,2,|,求证,.,专题,1,专题,2,专题,3,专题,4,1,2,3,4,5,6,7,8,1,(,湖南高考,),若,a,b,R,i,为虚数单位,且,(,a+,i)i,=,b+,i,则,(,),A.,a,=,1,b=,1,B.,a,=-,1,b=,1,C.,a,=,1,b=-,1,D.,a,=-,1,b=-,1,解析,:,由,(,a+,i)i,=,b+,i,得,a,i,-,1,=,b+,i,所以,a=,1,b=-,1,.,答案,:,C,1,2,3,4,5,6,7,8,A.0B.2i,C.,-,2iD.4i,答案,:,A,1,2,3,4,5,6,7,8,3,(,山东高考,),复数,z,i,为虚数单位,),在复平面内对应的点所在象限为,(,),A.,第一象限,B.,第二象限,C.,第三象限,D.,第四象限,复数,z,在复平面内对应的点在第四象限,.,答案,:,D,1,2,3,4,5,6,7,8,答案,:,A,1,2,3,4,5,6,7,8,5,(,上海高考,),若 是关于,x,的实系数方程,x,2,+bx+c=,0,的一个复数根,则,(,),A.,b,=,2,c=,3,B.,b,=,2,c=-,1,C.,b,=-,2,c=-,1,D.,b,=-,2,c=,3,答案,:,D,1,2,3,4,5,6,7,8,根据复数相等的充要条件可得,a=,5,b=,3,故,a+b,=,8,.,答案,:,8,1,2,3,4,5,6,7,8,解析,:,由题意可得,3,+b,i,=,(,a+b,i)(1,-,i),=,(,a+b,),+,(,b-a,)i,故,a+b,=,3,.,答案,:,3,1,2,3,4,5,6,7,8,8,(,上海高考,),已知复数,z,1,满足,(,z,1,-,2)(1,+,i),=,1,-,i(i,为虚数单位,),复数,z,2,的虚部为,2,且,z,1,z,2,是实数,求,z,2,.,解,:,(,z,1,-,2)(1,+,i),=,1,-,i,z,1,=,2,-,i,.,设,z,2,=a+,2i,a,R,.,z,1,z,2,=,(2,-,i)(,a+,2i),=,(2,a+,2),+,(4,-a,)i,.,z,1,z,2,R,a=,4,z,2,=,4,+,2i,.,
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