复杂环境下雷达抗干扰及多功能一体化波形设计方法研究.pdf

960 Radio Communications TechnologyVol.49 No.5 2023doi:10.3969/j.issn.1003-3114.2023.05.023引用格式:范文,李淳泽,赵勇,等.复杂环境下雷达抗干扰及多功能一体化波形设计方法研究J.无线电通信技术,2023,49(5):960-970.FAN Wen,LI Chunze,ZHAO Yong,et al.Radar Anti-jamming and Multifunctional Integrated Waveform Design in Spectrum-dense EnvironmentJ.Radio Communications Technology,2023,49(5):960-970.复杂环境下雷达抗干扰及多功能一体化波形设计方法研究范 文,李淳泽,赵 勇,张 航(中国电子科技集团公司第五十四研究所,河北 石家庄 050081)摘 要:现代战争中敌我双方各种武器装备所辐射的高密度、高强度、多频谱的电磁波,民用电磁设备的辐射以及自然界产生的电磁波等导致了雷达面临的电磁频谱环境越来越复杂和拥挤。为使雷达在复杂电磁环境中能有效工作,从波形设计的角度出发,分析了雷达波形设计必须考虑的约束条件和常用的波形性能度量指标,总结了近年来针对不同应用场景需求和复杂电磁环境下的多输入多输出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)雷达(多波形)和单输入单输出(Single Input Single Output,SISO)雷达(单波形)波形设计的建模思路和优化手段,将建模思路和优化手段扩展用多功能一体化(探通、探干等)波形设计。建模思路和优化手段可为未来复杂电磁环境下雷达抗干扰波形设计以及多功能一体化信号设计提供参考和依据。仿真实验结果表明,所提算法设计的多功能一体化波形能够在保持指定的通信需求的同时达到理想的雷达探测性能。关键词:复杂电磁环境;波形设计;优化理论;通感一体化波形设计;多功能一体化波形设计中图分类号:TN95 文献标志码:A 开放科学(资源服务)标识码(OSID):文章编号:1003-3114(2023)05-0960-11Radar Anti-jamming and Multifunctional Integrated Waveform Design in Spectrum-dense EnvironmentFAN Wen,LI Chunze,ZHAO Yong,ZHANG Hang(The 54th Research Institute of CETC,Shijiazhuang 050081,China)Abstract:In modern warfare,the use of electronic countermeasures by both sides,together with the high-density,high-intensity,and multi-spectrum electromagnetic waves radiated by various weapons and equipment,the radiation from civil electromagnetic devices,and the electromagnetic waves generated by nature,have led to increasingly crowded and complex electromagnetic environment faced by radar systems.This paper proposes a waveform design method to address spectrum congestion problem and ensure proper functioning of radar systems in such environment.We first analyze the commonly used constraints and design metrics considered in radar waveform de-sign,and then formulate and study the waveform design problems and optimization strategies for both Multiple Input Multiple Output(MIMO)radar(multi-waveform)and Single Input Single Output(SISO)radar(single waveform)under different application scenari-os and complex electromagnetic environment.Finally,we present an example formulation problem to demonstrate the application of our modeling and optimization strategies to the design of integrated sensing and communication waveforms.The modeling ideas and optimiza-tion methods proposed in this paper can provide valuable references for radar anti-jamming waveform design and multi-functional inte-grated signal design in complex electromagnetic environment.Simulation experimental results show that the multifunctional integrated waveform designed by the proposed algorithm can achieve ideal radar detection performance while maintaining the specified communica-tion requirements.Keywords:complex electromagnetic environments;waveform design;optimization theory;integrated sensing and communication waveform design;multifunctional integrated waveform design收稿日期:2023-05-312023年第49卷第5期无线电通信技术961 0 引言随着卫星、无线电台、电视、雷达、通信、导航等各类服务和系统的广泛使用,不断增长的业务和应用使得有限的频谱资源供需矛盾日益突出,雷达工作的电磁环境也日益复杂。为避免雷达与其他电磁设备的相互干扰,提升雷达在复杂电磁环境的适应能力,需设计行之有效的雷达抗干扰技术1-2。目前雷达抗干扰技术主要解决方案有三类:一是开展电子系统综合一体化的研究,如雷达通信一体化研究,即雷达与通信系统共享同一频谱,同一硬件平台,研究一体化信号设计与处理以及系统集成方案来同时实现探测和通信双功能2-4;二是基于波形设计的研究,即设计雷达波形时有意避开被其他系统所占用或干扰存在的频段,例如在其他系统占用(或干扰存在)的频带形成频谱零陷/凹口等5-7;三是无源态雷达技术,即利用现有用频系统所发射的信号实现目标检测和参数估计8。波形设计技术可使电子系统从发射端即赢得主动,根据系统工作的环境,通过不断调整发射波形以适应日益复杂的电磁环境,从而有效提升系统性能(如通信抗干扰性能,雷达目标检测、跟踪、成像及抗干扰等)。此外,高性能信号处理器件、任意波形产生器等的出现也为实时动态发射波形提供了可能9-12。基于此,本文从波形设计角度开展雷达抗干扰和多功能一体化波形设计方法研究。1 研究现状通常,雷达发射机的线性放大器的动态范围有限,幅度动态范围过大的信号极易进入功率放大器的非线性区域,导致信号产生非线性失真,造成带内信号畸变,进而导致整个雷达系统性能严重下降13-14。因此,为使雷达发射机在饱和状态工作,避免放大器等模拟器件的非线性导致波形失真,雷达系统一般趋向使用恒定幅度(或幅度动态范围较小)的波形。雷达波形需要具备低的自相关和互相关水平以避免接收信号间的相互干扰,此外,雷达需要具备灵活的发射波束图以应对不同探测需求。雷达波形模的幅度约束、自/互相关函数以及波束图均为非线性函数,使得雷达波形设计问题呈现出高维非凸的多约束优化问题,为处理非凸优化问题,本文总结了上界最小化(Majorization-Minimization,MM)方法15和交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)9-10及其在波形设计中使用的思路和技巧。本文还总结了最为典型的发射多波形的多输入多输出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)11-12,16-18雷达单波形的单输入单输出(Single Input Single Output,SISO)19-21雷达抗干扰波形设计建模方法和优化策略,以期能为后续雷达抗干扰波形和多功能一体化波形设计研究提供参考和依据。1.1 MIMO 雷达波形设计集中式 MIMO 雷达收发天线单元间间距较近,不同天线单元可独立发射不同波形,典型的集中式MIMO 雷达,各个发射单元发射相互正交的波形14。MIMO 雷达的波形分集特点使其自由度比相控阵雷达更大,例如:当雷达系统需要具备大的作用距离或者对目标进行跟踪时,集中式 MIMO 雷达可切换为每个天线单元发射相同波形的相控阵雷达体制,形成具有高增益的窄波束14;当需要对空域中所有目标进行探测时,集中式 MIMO 雷达可切换为发射正交波形的 MIMO 雷达体制,形成覆盖全方向的宽波束,且通过适当布置发射和接收天线单元的位置可扩展天线的虚拟孔径(发射天线单元和接收天线单元位置的不同所形成的虚拟孔径也不同,M 发 N 收可形成的最大虚拟孔径为 MN)22-23;当目标方位先验已知时,MIMO 雷达可发射介于相干和完全正交之间的部分相关波形,利用波形的相关性完成灵活发射波束图设计,使雷达辐射能量集中于指定方向14。通过灵巧地设计发射波形控制发射波束图,可增强目标回波,抑制背景杂波,显著提高雷达目标检测和参数估计性能22-23。集中式 MIMO 雷达的波形分集特性具备了更高的目标分辨率、更好的参数辨识能力和抗截获能力10,22-23。另外,集中式 MIMO 雷达还可根据雷达工作的电磁环境和目标的动态变化自适应地设计发射波形以提高雷达在复杂多变的战场电磁环境中的适应能力5-8。本文总结了如下两类具有代表性的MIMO 雷达波形设计问题:首先,为保障在频谱密集环境中工作的 MIMO 雷达系统的抗干扰性能24,针对复杂电磁环境下宽带 MIMO 雷达发射波束图设计问题,本文提出了波束图匹配设计优化模型和最小962 Radio Communications TechnologyVol.49 No.5 2023峰值旁瓣波束图设计优化模型,以生成与复杂电磁环境相适应的 MIMO 雷达波形,进而提升雷达抗干扰性能(见第 3 节模型 12);其次,当需对空域中所有目标进行探测时,MIMO 雷达系统工作模式可切换为发射具有低自相关峰值旁瓣和互相关电平的正交波形,形成覆盖全方向的宽波束5,本文提出了频谱约束条件下的最小自相关峰值旁瓣和互相关峰值电平的波形集设计模型,并根据分块逐次上界极小化(Block Successive Upper-bound Minimization,BSUM)算法框架15给出了求解思路(模型 3)。1.2 SISO 雷达波形设计当 MIMO 雷达所有发射天线发射同样的波形时,MIMO 雷达等价为 SISO 雷达。因此,不同于MIMO 雷达需同时设计多波形,SISO 雷达仅需设计单波形,根据应用场景的不同,本文总结了几类典型的单波形设计问题8:若发射波形的模幅度变化很大,会遭受严重的能量损失或非线性失真12-14。此外,传统的波形频谱赋型方法均基于最小二乘拟合准则6-7,仅仅关注了“总体”平方误差、无法兼顾峰值匹配误差,使得所设计的波形频谱形状可能具有大的峰值阻带水平和大的通带纹波,这对于谱干扰抑制极为不利。为此,本文给出了基于 min-max的频谱赋形优化模型,以同时抑制峰值阻带水平和通带纹波(模型 4)。雷达波形自相关峰值旁瓣水平对高分辨率雷达应用有显著影响6。本文在频谱和幅度约束下构造了自相关旁瓣精确控制模型(模型 5)。在诸如认知雷达24和机载雷达等应用中,除频谱兼容性和波形幅度动态范围要求外,波形还需具有图钉状模糊函数以满足对移动目标探测的需求。为此本文提出最小相似度设计模型以实现具有较低的模糊函数旁瓣水平和指定频谱零陷的探测波形(模型 6)。除上述 MIMO 雷达和 SISO 雷达波形设计建模外,本文还对上述模型的建模机理、求解方法进行了分析,给出了 ADMM、MM 以及 ADMM+MM 三种求解波形设计问题的优化手段和使用技巧。结合波形设计相似性约束的优良特性,本文创新性地将上述建模思路和优化方法应用于多功能一体化波形设计的两个实例(模型 78),以期为未来多功能一体化波形设计提供有价值的参考。2 问题建模思路与优化方法雷达波形设计通常需转化为约束优化问题,约束条件由雷达工作的电磁环境和雷达本身的硬件限制等确定,是设计的前提;而目标函数描述了设计的目标。设计整体思路可分为 4 个基本步骤:根据雷达具体工作环境以及物理硬件限制等,确定波形的约束条件(如波形频谱约束、自相关约束、幅度约束以及功能约束等);根据具体探测任务确定目标函数(如波形模糊函数、MIMO 雷达发射波束图等);根据优化问题的目标函数和约束条件的特性确定优化方法,并针对性的推导有效的求解算法,以获得满足约束条件和设计目标的雷达波形;此步骤中涉及诸多信号处理和数学使用技巧,直接影响着波形设计方法的性能;对算法性能分析和评估,如波形的模糊函数、自相关、频谱兼容性、波束图、算法复杂度和收敛性能等指标。实际设计中约束条件和目标函数相关指标可按需求灵活互换和组合。2.1 常见约束条件设离散化后雷达发射的波形为 x=x1,x2,xNTC CN1。其中,()T表示向量或者矩阵的转置,C C 表示复数域,N 表示波形离散点数。M 个波形(序列)集合x(m)Mm=1也可以写为矩阵的形式 X=x(1),x(2),x(M)TC CNM,其中,x(m)=x1(m),x2(m),xN(m)TC CN1,m=1,2,M。2.1.1 波形幅度约束为避免放大器等模拟器件的非线性导致波形失真,雷达系统一般趋向使用恒定幅度(或幅度动态范围较小)的波形9-11,15。对于 MIMO 雷达而言,由于要求具备多个发射机以发射相互正交或部分相关的波形,每一路发射波形都满足恒定幅度或者具有较低的幅度动态范围将有利于简化雷达系统的硬件设计25。这种幅度约束通常有恒模(Constant Mod-ulus,CM)约束,-不确定集(-Uncertainty Modulus)约束,峰值平均功率比(Peak-to-Average Power Ratio,PAPR)约束和离散相位约束等25-27。C CM M 约约束束:xn=,n=1,2,N,其中,0 表示波形 x 的模。不不确确定定集集恒恒模模约约束束:cn-xncn+(cn2023年第49卷第5期无线电通信技术963 0),其中,cn表示不确定集约束的中心,表示不确定集的不确定度,分别由用户确定。P PA AP PR R 约约束束:PAPR(x)=maxn|xn|2x22/N,其中,1 表示波形 x 幅度的 PAPR 预定义上限值。动动态态范范围围比比约约束束:PAPR 约束仅限制了发射波形的峰值功率和平均功率,使得波形的幅度仍有可能具有很大的动态范围。为提高发射效率,引入动态范围比(Dynamic Range Ratio,DRR)约束27,DRR(x)=maxn|xn|minn|xn|,可以看到 PAPR 和 DRR 两个约束比CM 约束更具有一般性,后者只是前两种的特殊情况,即=1 时,PAPR 和 DRR 与 CM 约束等价。离离散散相相位位约约束束:angle(xn)1,2,K,n=1,2,N,其中,1,2,K为固定的离散相位。相相似似性性约约束束:在机载雷达及其他应用12中,除幅度动态范围约束外,雷达波形还需具有较好的模糊函数以提升动目标的探测性能。但直接添加模糊函数约束太过复杂,一种简单且有效的方法是在波形设计建模时添加相似性约束(Similarity Con-straint,SC)使设计的雷达波形继承参考波形优良的模糊函数和动态范围等特性7。相似性约束定义为x-cp,其中,c 表示参考波形,具有良好的模糊函数和幅度的动态范围,p=2 或 表示不同的相似性约束,参数 控制相似度。本文用模约束(Modulus Constraint,MC)统一表示上述的幅度约束:MC(x)。(1)2.1.2 频谱约束随着各类雷达、通信等无线电设备的广泛使用,导致有限的频谱资源供需矛盾日益突出,雷达工作的电磁环境也日益复杂。为避免其他电磁设备对雷达的干扰,设计雷达波形时有意避开已经被其他系统占用的频段6-8(在其他系统占用的频带形成零陷/凹口)可以有效避免互扰问题,从而提升雷达在复杂电磁环境下的抗干扰性能。令 Ff(1),f(2),f(N-)C CN-N-表示离散傅里叶变换矩阵,其中:f(n-)=1/N-1,ej2(n-1)/N-,ej2(N-1)(n-1)/N-TC CN-1,n-=1,2,N-,(2)那么,波形 x 的 N-点离散傅里叶变换可表示为:y=FHx;0,(3)式中:()H表示向量或者矩阵的共轭转置,0C C(N-N)1表示元素全为 0 的向量。通常,对于周期波形设计,考虑 x 的 N 点离散傅里叶变换(N-=N),对于非周期波形设计,考虑 x 的N-点离散傅里叶变换(N-N,本文使用 N-=2N-1)。2.2 目标函数2.2.1 MIMO 雷达部分相关波形设计假设集中式宽带 MIMO 雷达系统配置了 L 个以间隔为 d-均匀排布的发射天线,sl(t)=xl(t)ej2fct,t0,-表示第 l 个天线单元发送的信号,fc表示载波频率,xl(t)表示第 l 个天线发射的基带信号(其频谱范围为-B/2,B/2)。那么在频率为 fc+f 和方位角为 (0,180)处雷达的发射功率为17,26:P(,f)=aH(,f)yf2,-B/2fB/2,(4)式中:yf=y1(f),y2(f),yL(f)T,yl(f)为 xl(t)的傅里叶变换,即 yl(f)=0 xl(t)e-j2ftdt,a(,f)=1,ej2(f+fc)d-cos()/c,ej2(f+fc)(L-1)d-cos()/cT,其 中 c表示光速。令x-lxl(1),xl(2),xl(N-)T为时域信号xl(t)的 Q 次过采样离散信号,其中 N-=Q-/Ts,Ts=1/B 为采样周期。因此,xl的离散傅里叶变换可写为:yl(q)=Nn=1xl(n)e-j2(n-1)qN=xTlfq,q=-N/2,0,N/2-1,(5)其中:xl=xl(1),xl(2),xl(N-),0,0N-N-TC CN1,(6)fq=1,e-j2q/N,e-j2(N-1)q/NTC CN1。(7)类似于频率,将方位角0,180也均匀地分成 M 个离散的方向点,表示为mMm=1。在方位向m频率为 q 的远场波束图为:Pm,q=|aHm,qyq|2=|aHm,qXfq|2,(8)式中:yq=y1(q),y2(q),yL(q)T,am,qa(m,q/(NTs),X=x(1),x(2),x(L)TC CLN。964 Radio Communications TechnologyVol.49 No.5 2023可以看出,宽带 MIMO 雷达的波束图设计是对采样后的式(8)进行控制,这可能导致设计波形的式(4)在其他频率点无法满足实际应用要求。为解决此问题,一种解决方案是增加频率采样点,但波形码长度也会相应的增加17,26。而式(6)通过将波形其余分量限制为零来简单地保持实际波形码长 N-不变,即:将波形长度设置为 N,将其中最后的 N-N-码限制为 0。通过这样的改变可保证式(8)有 N 个频率样本,但保持波形代码长度 N-不变。当 MIMO 雷达工作于窄带模式下时,其基带信号的带宽满足 Bfc的假设,此时雷达系统发射天线单元间距 d-满足 d-v/(2(fc+f),f-B/2,B/2,由于 Bfc,可得(f+fc)d-cos()/vfcd-cos()/v,f-B/2,B/2,a(,fc+f)a(,fc),即阵列导向矢量与频率 f 无关。因此,窄带情况下 MIMO 雷达波束图表达式为:Pm=aHmX N/2-1q=-N/2 fqfHqXam=NaHmXXam,(9)式中:am a(m,fc),第 二 个 等 式 成 立 是 因为 N/2-1q=-N/2fqfHq=NI。常用的波束图设计准则有:波束图匹配设计准则26,即设计波形 X 使得其波束图 Pm,q或者(Pm)与给定的波束图模板相匹配;最小旁瓣设计准则15,即设计波形 X 使得其波束图 Pm,q的峰值旁瓣最小化;主旁瓣比例最大化设计准则15,即设计波形 X 使得波束图的主瓣积分相比于旁瓣积分最大化。2.2.2 MIMO 雷达正交波形集(序列集)设计当需要对空域中所有目标进行探测时,集中式MIMO 雷达需要切换为发射正交波形的工作模式,以形成覆盖全方向的宽波束,此时波形的自相关和互相关性能成为波形设计的核心要点。对于 M 个波形(序列)集合x(m)Mm=1,x(m)和 x(m-)在时隙k 处的非周期相关函数 rk(m,m-)为5:rk(m,m-)=(x(m)x(m-)k=N-kn=1xn(m)xn+k(m-)=r-k(m,m-),(10)式中:表示卷积操作,()表示复数的共轭,m=1,2,M,m-=1,2,M,-N+1kN-1。当 m=m-时,式(10)为波形 x(m-)的自相关函数,其他情况为波形间的互相关函数。基于以上定义,波形集相关特性的准则有以下两类5,26:互相关和自相关积分旁瓣准则,定义为 ISLset(x(m)Mm=1)=kmm-rk(m,m-);互相关峰值和自相关峰值旁瓣准则,其定义为PSLset(x(m)Mm=1)=maxk maxm maxm-|rk(m,m-)|。可以看出,以上两个准则的大小反映了波形集的性能,都是越小越好,且 PSL 准则更能体现波形的相关特性。本文将以 PSL 准则为核心进行波形设计建模与分析。相关函数是波形元素间的二次函数,直接计算非常复杂,根据信号处理知识可知序列的功率谱密度函数和其自相关函数互为傅里叶变换对,因此,对于第 m 个波形 x(m)(简化用 x 表示),其与其他波形的互相关函数可用下式表达26:r(m-)=r0(m-),r1(m-),rN-1(m-),0,r1-N(m-),r-1(m-)T=F(FHx;0)(FHx(m-);0)C CN-1,(11)式中:0C C1(N-2N+1)为元素为 0 的向量,aba(1)b(1),a(2)b(2),a(N)b(N),可以看到当 m=m-时,式(11)为波形 x 的自相关。在本文模型 4 的算法推导中利用了上述快速计算技巧,通过利用傅里叶变换矩阵的正交性和快速傅里叶变换算法极大降低了算法的复杂度。2.2.3 单波形(序列)设计对于给定波形 xx1,x2,xNTC CN1,其自相关函数定义为6-7:rn=N-nl=1xlxl+n,若波形 x 为周期的,其自相关定义为 rn=Nl=1xlx(l-n)mod N。波形 x 的自相关积分旁帮和峰值旁瓣定义与波形集的定义相同,且是波形集相关性能衡量准则 ISL 和 PSL 的特例形式。2.3 优化方法近年来,ADMM 和 MM 在信号处理、通信和机器学习等领域广泛应用以处理非凸优化问题。ADMM 适用于大规模凸优化问题的求解9,该方法将大规模优化问题分解成多个小规模的子问题,并以交替优化的方式确定原优化问题的解。此外,MM 通过构造原非凸非光滑目标函数的上界函数,2023年第49卷第5期无线电通信技术965 然后以迭代的方式求解上界优化问题,适用于大规模非凸优化问题9-12,16-17。下面介绍 ADMM 和 MM优化框架。2.3.1 ADMMADMM 可处理具有复杂约束的优化问题,其具有对偶上升法强大的分解能力(变量分离、优化问题分裂等)和乘子法的快速收敛特性。研究表明,ADMM 在许多非凸问题中也有出色的表现10。下面介绍 ADMM 算法框架,如针对优化问题:minx,z f(x)+g(z)s.t.Ax+Bz=c。(12)类似于乘子法,ADMM 首先构造增广的拉格朗日函数:(x,z,)=f(x)+g(z)+2(Ax+Bz-c+22-22)。(13)ADMM 算法按如下规则更新:x(t+1):=argminx f(x)+2Ax+Bz(t)-c+(t)22,(14)z(t+1):=argminzg(z)+2Ax(t+1)+Bz-c+(t)22,(15)(t+1):=(t)+Ax(t+1)+Bz(t+1)-c,(16)式中:t 表示迭代次数。式(12)被分解成上述两个简单的子问题,即式(14)(15),和一个乘子更新步骤式(16)。该算法可处理多约束优化问题,对于凸问题,理论收敛已得到证明。但是当处理非凸优化问题时,其理论收敛性目前还没有文献给出。目前对于ADMM 算法求解部分非凸优化问题的收敛性分析一般是首先证明增广的拉格朗日函数随着迭代进行是递减(增)的,即:(x(t+1),z(t+1),(t+1)(x(t),z(t),(t),(17)且增广的拉格朗日函数有下(上)界,即(x,z,)。通过上述两个结论可知,随着迭代进行,ADMM 对非凸优化问题是收敛的。2.3.2 MMMM 也属于迭代算法,可处理具有复杂目标函数但约束形式简单的优化问题。例如针对优化问题11:minx f(x),(18)式中:表示变量 x 的可行域。通常 f(x)是非凸非光滑函数,很难直接解决。MM 算法的主要思路是通过迭代的方式,在每次迭代中通过以下两个步骤求解式(18)的最优解:首先,寻找合适的(性态比好)上界函数(Majorization),在x(k)处构造f(x)的上界函数(替代函数)f(x,x(k),满足条件:f(x,x(k)f(x),x ,(19)f(x(k),x(k)=f(x(k),(20)其次,求解优化问题(最小化步骤(Minimization):x(k+1)=arg minx f(x,x(k)。(21)经过上述两步,可有如下不等式:f(x(k+1)f(x(k+1),x(k)f(x(k),x(k)=f(x(k),(22)即:原目标函数值非增。算法可通过有限次迭代趋于稳定(收敛),MM 可处理复杂高次目标函数的优化问题,但通常上界函数难以构造,此外,该算法难以处理具有复杂约束的优化问题。2.3.3 MM 与 ADMM 混合算法M-ADMM17可用于求解目标函数和约束条件均比较复杂的优化问题,以式(12)为例,算法的思路是通过 MM 框架构造该优化问题对应的上界优化问题:minx,z f(x,x(k)+g(z,z(k)s.t.Ax+Bz=c,(23)式中:f(x,x(k)和g(z,z(k)分别满足f(x,x(k)f(x),f(x(k),x(k)=f(x(k),(24)g(z,z(k)g(z),g(z(k),z(k)g(z(k)。(25)构造式(23)对应的增广的拉格朗日函数,并根据 ADMM 更新规则式(14)(16),更新优化变量。M-ADMM 算法收敛性分析的基本思路为:根据式(17)和式(22),可推导 M-ADMM 方法所构造的增广的拉个朗日函数值随迭代次数增加而减小,且有下界,进而可得 M-ADMM 算法是收敛的。3 波形设计建模与优化问题求解思路3.1 复杂电磁环境下 MIMO 雷达波形设计为降低通道内主要用户(如卫星、无线电、电视)造成的干扰,可在波形设计时对宽带 MIMO 雷达波形的频谱进行约束5-8,13-14,26。由式(8)可知,宽带 MIMO 雷达波束图与空间角度和频率有关,每个 q 和 m的功率分布可以根据探测波形的设计来控制。设频段f1,f2被其他用户占用,需对发射波966 Radio Communications TechnologyVol.49 No.5 2023形施加频谱约束Xfq22,qi以避免干扰,其中 表示用户确定的零陷深度,i表示谱段f1,f2的离散网格点集。此外,如果通道中用户的空间方向范围1,2也先验已知,则可在设计中施加以下约束避免干扰:|aHm,qXfq|2,m,qn,(26)式中:n表示波束图零陷的离散网格点集,其只包含干扰的频谱带宽和干扰空间方向。基于上述定义和讨论,构建频谱密集环境下宽带 MIMO 雷达发射波束图设计模型。模模型型 1 1:宽宽带带 M MI IM MO O 雷雷达达波波束束图图匹匹配配设设计计当已知干扰的频谱范围,提出如下波束图匹配设计问题:minXMm=1N/2-1q=-N/2,qiWm,q|Dm,q-|aHm,qXfq|2s.t.Xfq22,qi;MC(x(l)l,l。(27)在 Wm,q0 表示第 m 个方向角和第 q 个频率点对应的权重系数,D 表示波束图模板(Dm,q=1,m,qm,Dm,q=0,m,qm,其中 m表示离散网格点集),MC(x(l)表示第 l 个波形的模约束,如式(1)。模模型型 1 1 求求解解思思路路:可以看到式(27)的主要难点是 MC 约束和目标函数中的求模运算。根据 MM 优化框架可以推导出式(27)对应的上界优化问题(主要作用是去掉目标函数中的求模运算),然后通过引入辅助变量 yq=Xfq(可以看到目标函数和约束条件中都含有 Xfq,且此项中 fq为傅里叶变换的基,引入辅助变量 yq便于后续运算和推导),并利用ADMM 算法来求解该上界优化问题 17。模模型型 2 2:宽宽带带 M MI IM MO O 雷雷达达最最小小旁旁瓣瓣发发射射波波束束图图设设计计实际中,目标来波方向可能不精确,要求宽带MIMO 雷达波束图主瓣满足 d-|aHm,qXfq|d+以提升雷达探测的稳健性,其中 d 和(d)分别表示主瓣电平和主瓣波纹项。此外,为降低雷达杂波对雷达检测性能的影响17,本模型以最小化波束图峰值旁瓣为目标函数,针对干扰的空间方向和频段先验已知的情况建立如下设计问题:minXmaxm,qs|aHm,qXfq|s.t.d-|aHm,qXfq|d+,m,qm;|aHm,qXfq|2,m,qn;MC(x(l),l,(28)式中:s和 m分别表示波束图旁瓣和主瓣的离散网格点集。由于 MC 和波纹约束 d-|aHm,qXfq|形成了一个非凸的可行集,式(28)是非凸的。此外,由于目标函数中的 max 运算和取模操作该优化问题的目标函数是非光滑的。上述模型也可推广到窄带 MIMO 雷达最小峰值旁瓣与主瓣波纹控制设计。模模型型 2 2 求求解解思思路路:观察式(28)可以看到,该优化问题的约束条件非常复杂,而目标函数相对简单。因此,可通过引入辅助变量 ym,q=aHm,qXfq,将上述优化问题中复杂的约束均转移到变量ym,q上,然后通过 ADMM 的分裂能力将优化问题的复杂约束分解到不同子优化问题中,每个子优化问题的目标函数和约束均较为简洁,便于求解,使得求解的复杂度大大降低。模模型型 3 3:复复杂杂电电磁磁环环境境下下的的正正交交 M MI IM MO O 雷雷达达波波形形设设计计正交波形(序列)设计除了用于 MIMO 雷达系统,还在通信领域发挥着重要作用,如码分多址(CDMA)等。低互相关意味着任何一个波形与其他波形的任意时移几乎是不相关的。而低自相关峰值旁瓣的序列可提高被附近强目标掩盖的弱目标的探测性能 5-7,11。为提升雷达对弱目标的检测能力,设计目标为设计波形序列集合x(m)Mm=1,使其具有最小的自相关峰值旁瓣水平和互相关峰值水平,见式(1)。此外,为防止在同一频段工作的系统之间的相互干扰,对设计的序列施加频谱功率约束|yn-(m)|2 n-,n-,m,建 立 如 下 优 化模型5:minx(m)Mm=1maxk maxm maxm-wk(m,m-)|rk(m,m-)|,s.t.MC(x(m),m;|yn-(m)|2n-,n-,m,(29)式中:wk(m,m-)0 表示 rk(m,m-)对应的权重参数,n-表示频率点 n-对应功率谱的上界,表示已被其他系统占用频带的频率网格点集(设被占用的频带的集合为 =Kk=1fLk,fUk,其中fLk,fUk表示第k 个被其他系统占用的频带(因此波形x(m)Mm=1不能占用此频带),K 表示被占用的频带总数。通常,频率采样数 N 应该选择足够大以保证离散傅里叶变换频率网格点集 完美地表征,这可以通过2023年第49卷第5期无线电通信技术967 零填充实现,如式(6),通常 N=2N-1 是一个较为合理的选择。模模型型 3 3 求求解解思思路路:可以看出式(29)的目标函数十分复杂,为此考虑用 MM 框架求解该问题。首先依次更新 x(m),m=1,2,M,即当求解 x(m)(简写为 x)时其他序列为已知的(x(m-)Mm-=1,m-m均已知),并根据 MM 构造 min-max 函数对应的上界函数:minxN-1k=-N+1 Mm-=1rk(m-)-b(t)k(m-)2,s.t.MC(x);|yn-12|2n-,n-,(30)式中:rk(m-)的定义如式(11),()(t)表示第 t 次迭代,b(t)k(m-)=-s(t)k(m-)r(t)k(m-)2r(t)k(m-)|r(t)k(m-)|w2k(m-)。利用序列的功率谱密度函数和其自相关函数互为傅里叶变换对,以及傅里叶变换矩阵的正交性,可将式(3)的目标函数简化为基于二范数度量的最小距离优化问题28-29:minxx-v22 s.t.MC(x);|yn-12|2n-,n-,(31)式中:v 为与x(m-)Mm-=1,m-m相关的常数。3.2 复杂电磁环境下 SISO 雷达形设计模模型型 4 4:基基于于 m mi in n-m ma ax x 准准则则的的频频谱谱赋赋形形设设计计不同于基于最小二乘的频谱赋形设计方法仅从整体考虑了波形频谱赋形误差7,基于 min-max 准则同时抑制波形频谱阻带峰值水平和通带波纹提出如下优化模型:minx maxm|wm(m-|f Hmx|)|2Mm=1s.t.MC(x),(32)式中:m表示频谱模板,wm0 为第 m 个频点对应的权重参数。模模型型 4 4 求求解解思思路路:式(32)与式(29)类似的目标函数,可用模型 3 相同的求解思路简化优化问题的目标函数,并利用傅里叶变换矩阵的正交性将优化问题化简为类似式(31)的形式。模模型型 5 5:峰峰值值旁旁瓣瓣精精确确控控制制设设计计在无线通信和 SAR 等应用中,通常感兴趣目标回波的时延数大致已知,在波形设计过程中只需控制波形的特定自相关区域。此外,为保证雷达抗干扰能力,通常会在模型中加入频谱约束,建立如下优化问题以满足上述应用场景需求6:minx maxn|rn|nms.t.|f Hmx|um,ms|rn|,ns;MC(x),(33)式中:m和 s分别表示需要最小化和精确控制的波形自相关旁瓣区域,表示波形自相关旁瓣区域