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,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,相似理论课程,量纲分析理论（Dimensional Analysis Theorems）,量纲齐次理论（Dimensional Homogeneity Theorem,）：任何物理现象的数学表达式中变量量纲是齐次的。,白金汉定理（Buckingham Pi Theorem,）,如果一个系统有,k,个物理量，其中含有,r,个独立量纲，那么可以导出（,k-r）,个独立Pi项,p,1,p,2,p,k-r,.。这个系统的行为可以用如下无量纲方程描述。,F,(,p,1,p,2,p,k-r,)=0,对于某个物理现象或过程，如果存在有n个变量互为,函数关系，,f(a,1,a,2,a,n,)=0,而这些变量含有m个基本因次，可把这n个变量转换成为,有,(n-m)=i,个无因次量的函数关系式,F(,1,2,n-m,)=0,这样可以表达出物理方程的明确的因次关系，并把方程,中的变量数减少了,m,个，更为概括集中表示物理过程或,物理现象的内在关系。,一、量纲方程的作用,一个现象，当它具有自身物理方程时，量纲方程并不难建立，但是当现象不具备这种物理方程，同时又想解决问题时，量纲方程有时就起到一定作用。只是要注意：,（1）现象物理量的选择必须是正确的，并且没有重要遗漏;,（2）对于所探索现象的物理方程，在未建立前应首先设想它的量纲也是齐次的。,例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降,p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度、管内流体密度、流体的动力粘度，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式。,解：所求解问题的原隐函数关系式为,f(p,d,l,v)=0,有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M、T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式,F(,1,2,3,4,)=0,从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而,其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示,解：所求解问题的原隐函数关系式为,f(p,d,l,v)=0,有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M、T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式,F(,1,2,3,4,)=0,从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示。,表达式,1,=l,1,v,1,d,1,2,=,2,v,2,d,2,3,=,3,v,3,d,3,4,=p,4,v,4,d,4,将上述表达式写成量纲形式,1,=L(ML,-3,),1,(LT,-1,),1,L,1,=M,0,L,0,T,（1）,2,=L(ML,-3,),2,(LT,-1,),2,L,2,=M,0,L,0,T,0,（2）,3,=ML,-1,T,-1,(ML,-3,),3,(LT,-1,),3,L,3,=M,0,L,0,T,0,（3）,4,=ML,-1,T,-2,(ML,-3,),4,(LT,-1,),4,L,4,=M,0,L,0,T,0,(4）,求解方程（1）M:,1,=0,T:,1,=0,L:-3,1,+,1,+,1,+1=0 ,1,=-1,所以,1,=l/d,求解方程（2）M:,2,=0,T:,2,=0,L:1-3,2,+,2,+,2,=0 ,2,=-1,所以,2,=/d,求解方程（3）M:1+,3,=0 ,3,=-1,T:-1-,3,=0 ,3,=-1,L:-1-3,3,+,3,+,3,=0 ,3,=-1,所以,3,=/vd=1/Re,求解方程（4）M:,1+,4,=0 ,4,=-1,T:-2-,4,=0 ,4,=-2,L:-1-3,4,+,4,+,4,=0 ,4,=0,所以,4,=p/v,2,因此，所解问题用无量纲数表示的方程为,F(l/d,/d,1/Re,p/v,2,)=0,至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。由上式,可知p/v,2,与其余三个无量纲数有关，那么,p/v,2,=F,1,(,l/d,/d,1/Re)=(l/d)F,2,(/d,1/Re),p/g=p/=(l/d)(v,2,/2g)F,2,(/d,1/Re),令=,F,2,(/d,1/Re),p/=(l/d)(v,2,/2g),这就是达西公式，为沿程阻力系数，表示了等直圆管,中流动流体的压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成,正比，与管径成反比。,从该例题看出，利用,定理，可以在仅知与物理过程有关物理量的情况下，求出表达该物理过程关系式的基本结构形式。用量纲分析法所归纳出的式子往往还带有待定的系数，这个系数要通过实验来确定。而量纲分析法求解中已指定如何用实验来确定这个系数。,三、例题,我们现在研究水槽下端卸水口的水流速度u。,例1 原子弹爆炸（Atomic bomb blast）,A very famous example:when the atomic bomb was tested at Alamagordo,NM in 1945,a number of high speed photographs were taken.,After the war,these pictures appeared in a 1947 issue of Life Magazine.At this time,the yield of the bomb was still classified.,However,based on these pictures,British and Soviet scientists were able to come up with a very good estimate for the bomb yield!,Lets give this a try.,G.I.Taylor,s 1947 Analysis,假设原子弹的特征尺寸为,l,，爆炸时释放的极大能量,E,，突然压缩周围的空气，形成冲击波，向四周传播。假设空气的初始压力为,p,0,，初始密度为,0,；而空气的可压缩性能由绝热指数,所表征。如果把原子弹的爆炸中心当作原点，那么爆炸冲击波的阵面可以近似看成随时间的增加而不断扩展的球面。,所以冲击波阵面的位置（或半径）r,s,将是时间的t的函数，而控制参数则是上面提到的参数，则有,r,s,=,f,（,t；l；E；p,0,，,0,；,）,可取,t,、,E,为基本点，上式可化为以下无量纲的形式：,r,s,/,（,E/,0,）,1/5,t,2/5,=f,（,l/,（,E/,0,）,1/5,t,2/5,），,p,0,/,（,E,2/5,0,3/5,t,-6/5,）,，,）。,可以将上式中前面两个无量纲自变量，经过变换，形成两个新的独立的无量纲自变量。方法是，把它们和上式左端的无量纲量以相除或相乘的方式分别形成组合量，结果得到：,l/,（,E/,0,）,1/5,t,2/5,/,r,s,/,（,E/,0,）,1/5,t,2/5,=,l/r,s,，,和,p,0,/,(,E,2/5,0,3/5,t,-6/5,),l/,(,E/,0,）,1/5,t,2/5,3,=p,0,/(E/r,s,3,）。,由此形成新的函数关系：,l/,（,E/,0,）,1/5,t,2/5,=,f,(,l/r,s，,p,0,/(E/r,s,3,),)。,在这段过程中，传播距离,r,s,远比原子弹的尺寸l大得多；而被冲击波压缩过的空气的平均压力,E/r,s,3,也比反压,p,0,大得多。因此，自变量,l/,（,E/,0,）,1/5,t,2/5,和,p,0,/,(,E,2/5,0,3/5,t,-6/5,),基本上不影响无量纲的传播距离,r,s,/,（,E/,0,）,1/5,t,2/5,。,既然我们有兴趣的是在空中爆炸波的强度足够高的范围内，基于上述分析，我们可以从一开始，就不必将l和p,0,当作控制参数，而认为，,r,s,=f,(,t,E,0,),仍取为基本量，则有：,r,s,/(,(,E/,0,）,1/5,t,2/5,)=f(,).,Published U.S.Atomic Bomb was 18 kiloton device!,核爆炸冲击波,核爆炸冲击波传播与下列因素有关：,:,E,r,r,and,t,.,n,=4 No.of variables,r,=3 No.of dimensions,n,r=1 No.of dimensionless parameters,选择独立变量,:,E,t,and,r,与其余变量结合,:,R,E,r,R,t,ML,2,T,-2,ML,-3,L,T,r,=1,kg/m,3,R,=(,E,/,r,),1/5,t,2/5,log,R,=0.4 log,t,+0.2 log(,E,/,r,),0.2 log(,E,/,r,E,=,13,J,=19.8 kilotons TNT,例 2,肥皂泡的直径显然是泡的内外压力差和表面张力的函数，因此，有如下变量：,例3 多米若骨牌的倒塌速度,(g,l,v,s,f)=0 等价,Featherweight,量纲齐次理论（Dimensional Homogeneity Theorem）：任何物理现象的数学表达式中变量量纲是齐次的。,e for l=3m,h=5ft-10in.,例7 Analysis of Rowing Records,用无量纲化方法减少独立参数个数,所选择独立参数时至少应包括1个几何变量、1个运动变量和1个动力变量。,Middle-heavyweight,Lets give this a try.,例4 Cantilever Beam,用量纲分析法所归纳出的式子往往还带有待定的系数，这个系数要通过实验来确定。,这样可以表达出物理方程的明确的因次关系，并把方程,这里有 D,w,h,V.,Weight(lbs),因此，自变量l/（E/0）1/5t2/5和p0/(E2/5 0 3/5t-6/5)基本上不影响无量纲的传播距离rs/（E/0）1/5t2/5。,有 m-r 个基本解，记作,r=n-m=3.,例4 Cantilever Beam,L,P,b,h,Note the leading constant is of“order 1,”this is typical for relationships expressed in terms of dimensionless parameters,E,表征材料抵抗弹性变形的能力，其数值大小反映该材料弹性变形的难易程度。,Cantilever Beam,L,P,b,h,Dimensions:,Buckinghams Theorem:,7-2=5 pis,Cantilever Beam,L,P,b,h,Buckinghams Theorem:,例5 Dead Man,s Dive,The dive coach claims that a man who holds himself rigid as he topples from a 3-meter diving board will execute a successful dive.How is this result changed for a small boy?,Dead Man,s Dive,l,h,g,Rotation,=N,p,g,and,m,cannot appear in pis,thus 3-1=2 pis,Dead Man,s Dive,l,h,g,Rotation,=N,p,Thus,for the small boy to make a perfect dive,the board height must be reduced,Coach says for N=1,h/l,=0.6,i.e for,l,=3m,h,=5ft-10in.,Dead Man,s Dive,l,h,g,Rotation,=q,=,N,p,Rigid body dynamics analysis-pivot then free fall,7ft,6in man executes perfect dive,mass distribution off,例7 Analysis of Rowing Records,McMahon(1979)has shown that,using dimensional analysis,that the speed of a racing shell varies as the 1/9 power of the number of oarsmen.This is in excellent agreement with championship times for 1,2,4,and 8 man boats.,Show this assuming the following:all boats and their positions in the water are geometrically similar,the boat weight per oarsmen w,b,is constant,each oarsman contributes power P,o,and weight w,o,the only drag is due to skin friction,which is proportional to the wetted area and the square of the speed,Analysis of Rowing Records,L,hL,hL,bL,side view,end view,Analysis of Rowing Records,Archimedess Principle,Energy Balance,Analysis of Rowing Records(data from,64 and,68 Olympics and two other events),McMahon,T.A.,Rowing:a Similarity Analysis,Science,173,pgs.349-351.,例8 Splattering Raindrop,When a drop of ink strikes a piece of paper at sufficiently low speed,surface tension keeps it round,so it makes a circular spot.As the impact speed is increased,dynamic forces overcome the smoothing effect of surface tension,the splattering drop becomes unstable,and it forms a spiked star shape.,Analysis of Weight Lifting Records,In a 2003 Stanford seminar on“Mathematics applied to athletics,”J.B.Keller pointed out that there is no need to divide weight lifters into classes.Assuming that the strength of a muscle varies as it cross sectional area,he deduced that the weight a man can lift varies as a fractional power of his own weight,Class,Weight(lbs),Lifted(lbs),Bantam,123,740,Featherweight,132,795,Lightweight,148,820,Light-heavyweight,181,1025,Middle-heavyweight,198,1055,242-lb,242,1135,Heavyweight,-,1280,Analysis of Weight Lifting Records,A,H,Analysis of Weight Lifting Records,Class,Weight(lbs),Lifted(lbs),S=71.15W,1/2,%Diff,Bantam,123,740,790,6.8,Featherweight,132,795,818,2.9,Lightweight,148,820,867,5.7,Light-heavyweight,181,1025,959,6.4,Middle-heavyweight,198,1055,1001,5.8,242-lb,242,1135,1106,2.6,Heavyweight,-,1280,-,C,avg,How much did heavyweight weigh?323 lbs.,一个宽度为w、高度为h的木板在流体上运动。流体的动力粘度为,流体的密度为 ，与木板接触的流体的流速为 V。,用量纲分析方法研究确定木板受到拉力为 D。,Step 1:确定所有影响流动的参数（变量）。,这里有 D,w,h,V.量纲总数为 6，即n=6.,其中拉力D 因变变量（dependent variable）.,Step 2:列出n个变量的的基本量纲表达式,Step 3：确定基本量纲数量.,这些变量包括 L,T 和 M三个基本量纲，因此，m=3.,Step 4:,选择m个独立参数（repeating parameters）。,所选择独立参数时至少应包括1个几何变量、1个运动变量和1个动力变量。并且因变量不能选做独立参数。,在这个问题中，我们选 w,V 和 为独立参数.,Step 5:,确定无量纲Pi项数目,r=n-m=3.,Step 6:建立Pi 项（无量纲数群，nondimensional groups。,根据量纲齐次原理，将独立参数与其余变量联合起来。,Step 7：,计算Pi项（无量纲数群）中的变量的量纲未知指数。,Step 8:获得Pi 项间的函数间的关系。,Step 9:分析,1,项比率与,2,项的相互关系。,动物的身长和体重,背景与问题,研究四足动物躯干的长度与体重的关系,.,家畜收购站,(,屠宰场,),希望从躯干长度估计体重,.,不陷入各种动物生理结构的研究,.,问题分析,将动物躯干,类比,为圆柱形的弹性梁，四肢为支架，借助弹性力学的已有结果进行分析,.,假 设 与 建 模,1.,躯干为圆柱体，长度,l,直径,d,断面面积,s.,2.,圆柱体为弹性梁，四肢为支架,.,3.,动物在自身体重,f,作用下，躯干最大下垂为,b,(,梁的最大弯曲,).,4.,弹性力学的已有结果：,d,l,b,f,5.,由,f,sl,得,b,/,l,是动物躯干的相对下垂度,.,在长期进化过程中每种动物的,b,/,l,已经达到最合适的数值，即,b,/,l=,常数,(,与动物尺寸无关,).,b,/,l,太大，四肢无法支撑；,b,/,l,太小，四肢的尺寸超过支撑躯干的需要，不合乎生物进化论,.,对于一种四足动物,(,如生猪,),由统计数据确定系数,k.,l,3,d,2,f,sl,s,d,2,l,3,d,2,躯干的相对下垂度,b/l,l,3,/,d,2,d,l,b,f,假设与建模,f,l,4,f,=,k,l,4,可以从躯干长度,l,估计动物体重,f.,动物的身长和体重,将动物躯干,类比,为弹性梁,充满想象力的大胆假设,!,转化为有确切研究成果的弹性梁在自重下的挠曲问题,.,类比法是数学建模的一种常用方法,.,量纲分析与无量纲化,物理量的量纲,长度,l,的量纲记,L,=,l,质量,m,的量纲记,M,=,m,时间,t,的量纲记,T,=,t,动力学中基本量纲,L,M,T,速度,v,的量纲,v,=,LT,-1,导出量纲,加速度,a,的量纲,a,=,LT,-2,力,f,的量纲,f,=,LMT,-2,引力常数,k,的量纲,k,对无量纲量,，,=1(=,L,0,M,0,T,0,),1,量纲齐次原则,=,f,l,2,m,-2,=,L,3,M,-1,T,-2,量纲齐次原则,等式两端的量纲一致,量纲分析,利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系,.,例：单摆运动,l,mg,m,求摆动周期,t,的表达式,设物理量,t,m,l,g,之间有关系式,1,2,3,为待定系数，,为无量纲量,(1),的量纲表达式,对比,对,x,y,z,的两组量测值,x,1,y,1,z,1,和,x,2,y,2,z,2,p,1,=,f,(,x,1,y,1,z,1,),p,2,=,f,(,x,2,y,2,z,2,),为什么假设这种形式,?,设,p,=,f,(,x,y,z,),x,y,z,的量纲单位缩小,a,b,c,倍,p,=,f,(,x,y,z,),的形式为,量纲齐次原则,单摆运动,单摆运动中,t,m,l,g,的一般表达式,y,1,y,4,为待定常数,为无量纲量,设,f,(,q,1,q,2,q,m,)=0,y,s,=(,y,s,1,y,s,2,y,sm,),T,s,=1,2,m-r,F,(,1,2,m-r,)=0,与,f,(,q,1,q,2,q,m,)=0,等价,F,未定,.,Pi,定理,(Buckingham),是与量纲单位无关的物理定律，,X,1,X,2,X,n,是基本量纲,n,m,q,1,q,2,q,m,的量纲可表为,量纲矩阵记作,线性齐次方程组,有,m-r,个基本解，记作,为,m-r,个相互独立的无量纲量,且,则,g,=,LT,-2,l,=,L,=,L,-3,M,v,=,LT,-1,s,=,L,2,f,=,LMT,-2,量纲分析示例：,波浪对航船的阻力,航船阻力,f,航船速度,v,船体尺寸,l,浸没面积,s,海水密度,重力加速度,g.,m,=6,n,=3,Ay,=0,有,m-r,=3,个基本解,rank A=3,rank A=r,Ay,=0,有,m-r,个基本解,y,s,=(,y,s,1,y,s,2,y,sm,),T,s,=1,2,m-r,m-r,个无量纲量,量纲分析示例：,波浪对航船的阻力,F,(,1,2,3,)=0,与,(,g,l,v,s,f,)=0,等价,为得到阻力,f,的显式表达式,F,=0,未定,F,(,1,2,m-r,)=0,与,f,(,q,1,q,2,q,m,)=0,等价,量纲分析示例：,波浪对航船的阻力,量纲分析法的评注,物理量的选取,基本量纲的选取,基本解的构造,结果的局限性,()=0,中包括哪些物理量是至关重要的,.,基本量纲个数,n,;,选哪些基本量纲,.,有目的地构造,Ay,=0,的基本解,.,方法的普适性,函数,F,和无量纲量未定,.,不需要特定的专业知识,.,2,量纲分析在物理模拟中的应用,例,:,航船阻力的物理模拟,通过航船模型确定原型船所受阻力,模型船的参数,(,均已知,),可得原型船所受阻力,已知模型船所受阻力,原型船的参数,(,f,1,未知，其他已知,),注意：二者的,相同,按一定尺寸比例造模型船，量测,f,，可算出,f,1,物理模拟,2.10.3,无量纲化,例：火箭发射,m,1,m,2,x,r,v,0,g,星球表面竖直发射火箭。初速,v,星球半径,r,星球表面重力加速度,g.,研究火箭高度,x,随时间,t,的变化规律,.,t,=0,时,x,=0,火箭质量,m,1,星球质量,m,2,牛顿第二定律，万有引力定律,3,个独立参数,用无量纲化方法减少独立参数个数,x,=,L,t,=,T,r,=,L,v,=,LT,-1,g,=,LT,-2,变量,x,t,和独立参数,r,v,g,的量纲,用,参数,r,v,g,的组合,分别构造与,x,t,具有相同,量纲的,x,c,t,c,（特征尺度）,无量纲变量,如,利用新变量,将被简化,令,x,c,t,c,的不同构造,1,）令,为无量纲量,用无量纲化方法减少独立参数个数,的不同简化结果,3,）令,为无量纲量,2,）令,为无量纲量,用无量纲化方法减少独立参数个数,1)2)3),的共同点,只含,1,个参数,无量纲量,解,1)2)3),的重要差别,考察无量纲量,在,1)2)3),中能否忽略以,为因子的项？,1),忽略,项,无解,不能忽略,项,无量纲化方法,2),3),忽略,项,不能忽略,项,忽略,项,1)2)3),的重要差别,无量纲化方法,火箭发射过程中引力,m,1,g,不变,即,x+r,r,原问题,可以忽略,项,是原问题的近似解,1)2)3),的重要差别,无量纲化方法,为什么,3),能忽略,项，得到原问题近似解，而,1)2),不能,?,1,）令,2,）令,3,）令,火箭到达最高点时间为,v,/,g,高度为,v,2,/2,g,大体上具有单位尺度,项可以忽略,项不能忽略,无量纲化方法,选择特征尺度的一般讨论见：,林家翘著,自然科学中确定性问题的应用数学,无 量 纲 化,无量纲化,是研究物理问题常用的数学方法,.,选择,特征尺度,主要依赖于物理知识和经验,.,恰当地选择特征尺度可以减少独立参数个数，还可以辅助确定舍弃哪些次要因素,.,量纲分析与无量纲化,物理量的量纲,长度,l,的量纲记,L,=,l,质量,m,的量纲记,M,=,m,时间,t,的量纲记,T,=,t,动力学中基本量纲,L,M,T,速度,v,的量纲,v,=,LT,-1,导出量纲,加速度,a,的量纲,a,=,LT,-2,力,f,的量纲,f,=,LMT,-2,引力常数,k,的量纲,k,对无量纲量,，,=1(=,L,0,M,0,T,0,),2.10.1,量纲齐次原则,=,f,l,2,m,-2,=,L,3,M,-1,T,-2,量纲齐次原则,等式两端的量纲一致,量纲分析,利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系,.,例：单摆运动,l,mg,m,求摆动周期,t,的表达式,设物理量,t,m,l,g,之间有关系式,1,2,3,为待定系数，,为无量纲量,(1),的量纲表达式,对比,对,x,y,z,的两组量测值,x,1,y,1,z,1,和,x,2,y,2,z,2,p,1,=,f,(,x,1,y,1,z,1,),p,2,=,f,(,x,2,y,2,z,2,),为什么假设这种形式,?,设,p,=,f,(,x,y,z,),x,y,z,的量纲单位缩小,a,b,c,倍,p,=,f,(,x,y,z,),的形式为,量纲齐次原则,单摆运动,单摆运动中,t,m,l,g,的一般表达式,y,1,y,4,为待定常数,为无量纲量,设,f,(,q,1,q,2,q,m,)=0,y,s,=(,y,s,1,y,s,2,y,sm,),T,s,=1,2,m-r,F,(,1,2,m-r,)=0,与,f,(,q,1,q,2,q,m,)=0,等价,F,未定,.,Pi,定理,(Buckingham),是与量纲单位无关的物理定律，,X,1,X,2,X,n,是基本量纲,n,m,q,1,q,2,q,m,的量纲可表为,量纲矩阵记作,线性齐次方程组,有,m-r,个基本解，记作,为,m-r,个相互独立的无量纲量,且,则,g,=,LT,-2,l,=,L,=,L,-3,M,v,=,LT,-1,s,=,L,2,f,=,LMT,-2,量纲分析示例：,波浪对航船的阻力,航船阻力,f,航船速度,v,船体尺寸,l,浸没面积,s,海水密度,重力加速度,g.,m,=6,n,=3,Ay,=0,有,m-r,=3,个基本解,rank A=3,rank A=r,Ay,=0,有,m-r,个基本解,y,s,=(,y,s,1,y,s,2,y,sm,),T,s,=1,2,m-r,m-r,个无量纲量,量纲分析示例：,波浪对航船的阻力,F,(,1,2,3,)=0,与,(,g,l,v,s,f,)=0,等价,为得到阻力,f,的显式表达式,F,=0,未定,F,(,1,2,m-r,)=0,与,f,(,q,1,q,2,q,m,)=0,等价,量纲分析示例：,波浪对航船的阻力,量纲分析法的评注,物理量的选取,基本量纲的选取,基本解的构造,结果的局限性,()=0,中包括哪些物理量是至关重要的,.,基本量纲个数,n,;,选哪些基本量纲,.,有目的地构造,Ay,=0,的基本解,.,方法的普适性,函数,F,和无量纲量未定,.,不需要特定的专业知识,.,2.10.2,量纲分析在物理模拟中的应用,例,:,航船阻力的物理模拟,通过航船模型确定原型船所受阻力,模型船的参数,(,均已知,),可得原型船所受阻力,已知模型船所受阻力,原型船的参数,(,f,1,未知，其他已知,),注意：二者的,相同,=fl2m-2=L3M-1T-2,加速度 a 的量纲 a=LT-2,F(p1,p2,pk-r)=0,(g,l,v,s,f)=0 等价,Step 9:分析1项比率与2项的相互关系。,f sl,s d2,l3 d2,在1)2)3)中能否忽略以为因子的项？,研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律.,F(1,2,3)=0与,量纲齐次理论（Dimensional Homogeneity Theorem）：任何物理现象的数学表达式中变量量纲是齐次的。,质量 m的量纲记 M=m,p/v2=F1(l/d,/d,1/Re)=(l/d)F2(/d,1/Re),按一定尺寸比例造模型船，量测,f,，可算出,f,1,物理模拟,2.10.3,无量纲化,例：火箭发射,m,1,m,2,x,r,v,0,g,星球表面竖直发射火箭。初速,v,星球半径,r,星球表面重力加速度,g.,研究火箭高度,x,随时间,t,的变化规律,.,t,=0,时,x,=0,火箭质量,m,1,星球质量,m,2,牛顿第二定律，万有引力定律,3,个独立参数,用无量纲化方法减少独立参数个数,x,=,L,t,=,T,r,=,L,v,=,LT,-1,g,=,LT,-2,变量,x,t,和独立参数,r,v,g,的量纲,用,参数,r,v,g,的组合,分别构造与,x,t,具有相同,量纲的,x,c,t,c,（特征尺度）,无量纲变量,如,利用新变量,将被简化,令,x,c,t,c,的不同构造,1,）令,为无量纲量,用无量纲化方法减少独立参数个数,的不同简化结果,3,）令,为无量纲量,2,）令,为无量纲量,用无量纲化方法减少独立参数个数,1)2)3),的共同点,只含,1,个参数,无量纲量,解,1)2)3),的重要差别,考察无量纲量,在,1)2)3),中能否忽略以,为因子的项？,1),忽略,项,无解,不能忽略,项,无量纲化方法,2),3),忽略,项,不能忽略,项,忽略,项,1)2)3),的重要差别,无量纲化方法,火箭发射过程中引力,m,1,g,不变,即,x+r,r,原问题,可以忽略,项,是原问题的近似解,1)2)3),的重要差别,无量纲化方法,为什么,3),能忽略,项，得到原问题近似解，而,1)2),不能,?,1,）令,2,）令,3,）令,火箭到达最高点时间为,v,/,g,高度为,v,2,/2,g,大体上具有单位尺度,项可以忽略,项不能忽略,无量纲化方法,选择特征尺度的一般讨论见：,林家翘著,自然科学中确定性问题的应用数学,无 量 纲 化,无量纲化,是研究物理问题常用的数学方法,.,选择,特征尺度,主要依赖于物理知识和经验,.,恰当地选择特征尺度可以减少独立参数个数，还可以辅助确定舍弃哪些次要因素,.,谢谢观看,谢谢观看,