线性代数课件第五章相似矩阵及二次型——第4节.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,第五章相似矩阵及二次型,定理1,对称矩阵的特征值为实数.,证明,一、对称矩阵的性质,说明,：本节所提到的对称矩阵，除非特别说,明，均指,实对称矩阵,于是有,两式相减，得,定理1的意义,证明,于是,且对角矩阵对角元素即为特征值,例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，,(2)属于不同特征值的特征向量正交；,利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化,由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交，,(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，,这样的特征向量共可得 个.,第四步 将特征向量单位化,第五章相似矩阵及二次型,(1)特征值为实数；,(2)属于不同特征值的特征向量正交；,定理1对称矩阵的特征值为实数.,以它们为列向量构成正交矩阵 ，则,(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，,(2)属于不同特征值的特征向量正交；,第三步 将特征向量正交化,定理1对称矩阵的特征值为实数.,证明,它们的重数依次为,根据定理1（,对称矩阵的特征值为实数,）和定,理3(,如上,)可得：,设 的互不相等的特征值为,由定理2知,对应于不同特征值的特征向量正交,，,这样的特征向量共可得 个.,故这 个单位特征向量两两正交.,以它们为列向量构成正交矩阵 ，则,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化,为对角矩阵，其具体步骤,为：,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,将特征向量正交化;,3.,将特征向量单位化.,4.,2.,1.,解,例,对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，,使 为对角阵.,(1),第一步 求 的特征值,例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，,第五章相似矩阵及二次型,以它们为列向量构成正交矩阵 ，则,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化,以它们为列向量构成正交矩阵 ，则,第三步 将特征向量正交化,第三步 将特征向量正交化,定理1对称矩阵的特征值为实数.,利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,第四步 将特征向量单位化,(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，,(1)特征值为实数；,且对角矩阵对角元素即为特征值,(1)特征值为实数；,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化,解之得基础解系,解之得基础解系,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,于是得正交阵,1.,对称矩阵的性质：,三、小结,(1)特征值为实数；,(2)属于不同特征值的特征向量正交；,(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的,特征向量的个数相等；,(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，,且对角矩阵对角元素即为特征值,2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向,量单位化；(4)最后正交化,思考题,思考题解答,