高中数学第一章立体几何初步1.4.2等角定理与异面直线所成的角课件北师大版必修.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,2,课时等角定理与异面直线所成的角,1,.,等角定理,空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角,相等或互补,.,做一做,1,空间两个角,的两边分别对应平行且方向相同,若,=,50,则,等于,(,),A.50,B.130,C.40,D.50,或,130,解析,:,由等角定理知,与,相等,.,答案,:,A,2,.,异面直线所成的角,如图所示,过空间任意一点,P,分别引两条异面直线,a,b,的平行线,l,1,l,2,(,a,l,1,b,l,2,),这两条相交直线所成的,锐角,(,或,直角,),就是异面直线,a,b,所成的角,.,如果两条异面直线所成的角是直角,我们称这两条直线,互相垂直,.,记作,:,a,b.,做一做,2,如图所示,在四面体,ABCD,中,E,F,G,分别为,BC,AD,DB,的中点,若,AB,与,CD,所成的角为,60,则,FGE=,.,解析,:,因为,E,F,G,分别为,BC,AD,DB,的中点,所以,FG,AB,EG,DC,所以,FGE=,60,或,120,.,答案,:,60,或,120,3,.,空间四边形,四个顶点,不在,同一平面内的四边形叫作空间四边形,.,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打,“,”,错误的打,“,”,.,(1),若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,则这两个角相等,.,(,),(2),若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且有一组对边方向相同,另一组对边方向相反,则这两个角互补,.,(,),(3),若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角相等,.,(,),(4),若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相反,则这两个角互补,.,(,),(5),两条异面直线所成角的范围为,0,90,),.,(,),答案,:,(1),(2),(3),(4),(5),探究一,探究二,一题多解,探究,一,等角定理的应用,【例,1,】,如图所示,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,M,M,1,分别是棱,AD,和,A,1,D,1,的中点,.,求证,:,(1),四边形,BB,1,M,1,M,为平行四边形,;,(2),BMC=,B,1,M,1,C,1,.,探究一,探究二,一题多解,分析,:,本题是在正方体中研究问题,(1),欲证四边形,BB,1,M,1,M,是平行四边形,可证其一组对边平行且相等,;(2),可结合,(1),利用定理证明或利用三角形全等证明,.,探究一,探究二,一题多解,证明,:,(1),在正方形,ADD,1,A,1,中,M,M,1,分别为,AD,A,1,D,1,的中点,MM,1,=AA,1,MM,1,AA,1,.,又,AA,1,=BB,1,AA,1,BB,1,MM,1,=BB,1,且,MM,1,BB,1,.,四边形,BB,1,M,1,M,为平行四边形,.,(2),方法一,:,由,(1),知四边形,BB,1,M,1,M,为平行四边形,B,1,M,1,BM.,同理可得四边形,CC,1,M,1,M,为平行四边形,C,1,M,1,CM.,由平面几何知识可知,BMC,和,B,1,M,1,C,1,都是锐角,BMC=,B,1,M,1,C,1,.,方法二,:,由,(1),知四边形,BB,1,M,1,M,为平行四边形,B,1,M,1,=BM.,同理可得四边形,CC,1,M,1,M,为平行四边形,.,C,1,M,1,=CM.,又,B,1,C,1,=BC,BCM,B,1,C,1,M,1,.,BMC=,B,1,M,1,C,1,.,探究一,探究二,一题多解,探究一,探究二,一题多解,变式训练,1,在三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,M,N,P,分别为边,A,1,C,1,AC,和,AB,的中点,.,求证,:,PNA,1,=,BCM.,探究一,探究二,一题多解,探究一,探究二,一题多解,探究,二,求两条异面直线所成的角,决,【例,2,】,如图所示,已知正方体,ABCD-ABCD.,(1),哪些棱所在的直线与直线,BC,是异面直线,?,(2),求异面直线,AD,与,BC,BC,与,CD,所成角的大小以及,AC,与,AB,所成角的正切值,.,分析,:(1),按照异面直线的定义进行判断,;(2),根据异面直线所成角的定义进行求解,.,探究一,探究二,一题多解,探究一,探究二,一题多解,探究一,探究二,一题多解,变式训练,2,如图所示,已知三棱锥,A-BCD,AD=BC,E,F,分别是,AB,CD,的中点,且,EF=AD,求异面直线,AD,和,BC,所成角的大小,.,探究一,探究二,一题多解,探究一,探究二,一题多解,典例,如图所示,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,F,分别是,A,1,B,1,B,1,C,1,的中点,求异面直线,DB,1,与,EF,所成角的大小,.,分析,:,要求异面直线所成角的大小,关键是作出异面直线所成的角,然后把它归结到三角形中,再解三角形就可以得出答案,.,同时在解题中要注意异面直线所成角的范围,.,探究一,探究二,一题多解,解法,1:(,直接平移法,),如图所示,.,连接,A,1,C,1,B,1,D,1,交于点,O,取,DD,1,的中点,G,连接,GA,1,GC,1,OG,则,OG,B,1,D,EF,A,1,C,1,GOA,1,或其补角就是异面直线,DB,1,与,EF,所成的角,.,GA,1,=GC,1,O,为,A,1,C,1,的中点,GO,A,1,C,1,.,异面直线,DB,1,与,EF,所成的角为,90,.,探究一,探究二,一题多解,探究一,探究二,一题多解,探究一,探究二,一题多解,解法,4:(,补形法,),如图所示,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接,B,1,Q,DQ,则,B,1,Q,EF.,于是,DB,1,Q,或其补角就是异面直线,DB,1,与,EF,所成的角,通过计算,不难得到,B,1,D,2,+B,1,Q,2,=DQ,2,故异面直线,DB,1,与,EF,所成的角为,90,.,探究一,探究二,一题多解,1 2 3 4 5,1,.,若,AOB=,AOB,OA,OA,且,OA,与,OA,的方向相同,则,OB,与,OB,(,),A.,一定平行且方向相同,B.,一定平行且方向相反,C.,一定不平行,D.,不一定平行,解析,:,由于两角不一定在同一个平面内或两角所在的平面不一定平行,则,OB,与,OB,不一定平行,.,答案,:,D,1 2 3 4 5,2,.,一条直线与两条平行线中的一条为异面直线,则它与另一条,(,),A.,相交,B.,异面,C.,相交或异面,D.,平行,解析,:,在如图所示的长方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,直线,AA,1,与直线,B,1,C,1,是异面直线,与,B,1,C,1,平行的直线有,A,1,D,1,AD,BC,显然直线,AA,1,与,A,1,D,1,相交,与,BC,异面,.,答案,:,C,1 2 3 4 5,3,.,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,F,M,分别为,A,1,B,1,B,1,C,1,BB,1,的中点,下列说法中错误的是,(,),A.,BA,1,C,1,=,MEF,B.,A,1,BC,1,=,EMF,C.,B,1,EM=,EA,1,B,D.,EFM=,A,1,C,1,F,解析,:,由等角定理,可知,A,B,C,均正确,.,答案,:,D,1 2 3 4 5,4,.,空间中角,A,的两边和角,B,的两边分别平行,若,A=,70,则,B=,.,解析,:,由于角,A,的两边和角,B,的两边分别平行,所以有,A=,B,或,A+,B=,180,.,因为,A=,70,所以,B=,70,或,B=,110,.,答案,:,70,或,110,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,