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单击此处编辑母版文本样式,基础诊断,考点突破,第,2,讲函数的单调性与最值,考试要求,1.,函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义，,B,级要求；,2.,运用函数图象研究函数的单调性，,B,级要求,知 识 梳 理,1,函,数的单调性,(1),单调函数的定义,增函数,减函数,定义,一般地，设函数,f,(,x,),的定义域为,I,：如果对于定义域,I,内某个区间,D,上的任意两个自变量的值,x,1,，,x,2,当,x,1,x,2,时，都有,，那么就说函数,f,(,x,),在区间,D,上是增函数,当,x,1,x,2,时，都有,，那么就说函数,f,(,x,),在区间,D,上是减函数,f,(,x,1,),f,(,x,2,),图象,描述,自左向右看图象是,自左向右看图象是,上升的,下降的,(2),单调区间的定义,如果函数,y,f,(,x,),在区间,D,上是,或,，那么就说函数,y,f,(,x,),在这一区间具有,(,严格的,),单调性，,叫做函数,y,f,(,x,),的单调区间,.,增函数,减函数,区间,D,2.,函数的最值,前提,设函数,y,f,(,x,),的定义域为,I,，如果存在实数,M,满足,条件,(1),对于任意,x,I,，都有,；,(2),存在,x,0,I,，使得,f,(,x,0,),M,(3),对于任意,x,I,，都有,；,(4),存在,x,0,I,，使得,结论,M,为最大值,M,为最小值,f,(,x,),M,f,(,x,),M,f,(,x,0,),M,解析,(2),此单调区间不能用并集符号连接，取,x,1,1,，,x,2,1,，则,f,(,1),f,(1),，故应说成单调递减区间为,(,，,0),和,(0,，,),(3),应对任意的,x,1,x,2,，,f,(,x,1,),f,(,x,2,),成立才可以,(4),若,f,(,x,),x,，,f,(,x,),在,1,，,),上为增函数，但,y,f,(,x,),的单调递增区间可以是,R,.,答案,(1),(2),(3),(4),4,函数,f,(,x,),lg,x,2,的单调递减区间是,_,解析,f,(,x,),的定义域为,(,，,0),(0,，,),，,y,lg,u,在,(0,，,),上为增函数，,u,x,2,在,(,，,0),上递减，在,(0,，,),上递增，故,f,(,x,),在,(,，,0),上单调递减,答案,(,，,0),答案,(,，,2),规律方法,(1),求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例,1(1),(2),函数单调性的判断方法有：,定义法；,图象法；,利用已知函数的单调性；,导数法,(3),函数,y,f,(,g,(,x,),的单调性应根据外层函数,y,f,(,t,),和内层函数,t,g,(,x,),的单调性判断，遵循,“,同增异减,”,的原则,答案,3,1,规律方法,(1),求函数最值的常用方法：,单调性法；,基本不等式法；,配方法；,图象法；,导数法,(2),利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解若函数,f,(,x,),在闭区间,a,，,b,上是增函数，则,f,(,x,),在,a,，,b,上的最大值为,f,(,b,),，最小值为,f,(,a,),若函数,f,(,x,),在闭区间,a,，,b,上是减函数，则,f,(,x,),在,a,，,b,上的最大值为,f,(,a,),，最小值为,f,(,b,),答案,4,规律方法,(1),在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将,“,f,”,符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域,(2),利用单调性求参数的取值,(,范围,),的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程,(,组,)(,不等式,(,组,),或先得到其图象的升降，再结合图象求解,思想方法,1,利用定义证明或判断函数单调性的步骤：,(1),取值；,(2),作差；,(3),定号；,(4),判断,2,确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性,3,求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用基本不等式闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到,
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