矩阵的相抵变换和秩线性方程组.ppt

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,矩阵的相抵变换和秩线性方程组,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.1,消元法,一,.,基本概念,含有,n,个未知量,m,个方程的线性方程组的,一般形式如下,a,11,x,1,+,a,12,x,2,+,a,1,n,x,n,=b,1,a,21,x,1,+,a,22,x,2,+,a,2,n,x,n,=,b,2,a,m,1,x,1,+,a,m,2,x,2,+,a,mn,x,n,=,b,m,(3.1),(,非,),齐次线性方程组,解,相容,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.1,消元法,设,A,=,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,m,1,a,m,2,a,mn,b,=,b,1,b,2,b,m,a,11,x,1,+,a,12,x,2,+,a,1,n,x,n,=b,1,a,21,x,1,+,a,22,x,2,+,a,2,n,x,n,=,b,2,a,m,1,x,1,+,a,m,2,x,2,+,a,mn,x,n,=,b,m,则线性方程组,可以写成,Ax,=,b,.,x,=,x,1,x,2,x,n,解向量,解集,通解,同解,3.1,消元法,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,称,A,=,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,m,1,a,m,2,a,mn,为,(3.1),的,系数矩阵,A,b,=,a,11,a,12,a,1,n,b,1,a,21,a,22,a,2,n,b,2,a,m,1,a,m,2,a,mn,b,m,为,(3.1),的,增广矩阵,.,3.1,消元法,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,二,.,线性方程组的初等变换,2,x,1,3,x,2,+4,x,3,=,4,x,1,+2,x,2,x,3,=,3,2,x,1,+2,x,2,6,x,3,=,2,x,1,+2,x,2,x,3,=,3,2,x,1,3,x,2,+4,x,3,=4,x,1,+,x,2,3,x,3,=,1,x,1,+2,x,2,x,3,=,3,x,2,+2,x,3,=,2,x,2,2,x,3,=,2,2,(1),x,1,+2,x,2,x,3,=,3,x,2,+2,x,3,=,2,0,=,0,1/2,1,换法变换,倍法变换,消法变换,阶梯形方程组,3.1,消元法,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,x,1,5,x,3,=1,x,2,+2,x,3,=,2,0,=,0,x,1,+2,x,2,x,3,=,3,x,2,+2,x,3,=,2,0,=,0,阶梯形方程组,(2),x,1,=,5,x,3,+1,x,2,=,2,x,3,2,x,3,=,x,3,(,任意,),最简形方程组,或写成向量形式,由此可得原方程组的通解,x,=,5,c,+1,2,c,2,c,其中,c,为任意数,.,3.1,消元法,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,1.,线性方程组的,换法变换,倍法变换,和,消法变,换,统称为,线性方程组的初等变换,.,值得注意,的是倍法变换必须用,非零,的常数去乘某一,个方程,.,2.,阶梯形线性方程组的有三中基本类型,.,例如,2,x,1,+3,x,2,x,3,=,1,2,x,2,+,x,3,=,2,0,=,1,x,1,x,2,+2,x,3,=,8,2,x,2,+,x,3,=,1,x,3,=,5,x,1,+2,x,2,+,x,3,+,x,4,=2,x,3,+4,x,4,=,3,3.1,消元法,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,三,.,矩阵的初等变换,2,x,1,3,x,2,+4,x,3,=,4,x,1,+2,x,2,x,3,=,3,2,x,1,+2,x,2,6,x,3,=,2,x,1,+2,x,2,x,3,=,3,2,x,1,3,x,2,+4,x,3,=4,x,1,+,x,2,3,x,3,=,1,x,1,+2,x,2,x,3,=,3,x,2,+2,x,3,=,2,x,2,2,x,3,=,2,2,(1),x,1,+2,x,2,x,3,=,3,x,2,+2,x,3,=,2,0,=,0,1/2,1,2,3,4,4,1 2,1,3,2 2,6 2,轻装上阵,1 2,1,3,2,3,4,4,1 1,3 1,1/2,1 2,1,3,0,1,2,2,0,1,2 2,2,(1),1 2,1,3,0,1 2,2,0 0,0 0,1,增广矩阵的,初等变换,3.1,消元法,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,1.,下面三种变换称为矩阵的,初等行变换,.,把上述定义中的“行”换成“列”,即得到,初,等列变换,的定义,(,相应的记号是把“,r,”,换成,“,c,”).,初等行变换与初等列变换统称为,初等变换,.,(1),对调两行,(,对调,i,j,两行记为,r,i,r,j,),(2),以非零的数,k,乘某一行中的所有元素,(,第,i,行乘以,k,记为,r,i,k,),(3),把某一行所有元素的,k,倍加到另一行对,应的元素上去,(,第,j,行的,k,倍加到第,i,行记,为,r,i,+,k,r,j,).,3.1,消元法,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,2.,阶梯形矩阵与行简化阶梯阵,则称,A,为,阶梯形矩阵,(,简称,阶梯阵,).,这时称,A,中非零行的行数为,A,的,阶梯数,.,例如,如果矩阵,A,满足如下条件,若,A,有零行,(,元素全为零的行,),则零行位于,最下方,非零行的非零首元,(,自左至右第一个不为,零的元,),的列标随行标的递增而递增,1 1,0 0 4,0 1 0 2 2,0 0 0 2 3,0 0 0 0 4,1 1,2 0 4,0 1 3 2 2,0 0 0 2 3,0 0 0 0 0,3.1,消元法,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,则称,A,为,行简化阶梯阵,.,例如,如果阶梯阵,A,还满足如下条件,各非零首元全为,1,非零行首元所在列的其余元素全为,0,1,0,2,0,1,0,1,3,0,2,0 0 0,1,0,0 0 0 0 0,注,:,用数学归纳法可以证明,:,任何一个矩阵都,可以经过有限次初等,行,变换化为行简化阶,梯阵,.,第三章 矩阵的相抵变换和秩线性方程组,2 向量组的线性相关性和秩,(第i行乘以k记为ri k),1 1 1+,反之,若1,2,s线性无关,则,x2+2x3=2,非零行的非零首元(自左至右第一个不为,0 0 1 5,注:在这里取B=I,则方程AX=B即AX=I.,(i)向量组I0是线性无关的;,有34个1级子式:,中非零行的行数为A的阶梯数.,3.1,消元法,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.,阶梯阵的形状与线性方程组的解,.,2,x,1,+3,x,2,x,3,=,1,2,x,2,+,x,3,=,2,0,=,1,x,1,x,2,+2,x,3,=,8,2,x,2,+,x,3,=,1,x,3,=,5,x,1,+2,x,2,+,x,3,+,x,4,=2,x,3,+4,x,4,=,3,0=0,无解,有唯一解,有无数解,2,3,4,1,0 2,1,2,0 0,0,1,1,1,2,8,0 2,1,1,0 0,1,5,1 2,1,1,2,0 0,1,4,3,0 0,0 0,0,解的数目,Ax,=,b,Ax,=,b,A,b,A,b,r,2,=,r,1,+1,r,2,=,r,1,=,n,3.1,消元法,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,例,1,.,设有线性方程组,问,为何值时,此,方程组,(1),有唯一解,;(2),无解,;(3),有无穷多解,?,并在有无穷多解时求其通解,.,解,:,对其增广矩阵,A,b,作初等,行,变换,化为阶,梯形,.,3.1,消元法,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,1+,1 1,0,1 1+,1,3,1,1 1+,A,b,=,1,1 1+,1 1+,1,3,1+,1 1,0,(1),1,1 1+,0,3,1+,1 1,0,1,1 1+,0,3,0,(2+,),(1+,),(,1,),1,1 1+,0,3,0,0,(3+,),(1,)(3+,),1,3.1,消元法,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,1,1 1+,0,3,0,0,(3+,),(1,)(3+,),(1),当,0,且,3,时,方程组有唯一解,;,(2),当,=0,时,方程组无解,;,(3),当,=3,时,方程组有无穷多解,.,此时,1,1 1+,0,3,0,0,(3+,),(1,)(3+,),1,1,2,3,0,3 3,6,0,0,0,0,=,1,1,2,3,0 1,1,2,0,0,0,0,1,0,1,1,0 1,1,2,0,0,0,0,(1),(),1,3,定理,3.1,消元法,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,1,0,1,1,0 1,1,2,0,0,0,0,令,x,3,=,c,则,x,1,x,2,x,3,(,c,为任意实数,).,1,1,1,=,c,1,2,0,+,由此可得原方程组的通解,x,1,=,x,3,1,x,2,=,x,3,2,x,3,=,x,3,(,任意,),因而原方程组化为,x,1,x,3,=,1,x,2,x,3,=,2,3.1,消元法,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,四,.,齐次线性方程组有非零解的一个充分条件,定理,3.1,.,设,A,R,m,n,.,若,m,t,则,向量组,I,是,线性相关的,.,证明,:,设,j,=,k,1,j,1,+,k,2,j,2,+,k,tj,t,(,j,=1,s,),并记矩阵,A,=,1,2,s,C,=,k,ij,t,s,B,=,1,2,t,则,A,=,BC,.,由,s,t,及,定理,可得线性方程组,Cx,=,有非零解,.,因而线性方程组,Ax,=,有非零解,.,所以向量组,I,是,线性相关的,.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.2,向量组的线性相关性和秩,定理,3.4,.,若向量组,I:,1,2,s,可由向量组,II:,1,2,t,线性表示,并且,s,t,则,向量组,I,是,线性相关的,.,若向量组,1,2,s,线性无关,且可,由,1,2,t,线性表示,则,若向量组,1,2,s,和,1,2,t,都线性无关,并且这两个向量组等价,则,推论,b,.,s,t,.,s,=,t,.,推论,a,.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.2,向量组的线性相关性和秩,四,.,向量组的极大无关组,1.,定义,如果向量组,I,的部分组,I,0,满足以下列条件,则称,I,0,为,I,的一个,极大,(,线性,),无关组,:,(i),向量组,I,0,是线性无关的,;,(ii)I,中任一向量都可由,I,0,线性表示,.,I,0,中向量的个数称为向量组,I,的,秩,.,记为,秩,(I),或,r(I).,注,:,只含零向量的向量组没有最大无关组,规,定它的秩为,0.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.2,向量组的线性相关性和秩,命题,.,设,I,0,:,1,2,r,是,I:,1,2,s,的一个极大无关组,则,I,0,与,I,等价,.,证明,:,一方面,1,=,1,1,+0,2,+0,s,2,=0,1,+,1,2,+0,3,+0,s,r,=0,1,+0,r,1,+,1,r,+0,r,+1,+0,s,可见,I,0,可由,I,线性表示,.,另一方面由定义可知,I,可由,I,0,线性表示,.,所以,I,0,与,I,等价,.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.2,向量组的线性相关性和秩,定理,3.5,.,若向量组,I:,1,2,s,可由向量组,II:,1,2,t,线性表示,则,秩,(I),秩,(II);,若这两个向量组等价,则秩,(I),=,秩,(II),.,例,7,.,设,1,2,3,R,n,.,1,=,1,+,2,+,3,2,=,2,+,3,3,=,3,.,证明,:,1,2,3,线性无关,1,2,3,线性无关,.,例,8,.,设,1,2,n,R,n,.,证明,:,它们线性无关,R,n,中任一向量都能由它们线性表示,.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.3,矩阵的秩,3.3,矩阵的秩,一,.,行秩与列秩,1.,定义,一个矩阵的行向量组的秩称为这个矩阵,的,行秩,列向量组的秩称为它的,列秩,.,2.,性质,命题,.,阶梯形矩阵的行秩等于它的非零行,数目,.,命题,.,阶梯形矩阵的行秩与列秩相等,.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.3,矩阵的秩,命题,.,若矩阵,A,经过,(,有限次,),初等行变换变,成,B,则,A,B,的行向量组等价,从而,A,B,的行秩相等,.,这就是说初等行变换,不改变矩阵的行秩,.,命题,.,初等行变换不改变矩阵的列秩,.,定理,3.6,.,矩阵的行秩与列秩相等,并且在初等,变换下不变,.,3.,矩阵,A,的行秩和列秩统称为矩阵,A,的,秩,.,记为秩,(,A,),或,r(,A,).,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.3,矩阵的秩,3,=,1,2,5,=,4,1,+,3,2,3,4,.,初等,行,变换,例,9.,求矩阵,组的一个最大无关组,并把其余列向量用,这个最大无关组线性表示出来,.,的列向量,解,:,故,A,的第,1,2,4,列为,A,的列向量组的一个最大无关组,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.3,矩阵的秩,简记为,A,:,1,2,s,C,:,1,2,n,.,若,j,=,b,1,j,1,+,b,2,j,2,+,b,sj,s,j,=,1,2,n,即,=,1,2,n,1,2,s,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.3,矩阵的秩,B,:,C,:,简记为,B,:,1,2,s,C,:,1,2,m,.,若,i,=,a,i,1,1,+,a,i,2,2,+,a,is,s,i,=,1,2,m,即,=,1,2,m,1,2,s,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.3,矩阵的秩,=,命题,.,秩,(,AB,),min,秩,(,A,),秩,(,B,),.,矩阵的乘积,C,m,n,=,A,m,s,B,s,n,行向量,i,=,a,i,1,1,+,a,i,2,2,+,a,is,s,i,=,1,2,m,.,列向量,j,=,b,1,j,1,+,b,2,j,2,+,b,sj,s,j,=,1,2,n,向量组的线性表示,:,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.3,矩阵的秩,二,.,矩阵的秩与行列式的关系,定理,3.7,.,n,阶方阵,A,的秩等于,n,的充分必要条,件是,A,的行列式,|,A,|,不等于零,即,A,是,非退化的,.,1.,设,A,为,m,n,矩阵,.,若秩,(,A,)=,m,则称,A,为,行,满秩,的,;,若秩,(,A,)=,n,则称,A,为,列满秩,的,.,特别地,若一个方阵的秩等于它的阶数,则称之为,满秩,的,.,注,:,由此可见,方阵,A,满秩,|,A,|0,A,非退化,A,可逆,.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.3,矩阵的秩,2.,在,m,n,矩阵,A,中,任取,k,行与,k,列,(,k,m,k,n,),位于这些行列交叉处的,k,2,个元素,不改变它,们在,A,中所处的位置次序而得的,k,阶行列式,称为矩阵,A,的一个,k,级子式,.,这样的子式共,有,个,.,例,10,.,A,=,2 0 4 1,0 1 3 2,4 0 8 2,2,0,4,1,0,1,3,2,4,0,8,2.,有,3,4,个,1,级子式,:,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.3,矩阵的秩,2 0 4 1,0 1 3 2,4 0 8 2,的,2,级子式有,3,6,个,:,0 4,1 3,0 1,1 2,4 1,3 2,2 0,0 1,2 4,0 3,2 1,0 2,0 4,0 8,0 1,0 2,4 1,8 2,2 0,4 0,2 4,4 8,2 1,4 2,0 1,4 0,3 2,8 2,.,0 3,4 8,0 2,4 2,1 3,0 8,1 2,0 2,3,级子式有,1,4,个,:,2 0 4,0 1 3,4 0 8,2 0 1,0 1 2,4 0 2,2 4 1,0 3 2,4 8 2,0 4 1,1 3 2,0 8 2,=,=,=,=0.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.3,矩阵的秩,性质,1,.,若,A,有一个,k,级子式不等于零,则秩,(,A,),k,.,a,11,a,21,a,k,1,a,k,+1,1,a,m,1,a,12,a,22,a,k,2,a,k,+1,2,a,m,2,a,1,k,a,2,k,a,kk,a,k,+1,k,a,mk,a,1,k,+1,a,2,k,+1,a,k,k,+1,a,k,+1,k,+1,a,m,k,+1,a,1,n,a,2,n,a,kn,a,k,+1,n,a,mn,定理,3.2,二,.3.(6),第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.3,矩阵的秩,性质,2,.,若,A,的所有,k,级子式都等于零,则秩,(,A,),r,时,A,的任一,k,级子式,(,如果还,有的话,),都为零,.,2,级子式,2 0,0 1,=2 0,而,A,的所有,3,级子式,如例,10,中的矩阵,A,=,2 0 4 1,0 1 3 2,4 0 8 2,有一个,都等于,0,所以秩,(A)=2.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.4,线性方程组解的结构,3.4,线性方程组解的结构,一,.,线性方程组的相容性,回忆,3.1.,三,.3.,一般地,我们有如下结论,:,定理,3.9,.,设,A,R,m,n,b,R,m,则,(1),Ax,=,b,有解,秩,(,A,b,)=,秩,(,A,);,(2),当,秩,(,A,b,)=,秩,(,A,),=,n,时,Ax,=,b,有,唯一解,;,(3),当,秩,(,A,b,)=,秩,(,A,),n,时,Ax,=,b,有,无穷多解,且通解中含有,n,秩,(,A,),个自由未知量,.,例,1,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,二,.,齐次线性方程组的解的结构,1.,解向量的性质,事实上,A,=,A,(,k,)=,k,(,A,)=,.,性质,1,.,若,都是,A,x,=,的,解向量,则,+,也,是,A,x,=,的,解向量,.,事实上,A,=,A,=,A,(,+,)=,A,+,A,=,.,性质,2,.,若,是,A,x,=,的,解向量,k,R,则,k,也,是,A,x,=,的,解向量,.,综上所述,若,都是,A,x,=,的,解向量,k,1,k,2,R,则,k,1,+,k,2,也是,A,x,=,的,解向量,.,3.4,线性方程组解的结构,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,2.,如果齐次线性方程组,Ax,=,的一组解,1,2,s,满足下列条件,那么就称这组解为该,齐次线性方程组的一个,基础解系,:,(1),1,2,s,线性无关,;,(2),Ax,=,的任一解都可以由,1,2,s,线,性表示,.,3.,如果,1,2,s,是齐次线性方程组,Ax,=,的,一个基础解系,那么该方程组的通解就可以,表示成,=,k,1,1,+,k,2,2,+,k,s,s,其中,k,1,k,2,k,s,为常数,.,这种形式的通解称为,Ax,=,的,结构,式通解,.,3.4,线性方程组解的结构,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.4,线性方程组解的结构,定理,.,设,A,R,m,n,秩,(,A,)=,r,.,(1),若,r,=,n,则,Ax,=,没,有基础解系,;,(2),若,r,n,则,Ax,=,确,有基础解系,且任,一基础解系中均含有,n,r,个解向量,.,x,1,=,c,1,r,+1,x,r,+1,+,c,1,r,+2,x,r,+2,+,c,1,n,x,n,x,2,=,c,2,r,+1,x,r,+1,+,c,2,r,+2,x,r,+2,+,c,2,n,x,n,x,r,=,c,r,r,+1,x,r,+1,+,c,r,r,+2,x,r,+2,+,c,rn,x,n,x,r,+1,=,x,r,+1,x,r,+2,=,x,r,+2,x,n,=,x,n,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.4,线性方程组解的结构,定理,.,设,A,R,m,n,秩,(,A,)=,r,.,(1),若,r,=,n,则,Ax,=,没,有基础解系,;,(2),若,r,n,则,Ax,=,确,有基础解系,且任,一基础解系中均含有,n,r,个解向量,.,=,x,r,+1,+,x,r,+2,+,x,n,x,1,x,2,x,r,x,r,+1,x,r,+2,x,n,c,1,r,+1,c,2,r,+1,c,r,r,+1,1,0,0,c,1,r,+2,c,2,r,+2,c,r,r,+2,0,1,0,c,1,n,c,2,n,c,rn,0,0,1,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.4,线性方程组解的结构,定理,.,设,A,R,m,n,秩,(,A,)=,r,.,(1),若,r,=,n,则,Ax,=,没,有基础解系,;,(2),若,r,n,则,Ax,=,确,有基础解系,且任,一基础解系中均含有,n,r,个解向量,.,=,x,r,+1,+,x,r,+2,+,x,n,x,1,x,2,x,r,x,r,+1,x,r,+2,x,n,c,1,r,+1,c,2,r,+1,c,r,r,+1,1,0,0,c,1,r,+2,c,2,r,+2,c,r,r,+2,0,1,0,c,1,n,c,2,n,c,rn,0,0,1,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.4,线性方程组解的结构,定理,.,设,A,R,m,n,秩,(,A,)=,r,.,(1),若,r,=,n,则,Ax,=,没,有基础解系,;,(2),若,r,n,则,Ax,=,确,有基础解系,且任,一基础解系中均含有,n,r,个解向量,.,1,=,c,1,r,+1,c,2,r,+1,c,r,r,+1,1,0,0,c,1,r,+2,c,2,r,+2,c,r,r,+2,0,1,0,c,1,n,c,2,n,c,rn,0,0,1,2,=,n,r,=.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.4,线性方程组解的结构,性质,1,.,与基础解系等价的线性无关向量组也,是,基础解系,.,例,11,.,证明秩,(,A,T,A,)=,秩,(,A,).,证明,:,设,A,为,m,n,的矩阵,x,为,n,维列向量,.,注意到,A,x,=,(,A,T,A,),x,=,x,T,(,A,T,A,),x,=,(,A,x,),T,(,A,x,),=,A,x,=,.,故,A,x,=0,与,(,A,T,A,),x,=,同解,因此,n,秩,(,A,T,A,)=,n,秩,(,A,).,进而得秩,(,A,T,A,)=,秩,(,A,).,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.4,线性方程组解的结构,4.,解齐次线性方程组,A,m,n,x,=,的一般步骤,A,初等,行,变换,行,阶,梯,形,秩,(,A,),n,?,行,最,简,形,解,最简,方程,只有零解,N,初等,行,变换,Y,性质,2,.,若,A,R,m,n,秩,(,A,)=,r,则,Ax,=,的任意,n,r,个线性无关的解向量是,Ax,=,的,基础解系,.,0 3,x1+2x2 x3=3,得到X.,A1x+B1y+C1z+D1=0,1:A1x+B1y+C1z+D1=0,理解矩阵的初等变换及矩阵的相抵关系的概念;,4 线性方程组解的结构,理解非齐次线性方程组有解的充要条件,理解非齐,6 矩阵的分块初等变换,3 4 3 0 0 1,则I与III等价.,B=1,2,t,则A=BC.,第三章 矩阵的相抵变换和秩线性方程组,另一列相应的各个子矩阵上.,第三章 矩阵的相抵变换和秩线性方程组,x1 x3=1,(列)变换相当于在A的左(右)边乘,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.4,线性方程组解的结构,例,12,.,求,的基础解系与通解,.,解,:,初等,行,变换,该方程组的基础解系可取为,通解为,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.4,线性方程组解的结构,注,:,若依次取,则,于是得基础解系,通解,容易验证,1,2,与,1,2,等价,.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.4,线性方程组解的结构,另解,:,初等,行,变换,该方程组的基础解系可取为,通解为,故原方程化为,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.4,线性方程组解的结构,三,.,非齐次线性方程组的解的结构,1.,齐次线性方程组,A,x,=,称为非齐次线性,方程组,A,x,=,b,的,导出组,.,性质,1,.,设,1,2,都是,A,x,=,b,的解,则,1,2,是,A,x,=,的解,.,性质,2,.,是,A,x,=,b,的解,是,A,x,=,的解,则,+,是,A,x,=,b,的解,.,2.,非齐次线性方程组的解向量的性质,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.4,线性方程组解的结构,定理,.,设,*,是,A,x,=,b,的一个解,1,n,r,是,A,x,=,的,基础解系,则,A,x,=,b,的,结,构式,通解,为,x,=,k,1,1,+,k,n,r,n,r,+,*,.,称,*,为,A,x,=,b,的一个,特解,.,3.,解非齐次线性方程组,A,m,n,x,=,b,的一般步骤,A b,初等,行,变换,行,阶,梯,形,秩,(,A,)=,秩,(,A b,),?,行,最,简,形,解,最简,方程,无解,N,初等,行,变换,Y,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.4,线性方程组解的结构,解,:,初等,行,变换,可见原方程组有解,且,例,13,.,求方程组,的通解,.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.4,线性方程组解的结构,由此可得原方程组的结构式通解,可见原方程组有解,且,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.4,线性方程组解的结构,四,.,直线平面的相对位置,1.,两直线的相对位置,A,1,x,+,B,1,y,+,C,1,z,+,D,1,=0,A,2,x,+,B,2,y,+,C,2,z,+,D,2,=0,L,1,:,L,2,:,A,3,x,+,B,3,y,+,C,3,z,+,D,3,=0,A,4,x,+,B,4,y,+,C,4,z,+,D,4,=0,记,A,=,A,1,B,1,C,1,A,2,B,2,C,2,A,3,B,3,C,3,A,4,B,4,C,4,A,=,A,1,B,1,C,1,D,1,A,2,B,2,C,2,D,2,A,3,B,3,C,3,D,3,A,4,B,4,C,4,D,4,.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.4,线性方程组解的结构,2.,三平面的相对位置,1,:,A,1,x,+,B,1,y,+,C,1,z,+,D,1,=0,2,:,A,2,x,+,B,2,y,+,C,2,z,+,D,2,=0,3,:,A,3,x,+,B,3,y,+,C,3,z,+,D,3,=0,记,A,=,A,1,B,1,C,1,A,2,B,2,C,2,A,3,B,3,C,3,A,=,A,1,B,1,C,1,D,1,A,2,B,2,C,2,D,2,A,3,B,3,C,3,D,3,.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.5,相抵标准形与逆矩阵的计算,3.5,相抵标准形与逆矩阵的计算,一,.,初等变换和初等矩阵,1.,由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩,阵称为,初等矩阵,.,按定义,初等矩阵共有如下,3,类,:,I,r,i,r,j,P,ij,I,c,i,c,j,P,ij,I,r,i,k,P,i,(,k,),I,c,i,k,P,i,(,k,),I,r,i,+,k,r,j,P,ij,(,k,),I,c,i,+,k,c,j,P,ji,(,k,),(1),(2),(3),第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.5,相抵标准形与逆矩阵的计算,P,ij,=,第,i,行,1,1,0 1,1 0,1,1,1,1,第,j,行,第,i,列,第,j,列,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.5,相抵标准形与逆矩阵的计算,P,i,(,k,)=,第,i,行,1,k,1,1,第,i,列,1,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.5,相抵标准形与逆矩阵的计算,P,ij,(,k,)=,第,i,行,1,k,1,1,第,j,行,第,i,列,第,j,列,1,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.5,相抵标准形与逆矩阵的计算,2.,初等矩阵的性质,命题,.,初等矩阵都可逆,且,P,ij,1,=,P,ij,(,P,i,(,k,),1,=,P,i,(1/,k,),(,P,ij,(,k,),1,=,P,ij,(,k,).,定理,.,对,m,n,矩阵,A,进行一次初等,行,变换,相当于在,A,的,左,边乘以相应的初等,矩阵,;,对,A,施行一次初等,列,变换相,当于在,A,的,右,边乘以相应的初等矩,阵,.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.5,相抵标准形与逆矩阵的计算,0 1 0,1 0 0,0 0 1,a b c,x y z,1 2 3,=,x y z,a b c,1 2 3,0 1 0,1 0 0,0 0 1,a,x,1,b,y,2,c,z,3,=,x,a,1,y,b,2,z,c,3,1,k,0,0 1 0,0 0 1,a b c,x y z,1 2 3,=,a,+k,x,b,+k,y,c,+k,z,x y z,1 2 3,1,k,0,0 1 0,0 0 1,a,x,1,b,y,2,c,z,3,.,=,a,a,k+,x,1,b,b,k+,y,2,c,c,k+,z,3,1 0 0,0 1 0,0 0,k,a b c,x y z,1 2 3,=,a,b c,x,y z,k,2,k,3,k,1 0 0,0 1 0,0 0,k,a,x,1,b,y,2,c,z,3,=,a,x,k,b,y,2,k,c,z,3,k,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.5,相抵标准形与逆矩阵的计算,二,.,相抵标准形,2.,性质,(1),反身性,:,A,A,.,(2),对称性,:,A,B,B,A,.,(3),传递性,:,A,B,B,C,A,C,.,1.,若矩阵,A,经过有限次初等变换变成矩阵,B,就称矩阵,A,与矩阵,B,是,相抵,的,(,有的书,上称为,等价,).,记为,A,B,.,这就是说,矩阵间的相抵关系是一种等,价关系,.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.5,相抵标准形与逆矩阵的计算,相抵标准形,.,I,r,O,r,(,n,r,),O,(,m,r,),r,O,(,m,r,),(,n,r,),3.,记,若,m,n,矩阵,A,与,相抵,则称,为,A,的,1,0,0,0,2,2,0,0,3,0,0,0,4,2,3,0,5,4,6,0,初等,行,变换,初等,行,变换,1,0,0,0,0,1,0,0,3,0,0,0,0,0,1,0,5,4,2,0,初等,列,变换,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,1,1,1,6,2,3,4,6,3,3,3,10,4,2,6,14,5,13,9,例如,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.5,相抵标准形与逆矩阵的计算,初等,行,变换,行阶梯形,A,m,n,行最简形,相抵标准形,I,r,O,r,(,n,r,),O,(,m,r,),r,O,(,m,r,),(,n,r,),一般地,初等,行,变换,初等,列,变换,定理,.,m,n,矩阵,A,B,相抵,秩,(,A,)=,秩,(,B,).,证明,:(,),因为初等变换不改变矩阵的秩,.,则,A,由相抵的传递性可得,A,B,.,(),设秩,(,A,)=,秩,(,B,)=,r,.,且,B,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.5,相抵标准形与逆矩阵的计算,品名,:,矩阵,规格,:,m,n,数量,:,产地,:,SEU,小心轻放,堆码层数,向 上,怕湿防潮,包装说明,:,内有无数,m,n,矩阵,按秩的,不同共分为,min,m,n,+1,包,.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,4.,矩阵相抵与向量组等价,初等,行,变换,矩阵,A,与,B,的,行,向量组等价,B,的,行,向量组能由,A,的,行,向量组,线性表示,A,的,行,向量组能由,B,的,行,向量组,线性表示,初等,行,变换,3.5,相抵标准形与逆矩阵的计算,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.5,相抵标准形与逆矩阵的计算,矩阵,A,与,B,的,列,向量组等价,B,的,列,向量组能由,A,的,列,向量组,线性表示,A,的,列,向量组能由,B,的,列,向量组,线性表示,初等,列,变换,初等,列,变换,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.5,相抵标准形与逆矩阵的计算,注,:,初等,行,变换,(,1,),无法通过初等,列,变换实现,矩阵,A,与,B,的,行,向量组等价,但,列,向量组,不,等价,.,初等,列,变换,(,1,),无法通过初等,行,变换实现,矩阵,C,与,B,的,列,向量组等价,但,行,向量组,不,等价,.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.5,相抵标准形与逆矩阵的计算,三,.,逆矩阵的计算,定理,.,n,阶方阵,A,可逆,存在初等矩阵,P,1,P,2,P,l,使,A,=,P,1,P,2,P,l,.,证明,:,A,可逆,秩,(,A,),=,n,A,I,I,可以经过有限次,初等变换变成,A,存在有限个初等矩阵,P,1,P,2,P,l,使,P,1,P,2,P,r,I,P,r,+1,P,r,+2,P,l,=,A,A,=,P,1,P,2,P,l,A,可逆,.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.5,相抵标准形与逆矩阵的计算,推论,a,.,m,n,矩阵,A,B,相抵,存在,m,阶可逆矩,阵,P,和,n,阶可逆矩阵,Q,使得,PAQ,=,B,.,证明,:,A,B,相抵,A,可以经过有限次,初等变换变成,B,存在,m,阶初等矩阵,P,1,P,2,P,s,及,n,阶,初等矩阵,Q,1,Q,2,Q,t,使,P,1,P,2,P,s,A,Q,1,Q,2,Q,t,=,B,存在,m,阶可逆矩阵,P,和,n,阶可逆矩阵,Q,使得,P,A,Q,=,B,.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.5,相抵标准形与逆矩阵的计算,推论,b,.,设,A,是,m,n,矩阵,P,和,Q,分别是,m,阶、,n,阶可逆矩阵,则,秩,(,A,)=,秩,(,PA,)=,秩,(,AQ,)=,秩,(,PAQ,).,推论,c,.,设,A,是,m,n,矩阵,秩,(,A,)=,r,则存在,m,阶,可逆矩阵,P,和,n,阶可逆矩阵,Q,使得,A,=,P Q,.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.5,相抵标准形与逆矩阵的计算,设,A,可逆,则,A,可以经过有限次初等,行,变换化为,行,最简形,单位矩阵,I,.,A,I,(,A,I,)(,I,?,),P,1,(,A,I,),P,2,P,1,(,A,I,),P,l,-1,P,2,P,1,(,A,I,),P,l,P,l,-1,P,2,P,1,(,A,I,),P,1,A,P,2,P,1,A,P,l,-1,P,2,P,1,A,P,l,P,l,-1,P,2,P,1,A,(,P,l,P,l,-1,P,2,P,1,A,P,l,P,l,-1,P,2,P,1,),?,=,A,1,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.5,相抵标准形与逆矩阵的计算,例,14,.,设,A,=,1 2 3,2 2 1,3 4 3,求,A,1,.,1 2 3,1 0 0,2 2 1,0 1 0,3 4 3,0 0 1,解,:,初等,行,变换,1 0 0,1 3,2,0 1 0,3/2,3 5/2,0 0 1,1 1,1,故,A,1,=,1 3,2,3/2,3 5/2,1 1,1,.,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.5,相抵标准形与逆矩阵的计算,设